Kümelerde İşlemler ve Problemler

Tahmini süre: 15 dk

Önceki derste kümeyi, elemanı, boş kümeyi, alt kümeyi ve bir kümenin eleman sayısını gösteren s(A) yazımını öğrendik. Bu derste kümeleri birleştireceğiz, ortak yanlarını bulacağız, birinden diğerini çıkaracağız. Mantık derslerinde gördüğümüz veya ile ve bağlaçları da burada karşımıza çıkacak.

Günlük hayattan giriş

Okulunuzda bir bilim şenliği yapılacak. Öğretmen, robotik kulübüne yazılanların listesini ve satranç kulübüne yazılanların listesini alıyor. Şenlik için bu iki kulüpten öğrenci toplayacak. Kaç kişiye haber vermesi gerekir? İki listedeki kişi sayılarını toplamak ilk akla gelen yoldur ama bir sorun var: İki kulübe birden yazılan bir öğrenci her iki listede de yer alır. Sayıları doğrudan toplarsak bu öğrenciyi iki kez saymış oluruz. Oysa ona bir kez haber vermek yeter.

Günlük hayatta bu tür durumlarla sık karşılaşırız. Bir markette hem indirimde olan hem de yerli üretim olan ürünler, bir sınıfta hem gözlüklü hem de basketbol oynayan öğrenciler, bir otobüs ve bir metro hattının ortak durakları bunlara örnektir. Bu durumlarda üç soru sorarız: Toplamda kaç tane var? Ortak olan kaç tane? Yalnızca birinde olan kaç tane?

Matematikte bu soruları kümelerde işlemler ile cevaplarız. Kümeleri kapalı eğrilerle gösteren Venn şeması da işin görsel tarafıdır. İki kümeyi iç içe geçmiş iki daire gibi düşünün. Ortada üst üste binen bölge ortak elemanları, dairelerin geri kalan kısımları yalnız bir kümede olanları, dairelerin dışında kalan bölge de iki kümede de olmayanları gösterir.

Tanım ve kural

Birleşim (A ∪ B): A'da veya B'de bulunan elemanların hepsinden oluşan kümedir. Buradaki "veya", mantıktaki gibi "en az birinde" demektir. Yani iki kümede birden bulunan elemanlar da birleşime dahildir. Ortak bir eleman kümeye yalnızca bir kez yazılır, çünkü bir kümede aynı eleman iki kez yer almaz.

Kesişim (A ∩ B): A'da ve B'de, yani iki kümede birden bulunan elemanlardan oluşan kümedir. Venn şemasında dairelerin üst üste bindiği bölgedir. Ortak eleman yoksa A ∩ B = ∅ olur. Bu durumda A ile B'ye ayrık kümeler denir.

Fark (A ∖ B): A'da olup B'de olmayan elemanlardan oluşan kümedir. "Yalnız A" diye de okunur. Dikkat edin: A ∖ B ile B ∖ A genellikle birbirinden farklıdır. Birincisi A'nın yalnız kendine ait kısmı, ikincisi B'nin yalnız kendine ait kısmıdır.

Tümleme (A′): Üzerinde çalıştığımız tüm elemanları içeren kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir. A′, E'de olup A'da olmayan elemanlardan oluşur. Yani A′ = E ∖ A olur. Evrensel küme belli değilse tümleyen de bulunamaz.

Eleman sayısı bağıntısı neden böyle? Venn şemasındaki iki daireyi üç ayrı parçaya bölelim: yalnız A, yalnız B ve ortak bölge. Bu parçaların ortak elemanı yoktur. Bu yüzden:

s(A ∪ B) = s(A ∖ B) + s(A ∩ B) + s(B ∖ A)

s(A) sayısı "yalnız A" ile "ortak" parçaların toplamıdır. s(B) de "yalnız B" ile "ortak" parçaların toplamıdır. s(A) + s(B) toplamını aldığımızda ortak bölge iki kez sayılmış olur. Fazladan sayılanı bir kez çıkarırsak doğru sonuca ulaşırız:

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B)

Aynı düşünceyle s(A ∖ B) = s(A) − s(A ∩ B) ve s(A′) = s(E) − s(A) bağıntılarını da buluruz.

Aşağıdaki tabloda E = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3} ve B = {2, 3, 4} alınmıştır.

Tabloyu bağıntıyla kontrol edelim: s(A ∪ B) = 3 + 3 − 2 = 4. Tabloda da A ∪ B kümesinin 4 elemanı var. Mantıkta gördüğümüz "veya"nın değili "değil ve değil" olur. Kümelerde de aynısı geçerlidir: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′. Bu örnekte ikisi de {5} kümesine eşittir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {4, 5, 6, 7} olduğuna göre A ∪ B, A ∩ B, A ∖ B ve B ∖ A kümelerini bulunuz.

