Bölme İşlemi: Eşit Paylaştırma ve Kalanlı Bölme

Günlük hayattan giriş

Önceki derste çarpma işlemini öğrendik. Çarpmanın aynı sayıyı tekrar tekrar toplamak olduğunu gördük. Örneğin 4 tabağın her birinde 3 kurabiye varsa toplam kurabiye sayısı 4 × 3 = 12 olur. Bu derste bu işi tersinden yapacağız. Elimizde 12 kurabiye var ve bunları tabaklara eşit dağıtmak istiyoruz. İşte bu işin adı bölme.

Bölmeyi her gün kullanırız. Bir paket bisküviyi arkadaşlarımızla eşit paylaşırız. Sınıftaki öğrenciler eşit sayıda kişiden oluşan gruplara ayrılır. Bir kutu kalem, kalemlikler arasında eşit dağıtılır. Bu durumların hepsinde bir şeyi eşit parçalara ayırırız. Kimse ötekinden fazla almaz.

Bazen de her şey tam olarak paylaşılamaz. 7 elmayı 2 kişi eşit paylaşırsa her biri 3 elma alır, 1 elma da artar. Artan bu elmaya kalan deriz. Bu derste kalanın ne olduğunu, neden bölenden küçük olması gerektiğini ve bulduğumuz sonucun doğru olup olmadığını nasıl kontrol edeceğimizi öğreneceğiz.

Tanım ve kural

Bölmeyi iki farklı şekilde düşünebiliriz:

• Eşit paylaştırma: Grup sayısı bellidir, her gruba kaç tane düştüğünü buluruz. Örnek: 12 kurabiyeyi 3 tabağa eşit koyarsak her tabağa kaç kurabiye düşer? 12 ÷ 3 = 4
• Gruplama: Her gruptaki sayı bellidir, kaç grup olduğunu buluruz. Örnek: 12 kurabiyeyi tabaklara 3'er 3'er koyarsak kaç tabak dolar? 12 ÷ 3 = 4

İki soru da farklı görünüyor ama işlem aynı: 12 ÷ 3. Bölme işleminin her parçasının bir adı var:

Bölme, çarpmanın tersidir. Neden mi? 3 tabağa 4'er kurabiye koyarsak 3 × 4 = 12 kurabiye olur. 12 kurabiyeyi 3 tabağa paylaştırırsak her tabağa 4 kurabiye düşer. Yani 3 × 4 = 12 biliyorsak 12 ÷ 3 = 4 olduğunu da biliriz. Bu yüzden çarpım tablosunu iyi bilen biri bölmeyi de kolayca yapar.

Kalan her zaman bölenden küçüktür. Neden? 17 kalemi 5 kutuya paylaştırdığımızı düşünelim. Her kutuya 3 kalem koyarsak 15 kalem kullanırız ve 2 kalem artar. Bu 2 kalemi 5 kutuya eşit dağıtamayız, çünkü her kutuya birer kalem vermek için 5 kalem gerekir. Kalan 5 ya da daha fazla olsaydı, her kutuya bir kalem daha koyabilirdik. Yani paylaştırma daha bitmemiş olurdu. Bu yüzden kalan bölenden küçük olmak zorundadır.

Sağlama: Bölmenin doğru olup olmadığını çarpmayla kontrol ederiz. Kural şudur:

Uzun bölme (alt alta bölme) büyük sayılarda kullanılır. Adımları her basamakta tekrar ederiz: böl, çarp, çıkar, aşağı indir. Soldaki basamaktan başlarız, çünkü en büyük basamak değeri oradadır. Onlukları önce paylaştırır, artan onlukları birliklere çevirip onlarla devam ederiz.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (Eşit paylaştırma)

12 elma 3 çocuğa eşit olarak paylaştırılıyor. Her çocuk kaç elma alır?

Çözüm:

Toplam elma sayısı 12, çocuk sayısı 3. İşlemimiz 12 ÷ 3.

Kendimize soralım: 3 kere kaç 12 eder? Çarpım tablosundan 3 × 4 = 12.

O hâlde 12 ÷ 3 = 4.

Her çocuk 4 elma alır.

Örnek 2 (Gruplama)

20 kalem, her kutuya 5 kalem gelecek şekilde kutulara konuyor. Kaç kutu gerekir?

