Basit, Bileşik ve Tam Sayılı Kesirler

Tahmini süre: 14 dk

Önceki derste bir bütünü eş parçalara ayırmayı, kesrin payını ve paydasını tanımayı öğrendik. Paydanın bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü, payın ise kaç parçayı aldığımızı gösterdiğini hatırlayalım. Bu derste bir adım ileri gidiyoruz: Bazen aldığımız parçalar bir bütünü tamamlamaz, bazen tam bir bütün eder, bazen de bir bütünü aşar. Bu üç durumu adlarıyla tanıyacağız.

Günlük hayattan giriş

Evde bir pizza düşünelim. Pizza 4 eş dilime bölünmüş. Sen 3 dilim yersen pizzanın 3/4'ünü yemiş olursun. Tabakta hâlâ 1 dilim kalır. Yani yediğin miktar bir bütün pizzadan azdır.

Şimdi 4 dilimin hepsini yediğini düşün. Bu kez 4/4 pizza yemiş olursun. Tabakta hiç dilim kalmaz. 4/4, bir bütün pizzaya eşittir. Bir doğum günü sofrasında aynı büyüklükte, her biri 4 dilime bölünmüş iki pizza olsun. Misafirler toplam 7 dilim yesin. Bu 7/4 pizza demektir. Bir pizzanın tamamı yenmiş, ikinci pizzadan da 3 dilim yenmiştir. Buna kısaca 1 tam 3/4 pizza diyebiliriz. Bu miktar bir bütünden fazladır.

Aynı durum kurdele, ekmek, çikolata ya da su şişelerinde de karşımıza çıkar. Örneğin "2 buçuk ekmek" dediğimizde aslında 2 tam ekmek ve yarım ekmek anlatırız. Bu da bir tam sayılı kesirdir: 2 tam 1/2. Bugün bu tür miktarları hem okumayı hem de iki farklı biçimde yazmayı öğreneceğiz.

Tanım ve kural

Basit kesir

Payı paydasından küçük olan kesre basit kesir denir. Örnek: 1/3, 2/5, 3/4.

Neden bir bütünden küçüktür? Payda, bir bütünü tamamlamak için kaç parça gerektiğini söyler. 3/4'te bütün 4 parçadan oluşur ama biz yalnızca 3 parça aldık. Bütünü tamamlayacak kadar parçamız yok. Bu yüzden basit kesir her zaman bir bütünden küçüktür.

Bileşik kesir

Payı paydasına eşit ya da paydasından büyük olan kesre bileşik kesir denir. Örnek: 5/5, 7/4, 11/3.

Neden bir bütüne eşit ya da bütünden büyüktür? 5/5'te bütün 5 parçadır ve biz 5 parçanın hepsini aldık. Bütün tamamlandı, yani 5/5 = 1. 7/4'te ise bir bütün için 4 parça yeterlidir ama elimizde 7 parça var. Bir bütünü tamamladıktan sonra parça artar. Bu yüzden 7/4, bir bütünden büyüktür.

Tam sayılı kesir

Bir tam sayı ile bir basit kesrin birlikte yazıldığı kesre tam sayılı kesir denir. Örnek: 1 tam 3/4, 2 tam 1/2. "1 tam 3/4" diye okunur. Tam sayı kaç bütün olduğunu, yanındaki basit kesir de artan parçaları gösterir.

Bileşik kesri tam sayılı kesre çevirme

Bileşik kesirde elimizdeki parçaları payda kadar gruplara ayırırız. Her grup bir bütün eder.

7/4 için: 4 parça bir bütün yapar. 7 parçanın içinde 1 tane 4'lü grup vardır. 7 − 4 = 3 parça artar.

Sonuç: 7/4 = 1 tam 3/4. Payda değişmez, çünkü parçaların büyüklüğü değişmedi; hâlâ "dörtte bir" büyüklüğünde parçalardan söz ediyoruz.

Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirme

Bu kez her bütünü yeniden parçalara ayırırız. Her bütün, payda kadar parçadan oluşur.

1 tam 3/4 için: 1 bütün, 4 parçadır. Buna artan 3 parçayı ekleriz: 4 + 3 = 7 parça.

Sonuç: 1 tam 3/4 = 7/4. Kısa yol: tam sayı × payda + pay yeni pay olur, payda aynı kalır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

2/5, 5/5 ve 7/5 kesirlerinin türünü bulunuz.

Çözüm:

2/5: Pay 2, payda 5. 2, 5'ten küçük olduğu için basit kesirdir.

5/5: Pay 5, payda 5. Pay paydaya eşit olduğu için bileşik kesirdir ve bir bütüne eşittir.

7/5: Pay 7, payda 5. 7, 5'ten büyük olduğu için bileşik kesirdir.

2/5 basit kesir, 5/5 ve 7/5 bileşik kesirdir.

Örnek 2

Aynı büyüklükteki pizzaların her biri 4 eş dilime bölünmüştür. Toplam 6 dilim yenmiştir. Yenen miktarı bileşik kesir ve tam sayılı kesir olarak yazınız.

Çözüm:

Her pizza 4 dilim olduğu için payda 4'tür. 6 dilim yenmiştir, pay 6'dır: 6/4.

4 dilim bir bütün pizza eder. 6'nın içinde 1 tane 4 vardır.

6 − 4 = 2 dilim artar.

6/4 = 1 tam 2/4 pizza yenmiştir.

Örnek 3

11/3 kesrini tam sayılı kesre çeviriniz.

Çözüm:

3 parça bir bütün yapar. 11'in içinde kaç tane 3 olduğunu buluruz.

3 × 3 = 9 eder, 3 × 4 = 12 eder. 12, 11'den büyük olduğu için 11'in içinde 3 tane 3 vardır.

