Bileşke Fonksiyon, Ters Fonksiyon ve Grafik Dönüşümleri

Önceki derste fonksiyonun ne olduğunu, tanım ve değer kümesini, birebir ve örten fonksiyonları gördük. Bu derste o bilgileri kullanarak fonksiyonları art arda uygulamayı (bileşke), bir fonksiyonun işini geri almayı (ters fonksiyon) ve grafiğin nasıl kaydırılıp yansıtıldığını öğreneceğiz. Sıradaki derslerde bir fonksiyonun grafiğine bakarak nasıl değiştiğini inceleyeceğiz. Bugün kazanacağın grafik okuma becerisi orada doğrudan işine yarayacak.

Günlük hayattan giriş

Bir mağazada 100 TL'lik bir ürün düşün. Kasada iki işlem yapılıyor: %20 indirim ve 50 TL'lik kupon. İndirimi g(x) = 0,8x, kuponu f(x) = x − 50 ile gösterelim. Önce indirim, sonra kupon uygulanırsa ürünün fiyatı f(g(100)) = f(80) = 30 TL olur. Önce kupon, sonra indirim uygulanırsa g(f(100)) = g(50) = 40 TL olur. İki işlem aynı ama sıraları farklı olduğu için sonuç da farklı. İşte bileşke fonksiyon tam olarak budur: bir işlemin çıktısını başka bir işleme girdi olarak vermek. Sıranın önemli olduğunu da buradan görüyoruz.

Şimdi sıcaklık birimlerini düşün. Celsius'tan Fahrenheit'a geçerken F = 1,8C + 32 kullanılır: 100 °C, 212 °F eder. Peki elinde 212 °F varsa Celsius değerini nasıl bulursun? İşlemi tersten yaparsın: önce 32 çıkarır, sonra 1,8'e bölersin. Sonuç yine 100 °C olur. Bir işlemi geri alan bu kurala ters fonksiyon denir. Ters işlem yapabilmemiz için her çıktının tek bir girdiden gelmesi gerekir. Aksi hâlde hangi girdiye döneceğimizi bilemeyiz.

Son olarak bir şehrin gün içindeki sıcaklık grafiğini düşün. Başka bir şehirde sıcaklık tam olarak aynı biçimde değişiyor, ama her şey 2 saat geç oluyor ve her ölçüm 3 derece daha yüksek. Bu şehrin grafiğini yeniden çizmen gerekmez. İlk grafiği 2 birim sağa ve 3 birim yukarı kaydırman yeter. Buna grafik dönüşümü denir. AYT'de grafik sorularının çoğu bu kaydırma ve yansıtma fikrine dayanır.

Tanım ve kural

1. Bileşke fonksiyon

(f∘g)(x) = f(g(x)) olarak tanımlanır. Okurken "f bileşke g" deriz, ama işlem önce g ile yapılır. Nedeni şu: x önce g'ye girer, g(x) çıkar, sonra bu değer f'ye girer. İçteki fonksiyon her zaman önce çalışır. Bunun için g(x) değerinin f'nin tanım kümesinde olması gerekir.

Bileşkede değişme özelliği yoktur: genellikle f∘g ≠ g∘f. Ama birleşme özelliği vardır: (f∘g)∘h = f∘(g∘h). Her iki durumda da işlem sırası h, g, f olarak aynı kalır.

2. Ters fonksiyon

f: A → B fonksiyonunun tersinin olması için f'nin birebir ve örten olması gerekir. Bunun nedeni şu: birebir olmasaydı bir çıktı iki girdiden gelirdi ve geri dönerken hangisini seçeceğimizi bilemezdik. Örten olmasaydı B'de hiçbir girdiden gelmeyen elemanlar kalırdı ve bu elemanlar için ters fonksiyon tanımlanamazdı. Grafikte bunu yatay doğru testi ile kontrol ederiz: her yatay doğru grafiği en fazla bir noktada kesmelidir.

