Fonksiyon Kavramı, Tanım ve Görüntü Kümesi, Grafik Okuma

Merhaba! AYT Matematik: Fonksiyonlar, Türev Uygulamaları ve İntegral ile Alan kursuna hoş geldin. Sekiz derslik bu yolculukta fonksiyonları, türevin nerelerde işe yaradığını ve integralle alan hesaplamayı adım adım işleyeceğiz. Kuralları ezberlemeyeceğiz; her kuralın neden öyle olduğunu konuşacağız. İlk dersimizde fonksiyon kavramını, tanım ve görüntü kümesini ve grafik okumayı çalışıyoruz. Sonraki derslerin hepsi bu temelin üzerine kurulacak.

Günlük hayattan giriş

Bir içecek otomatı düşün. 12 numaralı tuşa bastığında her seferinde aynı içecek düşer. Bir gün su, ertesi gün meyve suyu düşseydi o otomata güvenmezdin. Matematikte buna fonksiyon diyoruz: Bir girdi verirsin ve karşılığında kesin olarak tek bir çıktı alırsın. İki farklı tuşun aynı içeceği vermesinde bir sakınca yok; önemli olan, bir tuşun iki farklı sonuç vermemesi.

Başka bir örnek: Bir akaryakıt istasyonunda ödediğin tutar, aldığın litreye bağlıdır. Litre fiyatı sabitken 20 litre için ödenen tutar tektir. Burada litre girdi, tutar çıktıdır. Hangi girdilerin anlamlı olduğu da önemlidir: −5 litre yakıt alamazsın. İşte anlamlı girdilerin kümesine tanım kümesi, ortaya çıkabilen sonuçların kümesine de görüntü kümesi diyoruz.

Hava durumu grafikleri, bir aracın hız-zaman grafiği ya da bir fatura çizelgesi de fonksiyondur. AYT'de fonksiyon soruları çoğu zaman bir grafikle gelir. Grafiğe bakıp değeri, işareti ve artış-azalışı hızlıca okumak, hem bu dersin hem de ileride türev ve integral konularının anahtarıdır.

Tanım ve kural

Tanım: A ve B boş olmayan iki küme olsun. A'nın her elemanını B'nin yalnız bir elemanıyla eşleyen bağıntıya A'dan B'ye fonksiyon denir ve f: A → B biçiminde yazılır. A tanım kümesi, B değer kümesidir. A'daki elemanların B'deki karşılıklarından oluşan küme ise görüntü kümesidir ve f(A) ile gösterilir. Her zaman f(A) ⊆ B olur.

İki şart neden var? Birincisi: A'da boşta eleman kalmamalı. Girdi olarak kabul ettiğimiz her değerin bir sonucu olmalı; yoksa "bu değeri tanıyorum ama sonucunu veremem" demiş oluruz. İkincisi: Bir eleman iki farklı görüntü almamalı. Aksi hâlde f(2) yazdığımızda hangi sayıyı kastettiğimiz belirsiz kalır. Oysa f(2) gibi bir yazımın anlamlı olması için tek bir sonuç göstermesi gerekir. B'de boşta eleman kalabilir; iki farklı elemanın görüntüsü de aynı olabilir. Bunlar belirsizlik yaratmaz.

Düşey doğru testi: Grafikte x eksenine dik (düşey) bir doğru çiz. Bu doğru grafiği tanım kümesindeki her x için tam bir noktada kesiyorsa grafik bir fonksiyondur. Nedeni şu: Düşey doğru belli bir x değerini temsil eder. Grafiği iki noktada kesiyorsa o x için iki farklı y değeri vardır ve bu, ikinci şartı bozar.

Gerçek sayılarda tanım kümesi bulma: Soruda tanım kümesi verilmemişse, ifadenin gerçek sayı olarak hesaplanabildiği en geniş kümeyi alırız. Bunun için ifadede "yasak" durumları ararız:

Grafik okuma sözlüğü:

• f(a) değeri: x = a noktasındaki grafiğin yüksekliğidir.
• f(x) > 0: grafiğin x ekseninin üstünde olduğu x değerleridir. f(x) < 0 ise eksenin altında kalan x değerleridir.
• f(x) = 0: grafiğin x eksenini kestiği ya da ona değdiği noktalardır (kökler).
• Artan: Soldan sağa giderken grafik yükseliyor. Azalan: Soldan sağa giderken grafik alçalıyor.
• Tanım kümesi grafiğin x eksenine izdüşümüdür; görüntü kümesi ise y eksenine izdüşümüdür.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (Kolay)

A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} olmak üzere aşağıdaki bağıntılardan hangileri A'dan B'ye fonksiyondur? Fonksiyon olanın görüntü kümesini yazınız.

