Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme: İşaret Kuralları

Önceki derste tam sayılarla toplama ve çıkarma yaptık; sayı doğrusunda sağa ve sola hareket ettik. Bu derste aynı tam sayıları çarpıp böleceğiz. Özellikle şu soruya cevap arayacağız: Eksi ile eksinin çarpımı neden artıdır?

Günlük hayattan giriş

Kışın bir şehirde hava her saat 3 °C soğuyor. 4 saat sonra sıcaklık ne kadar değişir? Her saat −3 °C'lik bir değişim var ve bu 4 kez tekrarlanıyor: (−3) + (−3) + (−3) + (−3) = −12. Bunu kısaca 4 × (−3) = −12 diye yazarız. Sıcaklık 12 °C düşmüştür. Yani pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı negatiftir. Günlük hayatta bunu zaten biliyoruz: Bir şey her seferinde azalıyorsa, çok kez tekrarlanınca daha çok azalır.

Şimdi zamanı geri saralım. Hava her saat 3 °C soğuyorsa, 2 saat önce hava şimdikinden nasıl olmalıydı? Daha sıcak olmalıydı, çünkü o zamandan beri hava soğuyor. Saat başına değişim −3, geçmişe gitmek de −2 saat demek: (−2) × (−3) = +6. Gerçekten de 2 saat önce hava 6 °C daha sıcaktı. İşte eksi ile eksinin çarpımının artı olmasının günlük hayattaki anlamı budur: Bir azalmayı geriye doğru izlersen artış görürsün.

Bölme de hayatımızda sık karşımıza çıkar. 5 günde toplam 15 °C soğuyan bir havada günlük ortalama değişim (−15) ÷ 5 = −3 °C olur. Bir dalgıç 20 metre derine 4 dakikada iniyorsa dakikada ortalama (−20) ÷ 4 = −5 metre hareket etmiştir. Bu derste çarpma ve bölmenin işaret kurallarını öğrenip işlem önceliği ile birlikte kullanacağız.

Tanım ve kural

1) Çarpma, tekrarlı toplamadır. 3 × (−4) demek, −4'ü 3 kez toplamak demektir: (−4) + (−4) + (−4) = −12. Negatif sayıları topladıkça daha da negatife gideriz; bu yüzden sonuç negatiftir.

2) Eksi ile eksinin çarpımı: Örüntü ile açıklama. Aşağıdaki çarpımlara bakalım. Her satırda ilk çarpan 1 azalıyor, ikinci çarpan hep −2:

3 × (−2) = −6

2 × (−2) = −4

1 × (−2) = −2

0 × (−2) = 0

Sonuçlar her adımda 2 artıyor: −6, −4, −2, 0. Örüntüyü bozmadan devam edersek:

(−1) × (−2) = 2

(−2) × (−2) = 4

(−3) × (−2) = 6

Örüntü bize şunu gösteriyor: Kuralın başka türlü olması, sayıların düzenini bozardı. Bu yüzden negatif × negatif = pozitif olur.

3) Bölme, çarpmanın tersidir. (−12) ÷ 3 sorusu aslında şunu sorar: 3 ile hangi sayıyı çarparsam −12 olur? Cevap −4'tür, çünkü 3 × (−4) = −12. Benzer şekilde (−12) ÷ (−3) = 4, çünkü (−3) × 4 = −12. Bu yüzden bölmenin işaret kuralı çarpmanınkiyle aynıdır.

4) Sıfır ile işlemler. Her sayının 0 ile çarpımı 0'dır. 0 ÷ (−7) = 0'dır, çünkü (−7) × 0 = 0. Ancak (−7) ÷ 0 tanımsızdır; çünkü 0 ile çarpılınca −7 veren bir sayı yoktur.

5) Çok sayıda çarpan varsa: Negatif çarpanları say. Her iki eksi birbirini artıya çevirir. Negatif çarpan sayısı çift ise sonuç pozitif, tek ise sonuç negatiftir.

