Üslü İfadelerle Çarpma ve Bölme İşlemleri

Tahmini süre: 15 dk

Önceki derste üslü ifadenin ne anlama geldiğini gördük: 2⁵, “2'yi 5 kez yan yana çarp” demektir. Negatif üssün ve sıfırıncı kuvvetin anlamını da konuştuk. Bu derste bir adım ileri gidiyoruz: Üslü ifadeleri birbiriyle çarpmayı ve bölmeyi öğreneceğiz. Hiçbir kuralı ezberlemeyeceğiz. Her kuralı açık çarpım yazarak kendimiz bulacağız.

Günlük hayattan giriş

Bir fotoğrafı telefonda paylaştığını düşün. Sen fotoğrafı 2 arkadaşına gönderiyorsun. Onların her biri 2 kişiye gönderiyor, onlar da 2'şer kişiye gönderiyor. Her adımda kişi sayısı 2 ile çarpılıyor. 3 adım sonra fotoğrafı yeni alan kişi sayısı 2 × 2 × 2 = 2³ olur. Bu 2³ kişinin her biri fotoğrafı 4 adım daha aynı şekilde yayarsa sayı 2 ile 4 kez daha çarpılır. Toplamda 2 sayısını kaç kez çarptık? 3 + 4 = 7 kez. Yani 2³ × 2⁴ = 2⁷ olur. Farkında olmadan üslü ifadelerle çarpma yapmış olduk.

Bölme de hayatın içinde. Bilgisayarlarda dosya boyutları 2'nin kuvvetleriyle ölçülür. Örneğin 2¹⁰ baytlık bir dosyayı 2³ baytlık eşit parçalara bölmek istersen kaç parça elde edersin? Burada 2¹⁰ ÷ 2³ işlemini yapman gerekir. Tek tek çarpıp bölmek uzun sürer. Kuralı bilirsen işlem birkaç saniye sürer.

Üslü ifadelerin kuralları, çok büyük ve çok küçük sayılarla kolayca çalışmamızı sağlar. Bu yüzden LGS'de de sık sorulur. Genellikle hesabı değil, kuralı doğru kullanmayı ölçen sorular gelir.

Tanım ve kural

1. Tabanları aynı olan üslü ifadeleri çarpma

3² × 3⁴ işlemini açık çarpım olarak yazalım:

3² = 3 × 3 ve 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3

3² × 3⁴ = (3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3)

Kaç tane 3 çarptık? 2 + 4 = 6 tane. O hâlde 3² × 3⁴ = 3⁶.

Kural: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Tabanlar aynıysa taban aynen yazılır, üsler toplanır. Nedeni basit: Üs, tabanın kaç kez çarpıldığını sayar. İki grubu yan yana koyunca sayılar toplanır.

2. Tabanları aynı olan üslü ifadeleri bölme

5⁵ ÷ 5² işlemini kesir gibi düşünelim:

(5 × 5 × 5 × 5 × 5) ÷ (5 × 5)

Paydaki iki tane 5, paydadaki iki tane 5 ile sadeleşir. Geriye 5 × 5 × 5 = 5³ kalır.

Kural: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0). Tabanlar aynıysa taban aynen yazılır, paydaki üsten paydadaki üs çıkarılır. Çünkü sadeleşen her çift, bir tane çarpanı yok eder. Taban 0 olamaz, çünkü 0'a bölme tanımsızdır.

Bu kural negatif üsü de açıklar: 2² ÷ 2⁵ = 2⁻³ olur. Açık yazarsak paydada üç tane 2 kalır, yani sonuç 1/2³ = 1/8'dir. Önceki dersteki 2⁻³ = 1/2³ bilgisiyle tam olarak uyuşuyor.

3. Üsleri aynı olan üslü ifadeleri çarpma ve bölme

2³ × 5³ işlemini açık yazalım:

(2 × 2 × 2) × (5 × 5 × 5)

Çarpmada sıra değişebildiği için 2'leri ve 5'leri eşleştirebiliriz: (2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5) = 10³.

Kural: aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ. Üsler aynıysa tabanlar çarpılır, üs aynen yazılır.