β₁ = {(1, a), (2, a), (3, b)}, β₂ = {(1, a), (1, b), (2, c), (3, c)}, β₃ = {(1, a), (2, b)}

Çözüm:

Adım 1: β₁'de 1, 2 ve 3'ün her biri tek bir elemanla eşlenmiş. 1 ile 2'nin ikisinin de a'ya gitmesi sorun değildir.

Adım 2: β₂'de 1 hem a'ya hem b'ye gidiyor. Bir eleman iki görüntü alamaz; fonksiyon değildir.

Adım 3: β₃'te 3 boşta kalıyor. A'nın her elemanı eşlenmeli; fonksiyon değildir.

Adım 4: β₁'in görüntüleri a, a ve b'dir. Tekrarı bir kez yazarız.

Yalnız β₁ fonksiyondur; görüntü kümesi {a, b}'dir.

Örnek 2 (Kolay)

f(x + 1) = 2x + 5 olduğuna göre f(3) kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Parantez içinin 3 olmasını istiyoruz: x + 1 = 3.

Adım 2: Buradan x = 2 bulunur.

Adım 3: x = 2'yi sağ tarafa yazarız: 2 · 2 + 5 = 4 + 5 = 9.

f(3) = 9

Neden böyle? f(3), "f'nin içine 3 girince çıkan değer" demektir. Parantezin içini 3 yapan x değerini bulmak bu yüzden yeterlidir.

Örnek 3 (Orta)

Aşağıdaki grafiklerden hangisi y'yi x'in fonksiyonu olarak tanımlar: y = x² mi, yoksa x = y² mi?

Çözüm:

Adım 1: y = x² için her x değeri tek bir y verir. Örneğin x = 3 için y = 9 olur. Düşey doğrular grafiği bir kez keser.

Adım 2: x = y² için x = 4 alalım. y² = 4 olduğundan y = 2 ya da y = −2 bulunur.

Adım 3: x = 4 düşey doğrusu grafiği iki noktada keser: (4, 2) ve (4, −2).

y = x² fonksiyondur; x = y² ise y'yi x'in fonksiyonu olarak tanımlamaz.

Örnek 4 (Orta)

f(x) = √(6 − 2x) + 1/(x + 1) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Karekökün içi negatif olamaz: 6 − 2x ≥ 0.

Adım 2: 6 ≥ 2x olduğundan x ≤ 3 bulunur.

Adım 3: Payda sıfır olamaz: x + 1 ≠ 0, yani x ≠ −1.

Adım 4: İki şart aynı anda sağlanmalı. Bu yüzden kesişimlerini alırız. −1 sayısı x ≤ 3 aralığında olduğu için bu aralıktan çıkarılır.

Tanım kümesi: (−∞, 3] − {−1}

Kontrol: x = 3 için √0 + 1/4 = 1/4 hesaplanabilir, yani 3 kümeye dahildir. x = −1 için ise payda 0 olur, bu yüzden −1 dışarıda kalır.

Örnek 5 (Orta-Zor)

f(x) = x² − 4x + 5 olsun. a) Tanım kümesi ℝ ise görüntü kümesi nedir? b) f: [0, 3] → ℝ ise görüntü kümesi nedir?

Çözüm:

Adım 1: İfadeyi tam kareye tamamlarız: x² − 4x + 4 = (x − 2²) değil, (x − 2)² olur. Buna göre x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1.

Adım 2: Bir sayının karesi negatif olamaz: (x − 2)² ≥ 0. Her iki tarafa 1 eklersek f(x) ≥ 1 olur. En küçük değer x = 2'de 1'dir ve x büyüdükçe değer sınırsız artar.

Adım 3: a) şıkkının cevabı [1, ∞) olur.

Adım 4: b) şıkkında x = 2 değeri [0, 3] aralığında olduğu için en küçük değer yine f(2) = 1'dir.

Adım 5: Uç noktalara bakarız: f(0) = 0 − 0 + 5 = 5 ve f(3) = 9 − 12 + 5 = 2.

Adım 6: Bu değerlerin en büyüğü 5'tir.

b) şıkkında görüntü kümesi [1, 5] olur.

Dikkat: Yalnız uç noktalara bakıp [2, 5] deseydik, x = 2'deki en küçük değeri kaçırmış olurduk.