Çözüm:

Önce ortak elemanları buluruz. 4 ve 5 iki kümede de var.

A ∩ B = {4, 5}

Birleşime her elemanı bir kez yazarız: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A'dan ortak elemanları çıkarırız: A ∖ B = {1, 2, 3}

B'den ortak elemanları çıkarırız: B ∖ A = {6, 7}

Sonuç: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A ∩ B = {4, 5}, A ∖ B = {1, 2, 3}, B ∖ A = {6, 7}

Örnek 2: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ve A = {2, 4, 6, 8, 10} olduğuna göre A′ kümesini ve s(A′) değerini bulunuz.

Çözüm:

A′, E'de olup A'da olmayan elemanlardan oluşur.

E'den çift sayıları çıkarırsak tek sayılar kalır: A′ = {1, 3, 5, 7, 9}

Kontrol edelim: s(A′) = s(E) − s(A) = 10 − 5 = 5

Sonuç: A′ = {1, 3, 5, 7, 9} ve s(A′) = 5

Örnek 3: s(A) = 12, s(B) = 9 ve s(A ∩ B) = 4 olduğuna göre s(A ∪ B), s(A ∖ B) ve s(B ∖ A) değerlerini bulunuz.

Çözüm:

s(A ∪ B) = 12 + 9 − 4 = 17

s(A ∖ B) = 12 − 4 = 8

s(B ∖ A) = 9 − 4 = 5

Parçaları toplayarak kontrol edelim: 8 + 4 + 5 = 17. Sonuç birleşimle aynı.

Sonuç: s(A ∪ B) = 17, s(A ∖ B) = 8, s(B ∖ A) = 5

Örnek 4: 40 kişilik bir grupta İngilizce bilen 25 kişi, Almanca bilen 18 kişi vardır. Yalnız Almanca bilen 7 kişi olduğuna göre yalnız İngilizce bilen kaç kişidir? Bu iki dilden hiçbirini bilmeyen kaç kişidir?

Çözüm:

Almanca bilen 18 kişinin 7'si yalnız Almanca biliyor. Geri kalanlar iki dili de biliyor: 18 − 7 = 11

İngilizce bilen 25 kişiden iki dili de bilenleri çıkarırız: 25 − 11 = 14

En az bir dil bilenler: 14 + 11 + 7 = 32

Hiçbirini bilmeyenler: 40 − 32 = 8

Sonuç: Yalnız İngilizce bilen 14 kişi, hiçbir dili bilmeyen 8 kişidir.

Örnek 5: 32 kişilik bir sınıfta futbol oynayan 18, voleybol oynayan 15 öğrenci vardır. Bu iki sporu da oynamayan 6 öğrenci olduğuna göre iki sporu birden oynayan kaç öğrencidir?

Çözüm:

Önce en az bir spor yapanları buluruz: 32 − 6 = 26. Bu sayı s(F ∪ V) değeridir.

Bağıntıyı yazarız: 26 = 18 + 15 − s(F ∩ V)

26 = 33 − s(F ∩ V) olduğundan s(F ∩ V) = 33 − 26 = 7

Kontrol edelim: Yalnız futbol 18 − 7 = 11, yalnız voleybol 15 − 7 = 8 kişidir. 11 + 7 + 8 + 6 = 32.

Sonuç: İki sporu birden oynayan 7 öğrenci vardır.

Örnek 6: 1'den 100'e kadar olan doğal sayılardan (1 ve 100 dahil) kaç tanesi 3'e veya 5'e bölünür? Kaç tanesi ikisine de bölünmez?

Çözüm:

3'e bölünenler 3, 6, …, 99 sayılarıdır. 99 ÷ 3 = 33 olduğundan 33 tane vardır.

5'e bölünenler 5, 10, …, 100 sayılarıdır. 100 ÷ 5 = 20 olduğundan 20 tane vardır.

İkisine birden bölünenler 15'e bölünür: 15, 30, 45, 60, 75, 90. Toplam 6 tanedir.

3'e veya 5'e bölünenler: 33 + 20 − 6 = 47

İkisine de bölünmeyenler: 100 − 47 = 53

Sonuç: 47 sayı 3'e veya 5'e bölünür, 53 sayı ikisine de bölünmez.