Bölmede de aynı eşleştirme işe yarar: 6² ÷ 3² = (6 × 6) ÷ (3 × 3) = (6 ÷ 3) × (6 ÷ 3) = 2².

Kural: aⁿ ÷ bⁿ = (a ÷ b)ⁿ (b ≠ 0).

4. Üssün üssü

(4²)³ ifadesi, 4² sayısının 3 kez çarpılması demektir:

(4²)³ = 4² × 4² × 4²

Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız: 2 + 2 + 2 = 6. Üç tane 2'yi toplamak 2 × 3 demektir.

Kural: (aᵐ)ⁿ = aᵐ×ⁿ. Üslü ifadenin kuvveti alınırken üsler çarpılır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 2³ × 2⁴ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Tabanlar aynı (2), bu yüzden üsleri toplarız.

2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷

2⁷ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128

Kontrol: 2³ = 8, 2⁴ = 16, 8 × 16 = 128.

Sonuç: 128

Örnek 2: 5⁶ ÷ 5² işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Tabanlar aynı (5), bu yüzden üsleri çıkarırız.

5⁶ ÷ 5² = 5⁶⁻² = 5⁴

5⁴ = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

Sonuç: 625

Örnek 3: 2⁵ × 5⁵ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Tabanlar farklı ama üsler aynı (5), bu yüzden tabanları çarparız.

2⁵ × 5⁵ = (2 × 5)⁵ = 10⁵

10⁵ = 100000

Sonuç: 100000

Örnek 4: (3²)³ ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

Üssün üssü olduğu için üsleri çarparız.

(3²)³ = 3²×³ = 3⁶

3⁶ = 3³ × 3³ = 27 × 27 = 729

Sonuç: 729

Örnek 5: 12⁵ ÷ 4⁵ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Üsler aynı (5), bu yüzden tabanları böleriz.

12⁵ ÷ 4⁵ = (12 ÷ 4)⁵ = 3⁵

3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

Sonuç: 243

Örnek 6: 7⁻³ × 7⁵ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Tabanlar aynı, üsleri toplarız. Negatif sayıyla toplamaya dikkat edelim.

7⁻³ × 7⁵ = 7⁽⁻³⁾⁺⁵ = 7²

7² = 49

Sonuç: 49

Örnek 7: (−2)³ × (−2)² işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Tabanlar aynı (−2), üsleri toplarız.

(−2)³ × (−2)² = (−2)⁵

Negatif sayının tek kuvveti negatiftir.

(−2)⁵ = −32

Sonuç: −32

Örnek 8 (LGS tipi): 4³ × 8² ÷ 2⁵ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Tabanlar farklı görünüyor. Hepsini 2'nin kuvveti olarak yazalım.

4 = 2² olduğundan 4³ = (2²)³ = 2⁶

8 = 2³ olduğundan 8² = (2³)² = 2⁶

İşlem: 2⁶ × 2⁶ ÷ 2⁵

Çarpma: 2⁶⁺⁶ = 2¹²

Bölme: 2¹²⁻⁵ = 2⁷ = 128

Kontrol: 64 × 64 = 4096, 4096 ÷ 32 = 128.