6) İşlem önceliği: Önce parantez içi, sonra çarpma ve bölme (soldan sağa, hangisi önce gelirse), en son toplama ve çıkarma (soldan sağa) yapılır.

Kısaca hatırla: Aynı işaretler artı, farklı işaretler eksi verir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

(−7) × 6 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

İşaretler farklı (− ve +), sonuç negatif olur.

Sayıları işaretsiz çarpalım: 7 × 6 = 42.

İşareti ekleyelim: (−7) × 6 = −42

Örnek 2

(−56) ÷ (−8) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

İşaretler aynı (− ve −), sonuç pozitif olur.

56 ÷ 8 = 7.

Kontrol: (−8) × 7 = −56. Doğru.

(−56) ÷ (−8) = 7

Örnek 3

(−2) × 5 × (−3) × (−1) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Negatif çarpanları sayalım: −2, −3, −1. Toplam 3 tane, yani tek sayıda. Sonuç negatif olur.

Sayıları işaretsiz çarpalım: 2 × 5 × 3 × 1 = 30.

Sonuç: −30

Örnek 4

(−48) ÷ 6 × (−2) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Çarpma ve bölme aynı önceliktedir, soldan sağa yapılır.

Önce (−48) ÷ 6 = −8.

Sonra (−8) × (−2) = 16.

Sonuç: 16

Örnek 5

15 − (−4) × 3 + (−20) ÷ 5 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Önce çarpma ve bölme: (−4) × 3 = −12 ve (−20) ÷ 5 = −4.

İfade şuna dönüşür: 15 − (−12) + (−4).

Bir sayıyı çıkarmak, ters işaretlisini eklemektir: 15 + 12 + (−4).

15 + 12 = 27, sonra 27 + (−4) = 23.

Sonuç: 23

Örnek 6

[(−36) ÷ (−4) − 12] × (−2) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Önce parantez içi. Parantez içinde önce bölme: (−36) ÷ (−4) = 9.

Parantez içi: 9 − 12 = −3.

Şimdi çarpma: (−3) × (−2) = 6.

Sonuç: 6

Örnek 7 (Problem)

Bir şehirde sıcaklık 2 °C iken gece boyunca 5 saat, her saat 3 °C düşüyor. Sabah ise 2 saat boyunca her saat 4 °C artıyor. Son durumda sıcaklık kaç °C olur?

Çözüm:

Gece değişimi: 5 × (−3) = −15 °C.

Sabah değişimi: 2 × 4 = 8 °C.

Toplam: 2 + (−15) + 8.

2 + (−15) = −13, sonra −13 + 8 = −5.

Son sıcaklık: −5 °C

LGS için taktik

• Soru tipi: LGS'de bu konu çoğunlukla sıcaklık, deniz seviyesi, puanlama gibi bağlamlı problemlerde ya da birkaç işlemin birlikte verildiği ifadelerde karşına çıkar.
• Süre: Sayısal oturumda soru başına ortalama 2 dakika düşer. İşaret sorusu gibi kısa bir işleme 1 dakikadan fazla ayırmamaya çalış; kalan süreyi uzun problemlere sakla.
• Şık eleme: Hesaba başlamadan önce sonucun işaretini belirle (negatif çarpanları say). Yanlış işaretli şıkları hemen ele. Sonra kalan şıkları sayının büyüklüğüne ya da son basamağına bakarak ayır.