Çözüm:

Bu kez bir kutudaki sayıyı biliyoruz: 5. Kaç kutu olduğunu arıyoruz.

İşlemimiz 20 ÷ 5.

5 × 4 = 20 olduğu için 20 ÷ 5 = 4.

4 kutu gerekir.

Örnek 3 (Kalanlı bölme)

17 ÷ 5 işleminin bölümünü ve kalanını bulunuz.

Çözüm:

5'in katlarını sayalım: 5, 10, 15, 20.

20, 17'den büyük olduğu için kullanamayız. 17'yi geçmeyen en büyük kat 15'tir, o da 5 × 3.

Bölüm 3 olur. Kalanı bulmak için çıkarırız: 17 − 15 = 2.

Kalan 2, bölen 5'ten küçük. Kural sağlanıyor.

Sağlama: 5 × 3 + 2 = 15 + 2 = 17.

Bölüm 3, kalan 2.

Örnek 4 (Uzun bölme, iki basamaklı)

84 ÷ 4 işlemini yapınız.

Çözüm:

Onlar basamağından başlarız: 8 onluğu 4'e böleriz. 8 ÷ 4 = 2. Bölüme 2 yazarız.

Çarparız: 2 × 4 = 8. Çıkarırız: 8 − 8 = 0.

Birler basamağındaki 4'ü aşağı indiririz. Elimizde 4 var.

4 ÷ 4 = 1. Bölüme 1 yazarız. 1 × 4 = 4, 4 − 4 = 0.

Sağlama: 4 × 21 = 84.

84 ÷ 4 = 21, kalan 0.

Örnek 5 (Uzun bölme, onlukta kalan var)

96 ÷ 4 işlemini yapınız.

Çözüm:

9 onluğu 4'e böleriz. 4 × 2 = 8, 4 × 3 = 12 olduğu için 9'un içinde 2 tane 4 vardır. Bölüme 2 yazarız.

2 × 4 = 8. Çıkarırız: 9 − 8 = 1. Bu 1 onluk artar.

Birler basamağındaki 6'yı indiririz. Artan 1 onluk ile 6 birlik yan yana gelip 16 olur.

16 ÷ 4 = 4. Bölüme 4 yazarız. 4 × 4 = 16, 16 − 16 = 0.

Sağlama: 4 × 24 = 96.

96 ÷ 4 = 24, kalan 0.

Örnek 6 (Üç basamaklı, kalanlı)

157 ÷ 6 işlemini yapınız.

Çözüm:

İlk basamak 1, bu 6'dan küçük. O yüzden ilk iki basamağı birlikte alırız: 15.

15 ÷ 6: 6 × 2 = 12, 6 × 3 = 18. 18 büyük geldiği için bölüme 2 yazarız.

Çıkarırız: 15 − 12 = 3.

7'yi indiririz, 37 olur.

37 ÷ 6: 6 × 6 = 36, 6 × 7 = 42. Bölüme 6 yazarız.

Çıkarırız: 37 − 36 = 1. İndirecek basamak kalmadı. Kalan 1, bölen 6'dan küçük.

Sağlama: 6 × 26 = 156, 156 + 1 = 157.

Bölüm 26, kalan 1.

Örnek 7 (Kalanı yorumlama problemi)

29 öğrenci 4 kişilik masalara oturacak. Herkesin oturabilmesi için en az kaç masa gerekir?

Çözüm:

İşlemimiz 29 ÷ 4.

4 × 7 = 28, 4 × 8 = 32. Bölüm 7 olur.

Kalan: 29 − 28 = 1.

7 masa dolar ama 1 öğrenci ayakta kalır. Onun da oturması için bir masa daha gerekir.

7 + 1 = 8.

En az 8 masa gerekir.