Sık yapılan hatalar

• Kesişimi çıkarmamak: s(A) = 10, s(B) = 8, s(A ∩ B) = 3 için yanlış çözüm: s(A ∪ B) = 10 + 8 = 18. Doğrusu: Ortak elemanlar iki kez sayıldığı için bir kez çıkarılır: 10 + 8 − 3 = 15.
• Farkın yönünü karıştırmak: A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} için yanlış çözüm: A ∖ B = {4}. Doğrusu: A ∖ B, A'da olup B'de olmayanlardır: {1, 2}. {4} ise B ∖ A kümesidir.
• "A" ile "yalnız A"yı aynı sanmak: "Futbol oynayan 18 kişi" ifadesinde iki sporu birden oynayanlar da vardır. Yanlış çözüm: Yalnız futbol oynayan 18 kişidir. Doğrusu: Yalnız futbol = 18 − (ikisini de oynayanlar).
• Birleşimde ortak elemanı iki kez yazmak: Yanlış çözüm: {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 2, 3}. Doğrusu: Bir kümede aynı eleman bir kez yazılır: {1, 2, 3}.
• "Hiçbiri" grubunu unutmak: Sınıf mevcudu çoğu zaman s(A ∪ B) değerine eşit değildir. Yanlış çözüm: s(A ∪ B) = sınıf mevcudu. Doğrusu: Sınıf mevcudu = s(A ∪ B) + hiçbirinde olmayanlar.

Alıştırma

1) A = {a, b, c, d} ve B = {c, d, e} olduğuna göre A ∩ B kümesini bulunuz.

2) Aynı kümeler için A ∪ B kümesini bulunuz.

3) Aynı kümeler için A ∖ B kümesini bulunuz.

4) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ve A = {1, 2, 3} olduğuna göre A′ kümesini bulunuz.

5) s(A) = 10, s(B) = 7 ve s(A ∩ B) = 3 olduğuna göre s(A ∪ B) kaçtır?

6) s(A ∪ B) = 20, s(A) = 12 ve s(B) = 11 olduğuna göre s(A ∩ B) kaçtır?

7) s(A) = 15 ve s(A ∩ B) = 6 olduğuna göre s(A ∖ B) kaçtır?

8) 30 kişilik bir sınıfta kitap okuyan 17, sinemaya giden 14 öğrenci vardır. İkisini de yapan 5 öğrenci olduğuna göre ikisini de yapmayan kaç öğrenci vardır?

9) 1'den 60'a kadar olan doğal sayılardan (1 ve 60 dahil) kaç tanesi 2'ye veya 3'e bölünür?

10) s(E) = 50, s(A) = 20, s(B) = 25 ve s(A ∩ B) = 8 olduğuna göre s((A ∪ B)′) kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) {c, d}: İki kümede birden bulunan elemanlar c ve d'dir.
• 2) {a, b, c, d, e}: Tüm elemanları yazın, ortak olan c ve d'yi yalnızca bir kez yazın.
• 3) {a, b}: A'dan ortak elemanlar olan c ve d'yi çıkarın.
• 4) {4, 5, 6, 7, 8}: E'de olup A'da olmayan elemanları yazın.
• 5) 14: 10 + 7 − 3 = 14.
• 6) 3: 20 = 12 + 11 − s(A ∩ B) olduğundan s(A ∩ B) = 23 − 20 = 3.
• 7) 9: s(A ∖ B) = s(A) − s(A ∩ B) = 15 − 6 = 9.
• 8) 4: En az birini yapanlar 17 + 14 − 5 = 26 olduğundan 30 − 26 = 4.
• 9) 40: 2'ye bölünen 30, 3'e bölünen 20, 6'ya bölünen 10 sayı vardır; 30 + 20 − 10 = 40.
• 10) 13: s(A ∪ B) = 20 + 25 − 8 = 37 olduğundan 50 − 37 = 13.

Dersin özeti

• Birleşim (∪) "en az birinde", kesişim (∩) "ikisinde birden" demektir. Bunlar mantıktaki "veya" ile "ve" bağlaçlarına karşılık gelir.
• A ∖ B, A'nın yalnız kendine ait kısmıdır. A′ ise evrensel kümede olup A'da olmayanlardır. A ∖ B ile B ∖ A genellikle eşit değildir.
• s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B) bağıntısında kesişimi çıkarırız, çünkü ortak elemanlar toplamda iki kez sayılır.
• Problemlerde Venn şemasını dört bölgeye ayırın: yalnız A, ortak, yalnız B ve hiçbiri. Bölgeleri ortak bölgeden başlayarak doldurun, sonra toplamı kontrol edin.
• Sonraki derslerde denklemlere geçeceğiz. Bir denklemin çözümlerini de bir küme olarak yazacağız. Bu derste öğrendiğiniz kesişim ve birleşim, "iki koşulu birlikte sağlayan" ya da "en az birini sağlayan" değerleri bulurken işinize yarayacak.