Tersi bulmak için y = f(x) yazılır ve x yalnız bırakılır. Sonra x ile y'nin yeri değiştirilir. Temel özellikler şunlardır: f(a) = b ise f⁻¹(b) = a olur. Ayrıca (f∘f⁻¹)(x) = x ve (f⁻¹∘f)(x) = x olur. Bir de (f∘g)⁻¹ = g⁻¹∘f⁻¹ kuralı vardır. Burada sıra ters döner, çünkü en son yapılan işlem ilk önce geri alınır. Tıpkı önce çorabı, sonra ayakkabıyı giyip çıkarırken önce ayakkabıyı çıkarmak gibi.

Sık kullanılan bir kısayol: f(x) = (ax + b)/(cx + d) ise f⁻¹(x) = (−dx + b)/(cx − a) olur. Kısaca a ile d'nin yeri ve işareti değişir.

3. Grafik dönüşümleri

f(x − a) grafiği neden sağa kayar? g(x) = f(x − a) olsun. f'nin x = 0'daki değerini g'de elde etmek için x − a = 0, yani x = a olmalıdır. Demek ki f'nin 0 noktasında yaptığını g, a noktasında yapar. Bu yüzden her şey a birim sağa taşınır. f(x) + k ise yalnızca her y değerine k ekler. Bu nedenle grafik dikey olarak kayar.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x² olduğuna göre (f∘g)(3) ve (g∘f)(3) değerlerini bulunuz.

Çözüm:

(f∘g)(3) için önce içteki fonksiyon çalışır: g(3) = 3² = 9.

Sonra f(9) = 2·9 + 1 = 19.

(g∘f)(3) için önce f çalışır: f(3) = 2·3 + 1 = 7.

Sonra g(7) = 7² = 49.

(f∘g)(3) = 19, (g∘f)(3) = 49. Sonuçlar farklı çıktı, yani sıra önemli.

Örnek 2 (kolay)

f(x) = 3x − 6 fonksiyonunun tersini bulunuz.

Çözüm:

y = 3x − 6 yazalım.

x'i yalnız bırakalım: 3x = y + 6, buradan x = (y + 6)/3.

x ile y'nin yerini değiştirelim: y = (x + 6)/3.

Kontrol: f(2) = 0 ve (0 + 6)/3 = 2. Ters fonksiyon 0'ı 2'ye geri götürüyor.

f⁻¹(x) = (x + 6)/3

Örnek 3 (orta)

f(x) = (2x + 1)/(x − 3) fonksiyonunun tersini bulunuz.

Çözüm:

y = (2x + 1)/(x − 3) yazalım ve içler dışlar çarpımı yapalım: y(x − 3) = 2x + 1.

Parantezi açalım: xy − 3y = 2x + 1.

x içeren terimleri bir tarafa toplayalım: xy − 2x = 3y + 1.

x'i ortak paranteze alalım: x(y − 2) = 3y + 1, buradan x = (3y + 1)/(y − 2).

x ile y'nin yerini değiştirelim. Kısayol da aynı sonucu verir: a = 2 ile d = −3'ün yeri ve işareti değişir.

Kontrol: f(4) = 9/1 = 9 ve (3·9 + 1)/(9 − 2) = 28/7 = 4. Sonuç doğru.

f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x − 2)

Örnek 4 (orta)

f(x) = 2x − 1 ve (g∘f)(x) = 6x + 1 olduğuna göre g(5) kaçtır?

Çözüm:

(g∘f)(x) = g(f(x)) olduğundan g'nin içine f(x) girer.

g(5) değerini bulmak için f(x) = 5 olmalıdır: 2x − 1 = 5, buradan x = 3.

x = 3 yazarsak g(f(3)) = g(5) = 6·3 + 1 = 19.

g(5) = 19. g(x)'i tamamen bulmaya gerek yoktu. Bu yol sınavda zaman kazandırır.

Örnek 5 (orta)

f(x) = x² − 2x + 3 fonksiyonu [1, ∞) aralığından [2, ∞) aralığına tanımlıdır. f⁻¹(x) nedir?

