Üslü İfadelerin Anlamı: Tabanı ve Üssü Tanıyalım

Tahmini süre: 13 dk

Önceki derste tam sayılarla çarpma ve bölme yaparken işaret kuralını öğrendik: iki negatif sayının çarpımı pozitif, bir negatif ile bir pozitif sayının çarpımı negatiftir. Bu derste o kuralı çok işimize yarayacak yeni bir yazım biçiminde kullanacağız: üslü ifadeler.

Günlük hayattan giriş

Bir hikâye düşünelim: Bir haber sabah 2 kişiye ulaşıyor. Her kişi bu haberi bir saat içinde 2 yeni kişiye anlatıyor. Bir saat sonra 2 × 2 = 4 kişi, iki saat sonra 2 × 2 × 2 = 8 kişi haberi yeni öğrenmiş oluyor. Saatler ilerledikçe çarpım uzar: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2… Bu kadar uzun bir çarpımı yazmak hem zaman alır hem de kaç tane 2 yazdığımızı saymak zorlaşır.

Matematikçiler bu sorunu kısa bir yazımla çözmüştür. Aynı sayıyı tekrar tekrar çarpıyorsak, o sayıyı bir kez yazar ve sağ üst köşesine kaç kez çarptığımızı küçük bir sayıyla gösteririz. Örneğin on tane 2'nin çarpımı kısaca 2¹⁰ diye yazılır. Yani üslü ifade, yeni bir işlem değil; tekrarlı çarpmanın kısa yazılışıdır.

Bu yazımı günlük hayatta da görürüz: Bir odanın alanını metrekare (m²), bir su deposunun hacmini metreküp (m³) ile ölçeriz. Buradaki küçük 2 ve 3, uzunluğun kendisiyle kaç kez çarpıldığını anlatır. Bilgisayarların hafızası da 2'nin kuvvetleriyle ilgilidir. Bu derste üslü ifadenin parçalarını tanıyacak ve özellikle negatif sayılarda parantezin neden bu kadar önemli olduğunu göreceğiz.

Tanım ve kural

Tanım: a bir tam sayı ve n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n tane a'nın çarpımı aⁿ biçiminde yazılır.

aⁿ = a × a × a × … × a (n tane a)

• Taban (a): Tekrar tekrar çarpılan sayıdır.
• Üs (n): Tabanın kaç kez çarpıldığını gösteren sayıdır. Üs, tabanın sağ üst köşesine küçük yazılır.

Örneğin 3⁴ ifadesinde taban 3, üs 4'tür. Anlamı 3 × 3 × 3 × 3 demektir ve sonucu 81'dir. Bu ifade “3 üssü 4” ya da “3'ün 4. kuvveti” diye okunur. Üssü 2 olan ifadelere kare, üssü 3 olanlara küp de denir: 5² “5'in karesi”, 5³ “5'in küpü” diye okunur. Üssü 1 olan bir sayı ise kendisidir: 7¹ = 7, çünkü yalnızca bir tane 7 vardır.

Dikkat: 3⁴, 3 × 4 demek değildir. Üs, çarpılacak sayı değil, kaç kez çarpılacağının sayısıdır. 3 × 4 = 12 iken 3⁴ = 81'dir.

Negatif tabanlarda parantezin önemi

Üs, yalnızca hemen solundaki sayıya ya da parantezin tamamına aittir. Bu yüzden şu iki yazım birbirinden çok farklıdır:

• (-2)⁴: Parantez içindeki -2 tabandır. Anlamı (-2) × (-2) × (-2) × (-2) olur.
• -2⁴: Parantez yoktur, taban yalnızca 2'dir. Başındaki eksi işareti üsse dahil değildir. Anlamı -(2 × 2 × 2 × 2) olur.

Hesaplayalım: (-2) × (-2) = 4, sonra 4 × (-2) = -8, sonra -8 × (-2) = 16. Yani (-2)⁴ = 16. Öte yandan 2 × 2 × 2 × 2 = 16 olduğu için -2⁴ = -16 olur.

Negatif tabanda sonucun işareti neden değişir?

