Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

Tahmini süre: 14 dk

Önceki derslerden bu derse: Önceki derslerde kümelerle çalıştık ve bir koşulu sağlayan elemanları bir küme içinde toplamayı öğrendik. Bu derste aynı fikri denklemlerde kullanacağız. Bir denklemi doğru yapan sayılara çözüm kümesi diyeceğiz. Bu kümenin tek elemanlı, boş ya da sonsuz elemanlı olabileceğini de göreceğiz.

Günlük hayattan giriş

Bir terazinin iki kefesini düşünün. Sol kefede 3 özdeş paket ve 2 kg'lık bir ağırlık, sağ kefede ise 11 kg'lık bir ağırlık var ve terazi dengede. Bir paketin ağırlığını bulmak için ne yaparsınız? Önce iki kefeden de 2 kg alırsınız. Terazi yine dengededir: 3 paket 9 kg gelir. Sonra iki kefeyi de 3'e bölersiniz: 1 paket 3 kg gelir. Farkında olmasanız da az önce bir denklem çözdünüz: 3x + 2 = 11.

Günlük hayatta bu tür durumlarla sık sık karşılaşırız. Bir telefon tarifesinde sabit bir aylık ücretin üstüne dakika başına ücret eklenir. Faturanın tutarı bellidir ama kaç dakika konuşulduğu bilinmez. Bir taksinin açılış ücreti ve kilometre başına ücreti bellidir. Ödenen para bilindiğinde gidilen yol sorulabilir. Bu soruların hepsinde bir bilinmeyen vardır ve iki taraf birbirine eşittir.

Bu derste terazinin dengesini bozmadan bilinmeyeni yalnız bırakmayı öğreneceğiz. Kuralları ezberlemeyeceğiz, her adımın neden doğru olduğunu terazi üzerinden anlayacağız.

Tanım ve kural

a ve b gerçek sayı ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 biçimine getirilebilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. 'Birinci derece' denmesinin sebebi, x'in kuvvetinin 1 olmasıdır. Denklemde x² ya da x³ gibi terimler yoktur.

Denge ilkesi: Eşitliğin iki tarafına aynı işlemi uygularsak eşitlik bozulmaz. İki tarafa aynı sayıyı ekleyebilir ya da iki taraftan aynı sayıyı çıkarabiliriz. İki tarafı sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpabilir ya da bölebiliriz. Sıfırla bölemeyiz, çünkü sıfırla bölme tanımsızdır. İki tarafı sıfırla çarpmak da bilgiyi yok eder. Örneğin 3 ≠ 5 olduğu hâlde 3 × 0 = 5 × 0 olur.

'Karşıya geçince işaret değişir' neden doğru? x + 5 = 12 denkleminde iki taraftan 5 çıkarırsak x = 12 − 5 olur. Sol tarafta +5 kaybolmuş, sağ tarafta −5 belirmiştir. Yani 'işaret değiştirerek karşıya geçirmek', aslında iki tarafa aynı işlemi uygulamanın kısa yoludur. Aynı şekilde 4x = 20 denkleminde iki tarafı 4'e böleriz ve x = 20 ÷ 4 = 5 buluruz.

Genel çözüm: ax + b = 0 denkleminde önce iki taraftan b çıkarılır: ax = −b. Sonra a ≠ 0 olduğu için iki taraf a'ya bölünür: x = −b/a.

Denklemi düzenledikten sonra ax = c biçimine gelirsek üç durum olabilir:

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 3x − 7 = 11 denklemini çözünüz.

Çözüm:

İki tarafa 7 ekleriz: 3x = 18

İki tarafı 3'e böleriz: x = 6

Kontrol: 3 × 6 − 7 = 18 − 7 = 11 ✓

x = 6

Örnek 2: 5x + 4 = 2x − 11 denklemini çözünüz.

Çözüm:

x'li terimleri sola toplamak için iki taraftan 2x çıkarırız: 3x + 4 = −11

İki taraftan 4 çıkarırız: 3x = −15

İki tarafı 3'e böleriz: x = −5

Kontrol: Sol taraf 5 × (−5) + 4 = −21, sağ taraf 2 × (−5) − 11 = −21 ✓

x = −5

Örnek 3: 4(x − 3) − 2(x + 1) = 10 denklemini çözünüz.