Sık yapılan hatalar

• Kalanı bölenden büyük bırakmak. Yanlış: 17 ÷ 5 = 2, kalan 7. Doğrusu: Kalan 7, bölen 5'ten büyük olduğu için bir grup daha yapılabilir. 17 ÷ 5 = 3, kalan 2.
• Bölümde sıfırı unutmak. Yanlış: 612 ÷ 3 = 24. Doğrusu: 6 ÷ 3 = 2. Sonra 1 indirilir, 1 sayısı 3'e bölünemez, bölüme 0 yazılır. 12 ÷ 3 = 4. 612 ÷ 3 = 204. Sağlama: 3 × 204 = 612.
• Sağlamada kalanı eklemeyi unutmak. Yanlış: 23 ÷ 4 = 5 kalan 3 için 4 × 5 = 20 bulup sonucu yanlış sanmak. Doğrusu: Kalan da eklenir. 4 × 5 + 3 = 23, sonuç doğru.
• Sayıların yerini değiştirmek. Yanlış: 12 elmayı 3 çocuğa paylaştırırken 3 ÷ 12 yazmak. Doğrusu: Paylaştırılan toplam miktar her zaman başa yazılır. 12 ÷ 3 = 4.
• Problemde kalanı görmezden gelmek. Yanlış: 29 öğrenci için 29 ÷ 4 = 7 kalan 1 bulup 7 masa demek. Doğrusu: Artan öğrenci de oturmalı. 8 masa gerekir.

Alıştırma

1) 18 ÷ 6 = ?

2) 35 ÷ 7 = ?

3) 24 kurabiye 4 tabağa eşit olarak konuyor. Her tabakta kaç kurabiye olur?

4) 30 çiçek, her vazoya 5 çiçek konacak şekilde ayrılıyor. Kaç vazo gerekir?

5) 19 ÷ 4 işleminin bölümünü ve kalanını bulunuz.

6) 50 ÷ 7 işleminin bölümünü ve kalanını bulunuz.

7) 72 ÷ 3 işlemini uzun bölmeyle yapınız.

8) Bir öğrenci 47 ÷ 6 işleminde bölümü 7, kalanı 5 buldu. Sağlama yaparak sonucun doğru olup olmadığını bulunuz.

9) 128 ÷ 4 işlemini uzun bölmeyle yapınız.

10) 34 öğrenci 5 kişilik botlarla göle açılacak. Herkesin binebilmesi için en az kaç bot gerekir?

Cevap Anahtarı

• 1) 3. İpucu: 6 × 3 = 18 olduğu için bölüm 3'tür.
• 2) 5. İpucu: 7 × 5 = 35 olduğu için bölüm 5'tir.
• 3) 6 kurabiye. İpucu: 24 ÷ 4 = 6, çünkü 4 × 6 = 24.
• 4) 6 vazo. İpucu: Bu bir gruplama sorusu: 30 ÷ 5 = 6.
• 5) Bölüm 4, kalan 3. İpucu: 4 × 4 = 16 ve 19 − 16 = 3; sağlama 16 + 3 = 19.
• 6) Bölüm 7, kalan 1. İpucu: 7 × 7 = 49 ve 50 − 49 = 1.
• 7) 24. İpucu: 7 ÷ 3 = 2 kalan 1, 2 indirilince 12 olur, 12 ÷ 3 = 4.
• 8) Doğru. İpucu: 6 × 7 + 5 = 42 + 5 = 47 ve kalan 5, bölen 6'dan küçük.
• 9) 32. İpucu: 12 ÷ 4 = 3, sonra 8 ÷ 4 = 2; sağlama 4 × 32 = 128.
• 10) 7 bot. İpucu: 34 ÷ 5 = 6 kalan 4; kalan 4 öğrenci için bir bot daha gerekir.

Dersin özeti

• Bölme, bir miktarı eşit paylaştırmak ya da eşit gruplara ayırmaktır. Parçalarının adları şöyledir: bölünen, bölen, bölüm ve kalan.
• Bölme çarpmanın tersidir. 3 × 4 = 12 ise 12 ÷ 3 = 4 olur. Çarpım tablosu bölmenin anahtarıdır.
• Kalan her zaman bölenden küçüktür. Kalan büyük olsaydı bir grup daha yapılabilirdi.
• Uzun bölmede soldan başlanır ve her basamakta aynı adımlar tekrarlanır: böl, çarp, çıkar, aşağı indir. Bölünemeyen basamakta bölüme 0 yazılır.
• Sağlama şöyle yapılır: Bölen × Bölüm + Kalan = Bölünen. Sonraki derste dört işlemi birlikte kullanarak günlük hayat problemlerini adım adım çözeceğiz. Bu problemlerde bölmenin kalanını doğru yorumlamak çok işimize yarayacak.