Önceki dersten hatırlayalım: İki negatif sayının çarpımı pozitiftir. Negatif sayıları ikişer ikişer eşleştirirsek her çift pozitif bir sonuç verir. Negatif sayıların adedi çift ise hepsi eşleşir, sonuç pozitif olur. Adedi tek ise bir negatif sayı eşsiz kalır, sonuç negatif olur. Aşağıdaki tabloda bunu adım adım görebilirsin:

Kuralları kısaca özetleyelim:

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 5 × 5 × 5 çarpımını üslü ifade olarak yaz, tabanını ve üssünü belirt, sonucu bul.

Çözüm:

Çarpılan sayı 5, yani taban 5'tir.

5 sayısı 3 kez çarpılmış, yani üs 3'tür.

Üslü yazım: 5³

5 × 5 = 25, 25 × 5 = 125

5 × 5 × 5 = 5³ = 125

Örnek 2: 3⁴ ile 4³ ifadelerini karşılaştır.

Çözüm:

3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3

3 × 3 = 9, 9 × 3 = 27, 27 × 3 = 81, yani 3⁴ = 81.

4³ = 4 × 4 × 4

4 × 4 = 16, 16 × 4 = 64, yani 4³ = 64.

3⁴ = 81 > 4³ = 64; taban ile üssün yeri değişince sonuç değişir.

Örnek 3: (-3)² ve -3² ifadelerinin değerlerini bul.

Çözüm:

(-3)² ifadesinde taban -3'tür: (-3) × (-3) = 9.

-3² ifadesinde taban 3'tür, eksi işareti dışarıdadır: -(3 × 3) = -9.

(-3)² = 9, -3² = -9

Örnek 4: (-1)⁷ + (-1)¹⁰ işleminin sonucunu bul.

Çözüm:

(-1)⁷ ifadesinde taban negatif, üs 7 tek sayıdır; sonuç negatiftir. 1'in her kuvveti 1 olduğu için (-1)⁷ = -1.

(-1)¹⁰ ifadesinde taban negatif, üs 10 çift sayıdır; sonuç pozitiftir. (-1)¹⁰ = 1.

-1 + 1 = 0

(-1)⁷ + (-1)¹⁰ = 0

Örnek 5: (2/3)² ile 2²/3 ifadelerini hesapla.

Çözüm:

(2/3)² ifadesinde parantez olduğu için taban 2/3'tür: (2/3) × (2/3).

Paylar çarpılır: 2 × 2 = 4; paydalar çarpılır: 3 × 3 = 9. Sonuç 4/9.

2²/3 ifadesinde üs yalnızca 2'ye aittir: 2² = 4, payda 3 olarak kalır. Sonuç 4/3.

(2/3)² = 4/9, 2²/3 = 4/3

Örnek 6: (-2)³ − (-3)² işleminin sonucunu bul.

Çözüm:

(-2)³ = (-2) × (-2) × (-2). Önce (-2) × (-2) = 4, sonra 4 × (-2) = -8.

(-3)² = (-3) × (-3) = 9.

İşlem: -8 − 9

-8 − 9 = -17

(-2)³ − (-3)² = -17

Örnek 7: -2⁴ − (-2)⁴ işleminin sonucunu bul.

Çözüm:

-2⁴ ifadesinde taban 2'dir: 2⁴ = 16, önündeki eksiyle -16.

(-2)⁴ ifadesinde taban -2, üs 4 çifttir: sonuç 16.

İşlem: -16 − 16

-16 − 16 = -32

-2⁴ − (-2)⁴ = -32

Sık yapılan hatalar

• Tabanla üssü çarpmak: Yanlış: 2³ = 2 × 3 = 6. Doğrusu: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Üs, kaç kez çarpılacağını gösterir.
• Parantezsiz ifadede eksiyi tabana katmak: Yanlış: -3² = 9. Doğrusu: -3² = -(3 × 3) = -9. Parantez yoksa taban yalnızca 3'tür.
• Negatif tabanın çift kuvvetini negatif bulmak: Yanlış: (-5)² = -25. Doğrusu: (-5) × (-5) = 25. İki negatifin çarpımı pozitiftir.
• Taban ile üssün yerini önemsiz sanmak: Yanlış: 2³ = 3². Doğrusu: 2³ = 8, 3² = 9; 8 ≠ 9.
• Kesirde parantezi unutmak: Yanlış: (1/2)³ = 1/6. Doğrusu: (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/8. Paylar ve paydalar ayrı ayrı çarpılır.