Çözüm:

Parantezleri dağıtırız: 4x − 12 − 2x − 2 = 10

Dikkat: −2 ile (+1) çarpılınca −2 olur.

Benzer terimleri toplarız: 2x − 14 = 10

İki tarafa 14 ekleriz: 2x = 24

İki tarafı 2'ye böleriz: x = 12

Kontrol: 4 × 9 − 2 × 13 = 36 − 26 = 10 ✓

x = 12

Örnek 4: x/2 + x/3 = 10 denklemini çözünüz.

Çözüm:

Paydalar 2 ve 3'tür. EKOK(2, 3) = 6 olur.

İki tarafı 6 ile çarparız. Her terim çarpılır: 3x + 2x = 60

Toplarız: 5x = 60

İki tarafı 5'e böleriz: x = 12

Kontrol: 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10 ✓

x = 12

Örnek 5: (x − 1)/4 − (x + 2)/6 = 1 denklemini çözünüz.

Çözüm:

EKOK(4, 6) = 12 olur. İki tarafı 12 ile çarparız.

12 × (x − 1)/4 = 3(x − 1) ve 12 × (x + 2)/6 = 2(x + 2) olur. Sağ taraf 12 × 1 = 12 olur.

Denklem şöyle olur: 3(x − 1) − 2(x + 2) = 12

Dağıtırız: 3x − 3 − 2x − 4 = 12

Toplarız: x − 7 = 12

İki tarafa 7 ekleriz: x = 19

Kontrol: 18/4 − 21/6 = 4,5 − 3,5 = 1 ✓

x = 19

Örnek 6 (özel durumlar): a) 2(x + 3) = 2x + 6   b) 3x + 1 = 3x + 5 denklemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.

Çözüm:

a) Sol tarafı dağıtırız: 2x + 6 = 2x + 6

İki taraftan 2x çıkarırız: 6 = 6. Bu eşitlik x ne olursa olsun doğrudur.

a) Çözüm kümesi ℝ

b) İki taraftan 3x çıkarırız: 1 = 5. Bu eşitlik hiçbir zaman doğru değildir.

b) Çözüm kümesi ∅

Örnek 7 (sözel problem): Ardışık üç tam sayının toplamı 81'dir. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Çözüm:

En küçük sayıya x diyelim. Diğer sayılar x + 1 ve x + 2 olur.

Denklemi kurarız: x + (x + 1) + (x + 2) = 81

Toplarız: 3x + 3 = 81

İki taraftan 3 çıkarırız: 3x = 78

İki tarafı 3'e böleriz: x = 26

Sayılar 26, 27 ve 28'dir. Kontrol: 26 + 27 + 28 = 81 ✓

En büyük sayı 28'dir.

Örnek 8 (yaş problemi): Bir babanın yaşı, oğlunun yaşının 3 katıdır. 12 yıl sonra babanın yaşı, oğlunun yaşının 2 katı olacaktır. Babanın bugünkü yaşı kaçtır?

Çözüm:

Oğlun bugünkü yaşına x diyelim. Babanın yaşı 3x olur.

12 yıl sonra oğul x + 12, baba 3x + 12 yaşında olur. İkisinin de yaşı 12 artar.

Denklemi kurarız: 3x + 12 = 2(x + 12)

Dağıtırız: 3x + 12 = 2x + 24

İki taraftan 2x ve 12 çıkarırız: x = 12

Baba 3 × 12 = 36 yaşındadır. Kontrol: 12 yıl sonra baba 48, oğul 24 yaşında olur ve 48 = 2 × 24 ✓

Babanın yaşı 36'dır.

Sık yapılan hatalar

• Karşıya geçerken işareti değiştirmemek. Yanlış: 2x + 5 = 13 ⟹ 2x = 13 + 5. Doğrusu: İki taraftan 5 çıkarılır, 2x = 13 − 5 = 8 ve x = 4 olur.
• Parantez önündeki eksiyi yalnız ilk terime uygulamak. Yanlış: 7 − (x − 3) = 7 − x − 3. Doğrusu: Eksi, parantezin içindeki her terimi etkiler. 7 − x + 3 = 10 − x olur.
• Payda eşitlerken bazı terimleri çarpmayı unutmak. Yanlış: x/3 + 2 = 5 ⟹ x + 2 = 15. Doğrusu: 2 de 3 ile çarpılır. x + 6 = 15 ve x = 9 olur. Kontrol: 9/3 + 2 = 5 ✓
• Negatif katsayıya bölerken işareti kaybetmek. Yanlış: −4x = 20 ⟹ x = 5. Doğrusu: 20 ÷ (−4) = −5, yani x = −5 olur.
• 0 = 0 sonucunu 'çözüm yok' sanmak. Yanlış: 'x kayboldu, çözüm yok.' Doğrusu: 0 = 0 her zaman doğru olduğu için çözüm kümesi ℝ'dir. Çözüm kümesi yalnızca 1 = 5 gibi yanlış bir eşitlik çıktığında ∅ olur.