Örnek 6 (Zor, AYT tipi grafik sorusu)

[−4, 5] aralığında tanımlı f fonksiyonunun grafiği, sırasıyla (−4, 2), (−2, −2), (1, 4) ve (5, 0) noktalarını birleştiren doğru parçalarından oluşuyor. Buna göre: a) görüntü kümesi, b) f(x) < 0 olan x değerleri, c) artan ve azalan olduğu aralıklar, d) f(f(0)) değeri, e) f(x) = 2 denkleminin kaç çözümü olduğu nedir?

Çözüm:

Adım 1 (Parçaların denklemi): Birinci parça (−4, 2) ile (−2, −2) arasındadır. Eğimi (−2 − 2)/(−2 + 4) = −4/2 = −2'dir. Bu yüzden y = 2 − 2(x + 4) olur.

Adım 2: İkinci parça (−2, −2) ile (1, 4) arasındadır. Eğimi (4 + 2)/(1 + 2) = 6/3 = 2'dir. Bu yüzden y = −2 + 2(x + 2) olur.

Adım 3: Üçüncü parça (1, 4) ile (5, 0) arasındadır. Eğimi (0 − 4)/(5 − 1) = −1'dir. Bu yüzden y = 4 − (x − 1) olur.

Adım 4 (a): En düşük nokta y = −2, en yüksek nokta y = 4'tür. Grafik kesintisiz olduğu için arada kalan her değer alınır. Görüntü kümesi [−2, 4] olur.

Adım 5 (b): Kökleri bulalım. Birinci parçada 2 − 2(x + 4) = 0 ise x + 4 = 1, yani x = −3. İkinci parçada −2 + 2(x + 2) = 0 ise x + 2 = 1, yani x = −1. Üçüncü parçada 4 − (x − 1) = 0 ise x = 5. Grafik yalnız −3 ile −1 arasında eksenin altındadır. f(x) < 0 ⇔ x ∈ (−3, −1)

Adım 6 (c): Grafik soldan sağa önce iner, sonra çıkar, sonra yine iner. [−4, −2] ve [1, 5] aralıklarında azalan, [−2, 1] aralığında artandır.

Adım 7 (d): 0 ikinci parçadadır: f(0) = −2 + 2(0 + 2) = 2. 2 ise üçüncü parçadadır: f(2) = 4 − (2 − 1) = 3. f(f(0)) = 3

Adım 8 (e): Birinci parçada 2 − 2(x + 4) = 2 ise x = −4 olur. İkinci parçada −2 + 2(x + 2) = 2 ise x = 0 olur. Üçüncü parçada 4 − (x − 1) = 2 ise x = 3 olur. Denklemin 3 çözümü vardır.

Pratik yol: y = 2 yatay doğrusunu hayal et ve grafiği kaç yerde kestiğini say. Doğru grafiği x = −4 uç noktasında, bir de iki parçada keser; toplam 3 kesişim vardır.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: f(x) = x², x ∈ [−1, 2] için f(−1) = 1 ve f(2) = 4 hesaplayıp görüntü kümesine [1, 4] demek. Doğrusu: x = 0 aralığın içindedir ve f(0) = 0 olur. Görüntü kümesi [0, 4]'tür. Fonksiyon aralık içinde yön değiştiriyorsa yalnız uç noktalara bakmak yetmez.
• Yanlış: √(x − 2) için x > 2 yazmak. Doğrusu: √0 = 0 tanımlıdır, bu yüzden x ≥ 2 olur. Kök paydadaysa, yani 1/√(x − 2) varsa, o zaman x > 2 yazılır.
• Yanlış: "B kümesinde eşlenmeyen eleman var, bu yüzden fonksiyon değil" demek. Doğrusu: Boşta kalmama şartı yalnız tanım kümesi A için geçerlidir; B'de boşta eleman kalabilir.
• Yanlış: Grafikte f(x) < 0 sorulunca eksenin altında kalan y değerlerini, örneğin [−2, 0), cevap olarak yazmak. Doğrusu: Soru, hangi x değerlerinde grafiğin eksenin altında kaldığını soruyor. Örnek 6'da cevap (−3, −1)'dir.
• Yanlış: f(x + 1) = 2x + 5 iken f(3) için x = 3 yazıp 11 bulmak. Doğrusu: Parantezin içini 3'e eşitlemek gerekir: x + 1 = 3, yani x = 2. Sonuç 9 olur.