Sık yapılan hatalar

• Toplamayı çarpmayla karıştırmak. Yanlış: (−3) + (−5) = 8 ("eksi eksi artı" diye). Doğrusu: Bu bir toplama işlemidir; iki borç birleşir: (−3) + (−5) = −8. "Aynı işaret artı verir" kuralı yalnızca çarpma ve bölmede geçerlidir.
• Bölmeden önce çarpma yapmak. Yanlış: (−12) ÷ 3 × (−2) = (−12) ÷ (−6) = 2. Doğrusu: Soldan sağa gidilir: (−12) ÷ 3 = −4, sonra (−4) × (−2) = 8.
• İşlem önceliğini atlamak. Yanlış: 5 − 3 × (−2) = 2 × (−2) = −4. Doğrusu: Önce çarpma: 3 × (−2) = −6, sonra 5 − (−6) = 5 + 6 = 11.
• Negatif çarpanları yanlış saymak. Yanlış: (−2) × (−3) × (−4) = 24. Doğrusu: 3 tane negatif çarpan var (tek sayıda), sonuç −24 olur.
• Sıfıra bölmeyi 0 sanmak. Yanlış: (−8) ÷ 0 = 0. Doğrusu: (−8) ÷ 0 tanımsızdır. Ama 0 ÷ (−8) = 0'dır.

Alıştırma

1) (−9) × 4 = ?

2) (−72) ÷ (−9) = ?

3) 63 ÷ (−7) = ?

4) (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) = ?

5) (−5) × 2 × (−3) = ?

6) (−40) ÷ (−5) × (−3) = ?

7) 18 + (−6) × (−2) = ?

8) (−25) ÷ 5 − (−3) × 4 = ?

9) [(−6) × 3 + 10] ÷ (−2) = ?

10) Bir yarışmada her doğru cevap +5 puan, her yanlış cevap −2 puan değerindedir. 7 doğru ve 4 yanlış cevap veren bir öğrenci toplam kaç puan alır?

Cevap Anahtarı

• 1) −36: İşaretler farklı olduğu için 9 × 4 = 36'nın önüne eksi gelir.
• 2) 8: İşaretler aynı olduğu için 72 ÷ 9 = 8 pozitiftir.
• 3) −9: İşaretler farklı olduğu için 63 ÷ 7 = 9'un önüne eksi gelir.
• 4) −1: 5 tane negatif çarpan var, 5 tek sayı olduğu için sonuç negatiftir.
• 5) 30: (−5) × 2 = −10, sonra (−10) × (−3) = 30.
• 6) −24: Soldan sağa (−40) ÷ (−5) = 8, sonra 8 × (−3) = −24.
• 7) 30: Önce (−6) × (−2) = 12, sonra 18 + 12 = 30.
• 8) 7: (−25) ÷ 5 = −5 ve (−3) × 4 = −12, sonra −5 − (−12) = −5 + 12 = 7.
• 9) 4: Parantez içi (−18) + 10 = −8, sonra (−8) ÷ (−2) = 4.
• 10) 27: 7 × 5 = 35 ve 4 × (−2) = −8, toplam 35 + (−8) = 27.

Dersin özeti

• Çarpma tekrarlı toplamadır: 3 × (−4) = (−4) + (−4) + (−4) = −12. Bu yüzden pozitif × negatif sonucu negatiftir.
• Örüntü (3 × (−2) = −6, 2 × (−2) = −4, ...) bozulmasın diye negatif × negatif sonucu pozitiftir.
• Bölme çarpmanın tersi olduğu için aynı işaret kuralını izler: aynı işaretler artı, farklı işaretler eksi verir. Bir sayı 0'a bölünemez.
• Çok çarpanlı işlemde negatif çarpan sayısı çiftse sonuç pozitif, tekse negatiftir.
• İşlem önceliği: parantez, sonra çarpma-bölme (soldan sağa), en son toplama-çıkarma (soldan sağa).

Sonraki derse köprü: Örnek 4. alıştırmada aynı sayıyı, yani −1'i, 5 kez art arda çarptık. Bir sonraki derste aynı sayının tekrar tekrar çarpılmasını kısaca yazmanın yolu olan üslü ifadelere geçeceğiz. Bu derste öğrendiğin "negatif çarpan sayısı tek mi, çift mi?" kuralı orada da işine yarayacak.