Çözüm:

Önce tam kareye tamamlayalım: x² − 2x + 3 = (x − 1)² + 2.

Tanım kümesi x ≥ 1 olduğu için parabolün yalnızca sağ kolu alınmış. Bu yüzden fonksiyon birebirdir ve tersi vardır.

y = (x − 1)² + 2 yazalım. Buradan (x − 1)² = y − 2 olur.

x ≥ 1 olduğundan x − 1 ≥ 0, yani pozitif kök alınır: x − 1 = √(y − 2).

x = 1 + √(y − 2). Şimdi x ile y'nin yerini değiştirelim.

f⁻¹(x) = 1 + √(x − 2), x ≥ 2

Örnek 6 (zor)

y = f(x) grafiği A(1, 4) noktasından geçiyor. y = −f(x − 3) + 2 grafiği hangi noktadan geçer?

Çözüm:

Önce x − 3 = 1 olacak şekilde x'i seçelim, çünkü f(1) değerini biliyoruz. Buradan x = 4.

Bu x değerini yerine yazalım: y = −f(1) + 2 = −4 + 2 = −2.

Aynı sonuca adım adım da ulaşabiliriz: (1, 4) noktası 3 birim sağa kayınca (4, 4) olur. x eksenine göre yansıyınca (4, −4) olur. 2 birim yukarı çıkınca (4, −2) olur.

Grafik (4, −2) noktasından geçer.

Örnek 7 (zor)

|x² − 4| = 3 denkleminin kaç farklı reel kökü vardır?

Çözüm:

Mutlak değerin içi ya 3'e ya da −3'e eşit olmalıdır.

Birinci durum: x² − 4 = 3 ⇒ x² = 7 ⇒ x = √7 veya x = −√7.

İkinci durum: x² − 4 = −3 ⇒ x² = 1 ⇒ x = 1 veya x = −1.

Grafikle kontrol edelim: y = x² − 4 parabolünün −2 ile 2 arasındaki parçası x ekseninin altındadır. |f(x)| alınınca bu parça yukarıya yansır ve tepe noktası (0, 4) olur. y = 3 doğrusu 4'ün altında kaldığı için grafiği 4 noktada keser.

4 farklı reel kök vardır.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: (f∘g)(x) = f(x)·g(x). Doğrusu: Bileşke bir çarpma işlemi değildir. (f∘g)(x) = f(g(x)) olur, yani g'nin çıktısı f'ye girer.
• Yanlış: (f∘g)(3) hesaplanırken önce f(3) bulunur. Doğrusu: İçteki fonksiyon önce çalışır. Önce g(3), sonra f(g(3)) hesaplanır.
• Yanlış: f(x) = 2x ise f⁻¹(x) = 1/(2x). Doğrusu: f⁻¹, 1/f değildir. Ters fonksiyon işlemi geri alır: f⁻¹(x) = x/2.
• Yanlış: y = f(x − 3) grafiği 3 birim sola kayar. Doğrusu: Bu grafik 3 birim sağa kayar, çünkü f'nin 0'daki değeri artık x = 3'te elde edilir.
• Yanlış: (f∘g)⁻¹ = f⁻¹∘g⁻¹. Doğrusu: (f∘g)⁻¹ = g⁻¹∘f⁻¹. Son yapılan işlem ilk önce geri alınır.

AYT taktikleri

• Soru tipleri: Bileşke fonksiyonda bir değer bulma, bileşkeden bilinmeyen fonksiyonu bulma, rasyonel fonksiyonun tersi, verilen noktanın dönüşümden sonraki yeri ve |f(x)| = k denkleminin kök sayısı.
• Süre: Bu tür soruların her birine yaklaşık 1–1,5 dakika ayır. g(5) gibi tek bir değer soruluyorsa fonksiyonun tamamını bulmaya çalışma. Örnek 4'teki gibi içi o değere eşitle.
• Şık eleme: Ters fonksiyon sorularında f(a) = b olacak şekilde basit bir a seç ve şıklara b'yi yaz. a'yı vermeyen şıkları ele. Grafik sorularında bilinen tek bir noktanın nereye gittiğine bak. Bu, çoğu zaman üç dört şıkkı bir anda eler.