Sonuç: 128

LGS'de bu konu: soru tipi, süre ve şık eleme

• Soru tipi: Tabanları farklı görünen ifadelerin aynı tabana çevrilmesi (4, 8, 16 → 2'nin kuvveti; 9, 27, 81 → 3'ün kuvveti), bilinmeyen üssün bulunması (2ˣ × 2³ = 2¹⁰ ise x = 7) ve günlük hayat bağlamlı büyük sayı soruları sık görülür.
• Süre: LGS sayısal oturumunda soru başına ortalama 2 dakika düşer. Bu konudaki işlem sorularını 1 dakikada bitirmeye çalış, kazandığın süreyi uzun sözel sorulara ayır.
• Şık eleme 1 (işaret): Negatif tabanın tek kuvveti negatif, çift kuvveti pozitiftir. İşareti yanlış olan şıkları hemen ele.
• Şık eleme 2 (son basamak): 5'in pozitif tam sayı kuvvetleri 5 ile, 10'un kuvvetleri 0 ile biter. Son basamağı tutmayan şıklar yanlıştır.
• Şık eleme 3 (tuzak şık): Şıklarda genellikle üsleri çarpılmış (2³ × 2⁴ = 2¹²) veya tabanları çarpılmış (3² × 3⁴ = 9⁶) tuzak cevaplar bulunur. Bu şıkları tanıyıp ele.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: 2³ × 2⁴ = 2¹² (üsler çarpıldı). Doğrusu: 2³ × 2⁴ = 2⁷. Çarpmada üsler toplanır; üsler yalnızca üssün üssünde çarpılır.
• Yanlış: 3² × 3⁴ = 9⁶ (tabanlar da çarpıldı). Doğrusu: 3² × 3⁴ = 3⁶. Taban aynen kalır, çünkü çarptığımız sayı hâlâ 3'tür.
• Yanlış: 2³ + 2³ = 2⁶ (toplamayı çarpma sandı). Doğrusu: 2³ + 2³ = 2 × 2³ = 2⁴ = 16. Kontrol: 8 + 8 = 16. Toplamada üsler toplanmaz.
• Yanlış: 2³ × 3⁴ = 6⁷ (ne taban ne üs aynı). Doğrusu: Bu ifadeye kural uygulanamaz. Tek tek hesaplanır: 8 × 81 = 648.
• Yanlış: 6⁸ ÷ 6² = 6⁴ (üsler bölündü). Doğrusu: 6⁸ ÷ 6² = 6⁶. Bölmede üsler çıkarılır, çünkü sadeleşen her çift bir çarpanı götürür.

Alıştırma

1) 3² × 3⁵ = ?

2) 10⁸ ÷ 10³ = ?

3) 4³ × 25³ = ?

4) (5²)² = ?

5) 18⁴ ÷ 6⁴ = ?

6) 2⁻² × 2⁶ = ?

7) 9² × 3³ = ?

8) 5³ + 5³ + 5³ + 5³ + 5³ = ?

9) (−3)⁴ ÷ (−3)² = ?

10) 2⁸ × 5⁶ = ?

Cevap Anahtarı

• 1) 3⁷ = 2187. Tabanlar aynı olduğu için üsler toplanır: 2 + 5 = 7.
• 2) 10⁵ = 100000. Tabanlar aynı olduğu için üsler çıkarılır: 8 − 3 = 5.
• 3) 100³ = 1000000. Üsler aynı olduğu için tabanlar çarpılır: 4 × 25 = 100.
• 4) 5⁴ = 625. Üssün üssünde üsler çarpılır: 2 × 2 = 4.
• 5) 3⁴ = 81. Üsler aynı olduğu için tabanlar bölünür: 18 ÷ 6 = 3.
• 6) 2⁴ = 16. Üsler toplanır: −2 + 6 = 4.
• 7) 3⁷ = 2187. 9² = (3²)² = 3⁴ yazılır, sonra 3⁴ × 3³ = 3⁷ bulunur.
• 8) 5⁴ = 625. Beş tane 5³ toplamı 5 × 5³ = 5¹ × 5³ = 5⁴ eder.
• 9) (−3)² = 9. Üsler çıkarılır (4 − 2 = 2) ve negatif sayının çift kuvveti pozitiftir.
• 10) 4000000. 2⁸ = 2² × 2⁶ yazılır, 2⁶ × 5⁶ = 10⁶ olur ve 4 × 10⁶ = 4000000 bulunur.

Dersin özeti

• Tabanlar aynıysa çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır; taban değişmez.
• Üsler aynıysa çarpmada tabanlar çarpılır, bölmede bölünür; üs değişmez.
• Üssün üssünde üsler çarpılır: (aᵐ)ⁿ = aᵐ×ⁿ.
• Ne taban ne üs aynıysa önce sayıları aynı tabana çevirmeyi dene (4 = 2², 27 = 3³ gibi); olmuyorsa tek tek hesapla. Toplama ve çıkarmada bu kurallar geçerli değildir.
• Bir kuralı unutursan açık çarpımı yaz: kural kendiliğinden ortaya çıkar. Sonraki derslerde bu kuralları çok büyük ve çok küçük sayıları kısa yazarken ve kareköklü ifadelere geçerken kullanacağız.