LGS için taktik

LGS'de üslü ifadeler genellikle işlem sonucu bulma, büyüklük karşılaştırma ya da günlük hayat bağlamında (alan, hacim, katlanarak artış) yeni nesil sorular olarak gelir. Sayısal oturumda 80 dakikada 40 soru çözüldüğü için bir soruya ortalama 2 dakika düşer; üslü ifade hesaplarını bundan kısa sürede bitirmeyi hedefle.

• Önce işarete bak: Negatif taban ve tek üs varsa sonuç negatiftir. Pozitif sonuçlu şıkları hemen ele.
• Parantezi kontrol et: -a² ile (-a)² arasındaki fark, soruyu hazırlayanların en sık kullandığı tuzaktır.
• Son basamağa bak: Örneğin 3⁴ sonucunun birler basamağı 3 × 3 × 3 × 3 işleminin son basamaklarından bulunur (9, 7, 1); birler basamağı 1 olmayan şıklar elenir.

Alıştırma

• 1) 7² ifadesinin değeri kaçtır?
• 2) 2⁶ ifadesinin değeri kaçtır?
• 3) 6 × 6 × 6 × 6 çarpımını üslü ifade olarak yaz.
• 4) (-4)² ifadesinin değeri kaçtır?
• 5) -4² ifadesinin değeri kaçtır?
• 6) (-2)⁵ ifadesinin değeri kaçtır?
• 7) (-1)²⁰²⁶ ifadesinin değeri kaçtır?
• 8) (1/2)³ ifadesinin değeri kaçtır?
• 9) (-3)² + (-2)³ işleminin sonucu kaçtır?
• 10) (-10)³ ifadesinin sonucu pozitif mi, negatif mi? Değerini bul.

Cevap Anahtarı

• 1) 49: 7 × 7 = 49.
• 2) 64: 2, 4, 8, 16, 32, 64 diye altı kez 2 ile çarp.
• 3) 6⁴: Taban 6, dört kez çarpıldığı için üs 4.
• 4) 16: (-4) × (-4) iki negatifin çarpımı olduğundan pozitif 16'dır.
• 5) -16: Parantez olmadığı için taban 4'tür, -(4 × 4) = -16.
• 6) -32: Taban negatif, üs 5 tek; 2⁵ = 32 olduğundan sonuç -32.
• 7) 1: Taban -1 ve üs 2026 çift olduğundan sonuç 1.
• 8) 1/8: Pay 1 × 1 × 1 = 1, payda 2 × 2 × 2 = 8.
• 9) 1: (-3)² = 9 ve (-2)³ = -8 olduğundan 9 + (-8) = 1.
• 10) Negatif, -1000: Üs 3 tek olduğu için sonuç negatif, 10 × 10 × 10 = 1000.

Dersin özeti

• Üslü ifade, aynı sayının tekrar tekrar çarpımının kısa yazılışıdır: aⁿ, n tane a'nın çarpımıdır.
• Tekrarlanan sayı taban, kaç kez çarpıldığını gösteren sayı üstür; aⁿ, a × n demek değildir.
• Negatif tabanda üs çiftse sonuç pozitif, üs tekse sonuç negatiftir; çünkü negatifler ikişer ikişer eşleşince pozitif olur.
• Üs yalnızca hemen solundaki sayıya ya da parantezin tamamına aittir: (-2)⁴ = 16 iken -2⁴ = -16.
• Bir sonraki derste bu bilgilerle üslü ifadelerle işlemler yapmaya devam edeceğiz; bugün öğrendiğimiz “taban ve üs” kavramları o kuralların temelini oluşturacak.