Alıştırma

1) f(x) = x − 4 ve g(x) = 2x² olduğuna göre (f∘g)(2) kaçtır?

2) Aynı fonksiyonlar için (g∘f)(2) kaçtır?

3) f(x) = 5x + 2 fonksiyonunun tersini bulunuz.

4) f(x) = (x + 4)/(2x − 1) fonksiyonunun tersini bulunuz.

5) f(x) = 3x + 1 olduğuna göre f⁻¹(10) kaçtır?

6) f(x) = x + 3 ve (f∘g)(x) = 4x − 2 olduğuna göre g(x) nedir?

7) f(x) = 2x + 3 ve (g∘f)(x) = x² + 1 olduğuna göre g(7) kaçtır?

8) y = f(x) grafiği (2, 5) noktasından geçiyor. y = f(x + 1) − 4 grafiği hangi noktadan geçer?

9) y = x² grafiği 3 birim sağa ve 2 birim aşağı ötelenirse yeni grafiğin denklemi ne olur?

10) |x² − 2x − 3| = 4 denkleminin kaç farklı reel kökü vardır?

Cevap Anahtarı

• 1) 4: Önce g(2) = 8 bulunur, sonra f(8) = 8 − 4 = 4 olur.
• 2) 8: Önce f(2) = −2 bulunur, sonra g(−2) = 2·4 = 8 olur.
• 3) f⁻¹(x) = (x − 2)/5: y = 5x + 2 denkleminden x = (y − 2)/5 bulunur ve x ile y'nin yeri değiştirilir.
• 4) f⁻¹(x) = (x + 4)/(2x − 1): Kısayolla a = 1 ile d = −1'in yeri ve işareti değişince aynı ifade elde edilir, yani fonksiyon kendi tersidir.
• 5) 3: f⁻¹(10) = a demek f(a) = 10 demektir. 3a + 1 = 10 denkleminden a = 3 bulunur.
• 6) g(x) = 4x − 5: f(g(x)) = g(x) + 3 = 4x − 2 olduğundan g(x) = 4x − 5 olur.
• 7) 5: 2x + 3 = 7 ise x = 2 olur. Buradan g(7) = 2² + 1 = 5 bulunur.
• 8) (1, 1): x + 1 = 2 denkleminden x = 1 bulunur. y = f(2) − 4 = 5 − 4 = 1 olur.
• 9) y = (x − 3)² − 2: Sağa kaydırmak için x yerine x − 3 yazılır, aşağı kaydırmak için 2 çıkarılır.
• 10) 3: x² − 2x − 3 = 4 denklemi 1 ± 2√2 olmak üzere iki kök verir. x² − 2x − 3 = −4 denklemi (x − 1)² = 0 olur ve yalnızca x = 1 kökünü verir.

Dersin özeti

• (f∘g)(x) = f(g(x)) işleminde önce içteki g çalışır. Bileşkede değişme özelliği yoktur, birleşme özelliği vardır.
• Bir fonksiyonun tersinin olması için birebir ve örten olması gerekir. Tersi bulmak için x yalnız bırakılır, sonra x ile y'nin yeri değiştirilir. f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a.
• (f∘g)⁻¹ = g⁻¹∘f⁻¹ kuralında sıra ters döner. (ax + b)/(cx + d) fonksiyonunun tersi (−dx + b)/(cx − a) olur.
• f(x) + k grafiği dikey olarak kayar. f(x − a) grafiği a birim sağa kayar. −f(x) grafiği x eksenine göre yansır. |f(x)| grafiğinde x ekseninin altındaki parçalar yukarı katlanır.
• Sınavda tek bir değer soruluyorsa fonksiyonun içini o değere eşitle. Şıkları basit bir sayı ya da bilinen bir noktayla dene.