AYT'de bu konu nasıl sorulur?

• Soru tipleri: Grafiği verilen bir fonksiyonda f(f(a)) değeri, f(x) = k denkleminin çözüm sayısı, f(x) · g(x) < 0 gibi işaret soruları, artan-azalan aralıklar ve kök içeren ifadelerde tanım kümesindeki tam sayı sayısı.
• Süre: Bu tür bir soruya ortalama 1,5–2 dakika ayırmayı hedefle. Grafik sorularında ilk iş olarak kökleri ve tepe noktalarını grafiğin üstüne işaretle.
• Şık eleme taktiği: Tanım kümesi sorularında şıklardaki uç noktaları ifadede yerine koy. Örneğin bir şıkta 3 dahilse ama x = 3 paydayı sıfır yapıyorsa o şık elenir. Görüntü kümesi sorularında aralığın içinden kolay bir değer seç (x = 0 gibi) ve sonucun şıktaki aralıkta olup olmadığına bak.
• Çözüm sayısı soruları: f(x) = k denklemini çözmek yerine y = k yatay doğrusunu çizip kesişimleri say. Bu, zaman kazandırır.

Alıştırma

1) A = {1, 2, 3}, B = {4, 5} olsun. β = {(1, 4), (2, 4), (3, 5)} bağıntısı A'dan B'ye fonksiyon mudur?

2) f(x) = x² − 3x ise f(−2) kaçtır?

3) f(2x + 1) = 4x − 3 ise f(7) kaçtır?

4) f(x) = (x + 4)/(x² − 16) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

5) f(x) = √(x + 3) + √(5 − x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

6) f(x) = 1/√(8 − 2x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

7) f: [−2, 3] → ℝ, f(x) = 3 − x fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?

8) f: ℝ → ℝ, f(x) = x² + 2x + 6 fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?

9) f: [−3, 1] → ℝ, f(x) = x² fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?

10) Örnek 6'daki f fonksiyonu için f(x) ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı x vardır?

Cevap Anahtarı

• 1) Evet, fonksiyondur. A'nın her elemanı tek bir elemanla eşlenmiştir; 1 ve 2'nin aynı elemana gitmesi sorun değildir.
• 2) 10. (−2)² − 3 · (−2) = 4 + 6 = 10.
• 3) 9. 2x + 1 = 7 ise x = 3 olur ve 4 · 3 − 3 = 9 bulunur.
• 4) ℝ − {−4, 4}. x² − 16 = 0 denkleminin kökleri x = 4 ve x = −4'tür; bu iki değer paydayı sıfır yaptığı için çıkarılır.
• 5) [−3, 5]. x + 3 ≥ 0 ise x ≥ −3, 5 − x ≥ 0 ise x ≤ 5 olur; iki şartın kesişimi alınır.
• 6) (−∞, 4). Kök paydada olduğu için 8 − 2x > 0 olmalıdır, bu da x < 4 demektir.
• 7) [0, 5]. Fonksiyon azalandır; f(−2) = 5 en büyük, f(3) = 0 en küçük değerdir.
• 8) [5, ∞). x² + 2x + 6 = (x + 1)² + 5 ve (x + 1)² ≥ 0 olduğundan f(x) ≥ 5 olur.
• 9) [0, 9]. x = 0 aralıkta olduğundan en küçük değer f(0) = 0'dır; en büyük değer f(−3) = 9'dur.
• 10) 4. f(x) ≤ 0 olan x değerleri [−3, −1] ∪ {5}'tir; bu kümedeki tam sayılar −3, −2, −1 ve 5'tir.

Dersin özeti

• Fonksiyon, tanım kümesinin her elemanını değer kümesinin yalnız bir elemanıyla eşler. Değer kümesinde boşta eleman kalabilir.
• Düşey doğru testi: Her düşey doğru grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa grafik bir fonksiyondur.
• En geniş tanım kümesi bulunurken payda ≠ 0, çift kökün içi ≥ 0, paydadaki çift kökün içi > 0 şartları yazılır ve bu şartların kesişimi alınır.
• Görüntü kümesini bulurken yalnız uç noktalara bakma; fonksiyonun aralık içinde en küçük ya da en büyük değer aldığı noktayı da kontrol et.
• Grafikte f(a) yüksekliktir. f(x) > 0 eksenin üstünde, f(x) < 0 eksenin altında kalan x değerleridir. f(x) = k denkleminin çözüm sayısı, y = k doğrusunun grafiği kestiği nokta sayısıdır.