11 − 9 = 2 parça artar.

Payda aynı kalır: 3.

11/3 = 3 tam 2/3

Örnek 4

2 tam 3/4 kesrini bileşik kesre çeviriniz.

Çözüm:

Her bütün 4 parçadır. 2 bütün: 2 × 4 = 8 parça.

Artan 3 parçayı ekleriz: 8 + 3 = 11 parça.

Payda aynı kalır: 4.

2 tam 3/4 = 11/4

Örnek 5

12/4 kesri kaç bütün eder?

Çözüm:

4 parça bir bütün yapar. 12'nin içinde kaç tane 4 olduğuna bakarız.

4 × 3 = 12 eder. Yani 12'nin içinde tam 3 tane 4 vardır.

12 − 12 = 0. Hiç parça artmaz, bu yüzden yanına basit kesir yazmayız.

12/4 = 3 bütün

Örnek 6

Bir kurdelenin uzunluğu 3 tam 1/2 metredir. Bu kurdele yarım metrelik parçalara kesilirse kaç parça elde edilir?

Çözüm:

Yarım metre, 1/2 metredir. Her metre 2 tane yarım metreden oluşur.

3 tam 1/2 metreyi bileşik kesre çeviririz. 3 metre: 3 × 2 = 6 yarım metre.

Artan 1 yarım metreyi ekleriz: 6 + 1 = 7.

3 tam 1/2 = 7/2. Pay 7, yani 7 tane yarım metrelik parça vardır.

7 parça elde edilir.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: 5/5 basit kesirdir. Doğrusu: Pay paydaya eşit olduğu için 5/5 bileşik kesirdir ve bir bütüne eşittir.
• Yanlış: 2 tam 1/3 = 3/3 (tam sayıyı paya eklemek: 2 + 1 = 3). Doğrusu: 2 bütün 2 × 3 = 6 parçadır. 6 + 1 = 7, yani 2 tam 1/3 = 7/3.
• Yanlış: 2 tam 1/3 = 7/6 (paydayı değiştirmek). Doğrusu: Parçaların büyüklüğü değişmez, payda aynı kalır: 7/3.
• Yanlış: 13/5 = 2 tam 5/3 (kalanı paydaya yazmak). Doğrusu: 5 × 2 = 10, 13 − 10 = 3 kalır. Kalan paya yazılır: 13/5 = 2 tam 3/5.
• Yanlış: 9/4 = 1 tam 5/4. Doğrusu: 5/4 hâlâ bir bütünden büyüktür, gruplamayı bitirmedik. 9'un içinde 2 tane 4 var, 1 kalır: 9/4 = 2 tam 1/4. Tam sayılı kesirde yandaki kesir her zaman basit kesir olmalıdır.

Alıştırma

1) 3/8 kesrinin türü nedir?

2) 9/9 kesrinin türü nedir? Kaç bütün eder?

3) 10/7 kesrinin türü nedir?

4) 9/4 kesrini tam sayılı kesre çeviriniz.

5) 17/5 kesrini tam sayılı kesre çeviriniz.

6) 1 tam 5/6 kesrini bileşik kesre çeviriniz.

7) 4 tam 1/2 kesrini bileşik kesre çeviriniz.

8) 3 tam 2/7 kesrini bileşik kesre çeviriniz.

9) 15/3 kesri kaç bütün eder?

10) Bir pastacı her pastayı 6 eş dilime bölüyor. Gün içinde 20 dilim satılıyor. Satılan miktarı tam sayılı kesir olarak yazınız.

Cevap Anahtarı

• 1) Basit kesir. Pay 3, payda 8'den küçüktür.
• 2) Bileşik kesir, 1 bütün. Pay paydaya eşit olduğu için bütünün tüm parçaları alınmıştır.
• 3) Bileşik kesir. Pay 10, payda 7'den büyüktür.
• 4) 2 tam 1/4. 9'un içinde 2 tane 4 var (8), 9 − 8 = 1 kalır.
• 5) 3 tam 2/5. 17'nin içinde 3 tane 5 var (15), 17 − 15 = 2 kalır.
• 6) 11/6. 1 × 6 = 6, 6 + 5 = 11, payda 6 kalır.
• 7) 9/2. 4 × 2 = 8, 8 + 1 = 9, payda 2 kalır.
• 8) 23/7. 3 × 7 = 21, 21 + 2 = 23, payda 7 kalır.
• 9) 5 bütün. 3 × 5 = 15 olduğu için hiç parça artmaz.
• 10) 3 tam 2/6 pasta. 20/6'da 20'nin içinde 3 tane 6 var (18), 20 − 18 = 2 dilim artar.

Dersin özeti

• Payı paydasından küçük olan kesir basit kesirdir ve bir bütünden küçüktür.
• Payı paydasına eşit ya da paydasından büyük olan kesir bileşik kesirdir; bir bütüne eşit ya da bütünden büyüktür.
• Bir tam sayı ile bir basit kesrin birlikte yazılmasına tam sayılı kesir denir.
• Bileşik kesri çevirirken parçaları payda kadar gruplarız: grup sayısı tam kısım, kalan yeni pay olur, payda değişmez.
• Tam sayılı kesri çevirirken tam sayı × payda + pay yeni payı verir, payda değişmez.

Bugün bir kesrin bir bütünden küçük mü, bütüne eşit mi, yoksa bütünden büyük mü olduğunu anlamayı öğrendik. Bu bilgi, sıradaki derste kesirlerle çalışmayı sürdürürken çok işimize yarayacak. Bir kesrin bütüne göre yerini bilmek, kesirleri birbiriyle karşılaştırırken de bize güçlü bir ipucu verir.