Alıştırma

1) 2x + 9 = 25 denklemini çözünüz.

2) 7 − 3x = −8 denklemini çözünüz.

3) 6x − 5 = 4x + 7 denklemini çözünüz.

4) 3(2x − 1) = 4x + 11 denklemini çözünüz.

5) 5 − 2(x − 4) = x + 1 denklemini çözünüz.

6) x/4 − x/6 = 2 denklemini çözünüz.

7) (2x + 1)/3 = (x + 4)/2 denklemini çözünüz.

8) 4(x + 2) = 4x + 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

9) 2x − 3 = 2(x + 1) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

10) Bir sayının 3 katının 8 fazlası, aynı sayının 5 katının 4 eksiğine eşittir. Bu sayı kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) x = 8: İki taraftan 9 çıkarınca 2x = 16 olur, sonra 2'ye bölünür.
• 2) x = 5: İki taraftan 7 çıkarınca −3x = −15 olur, −3'e bölünce x pozitif çıkar.
• 3) x = 6: x'li terimler sola, sayılar sağa toplanınca 2x = 12 olur.
• 4) x = 7: Dağıtınca 6x − 3 = 4x + 11 olur, buradan 2x = 14 bulunur.
• 5) x = 4: Dağıtınca 13 − 2x = x + 1 olur, buradan 12 = 3x bulunur.
• 6) x = 24: İki taraf EKOK olan 12 ile çarpılınca 3x − 2x = 24 olur.
• 7) x = 10: İki taraf 6 ile çarpılınca 2(2x + 1) = 3(x + 4), yani 4x + 2 = 3x + 12 olur.
• 8) Çözüm kümesi ℝ: Dağıtınca 4x + 8 = 4x + 8 olur ve her x için doğrudur.
• 9) Çözüm kümesi ∅: 2x − 3 = 2x + 2 olur, 2x'ler gidince −3 = 2 gibi yanlış bir eşitlik kalır.
• 10) 6: 3x + 8 = 5x − 4 denkleminden 12 = 2x bulunur. Kontrol: 26 = 26.

Sınav ipucu: Test sorularında denklemi çözdükten sonra bulduğunuz değeri ilk denklemde yerine koyun. Bu işlem birkaç saniye sürer ve işaret hatalarını yakalar. Çözüme takılırsanız şıkları tek tek denklemde deneyerek de doğru cevaba ulaşabilirsiniz.

Dersin özeti

• Denklem dengedeki bir terazi gibidir. İki tarafa aynı işlemi uygularsak (sıfırla çarpma ve bölme hariç) eşitlik bozulmaz.
• ax + b = 0 (a ≠ 0) denkleminin çözümü x = −b/a'dır. 'Karşıya geçince işaret değişir' kuralı bu dengeden gelir.
• Parantezli denklemlerde önce dağıtma yapılır. Paydalı denklemlerde iki taraf paydaların EKOK'u ile çarpılır ve her terim çarpılır.
• Düzenleme sonunda 0 = 0 çıkarsa çözüm kümesi ℝ, 1 = 5 gibi yanlış bir eşitlik çıkarsa ∅ olur.
• Sözel problemlerde bilinmeyene bir harf verilir, cümleler sırayla matematik diline çevrilir ve sonuç mutlaka kontrol edilir.

Sıradaki derse köprü: Bu derste iki taraf eşit olduğunda bilinmeyeni bulduk. Kursun devamında aynı denge fikrini, bir bilinmeyenin başka bir büyüklüğe bağlı olarak nasıl değiştiğini incelemek için kullanacağız. Böylece fonksiyon kavramına doğru ilerleyeceğiz.