Limit Kavramı: Bir Değere Yaklaşmak Ne Demek?

Hoş geldin! Bu kursta 12. sınıf matematiğinin üç büyük fikrini, yani limit, türev ve integrali adım adım ve nedenleriyle öğreneceğiz. Ezber formüllerle başlamayacağız. Önce kavramın ne anlama geldiğini kavrayacak, sonra kuralları buna dayanarak kuracağız. İlk dersimiz her şeyin temeli olan limit kavramı.

Günlük hayattan giriş

Bir otoyolda ilerlediğini ve 100. kilometredeki bir tabelaya yaklaştığını düşün. Arabanın konumu 99 km, 99,9 km, 99,99 km olur. Tabelaya henüz varmasan bile nereye doğru gittiğin çok açıktır: 100. kilometreye. Limit tam olarak bu soruyu sorar: Bir yere varmadan, oraya çok yaklaşırken ne oluyor?

Başka bir örnek düşünelim: Bir köprünün ortasında küçük bir çukur olduğunu, yani o tek noktada yolun bulunmadığını varsayalım. Köprünün iki yanından çukurun kenarına kadar yürüyen biri, çukurun olduğu yerde yolun hangi yükseklikte olması gerektiğini rahatça tahmin eder. O noktada yol olmasa bile yolun oraya hangi yükseklikte yaklaştığı bellidir. Matematikte de bir fonksiyon bir noktada tanımsız olabilir ama o noktaya yaklaşırken bir değere doğru gidebilir.

Bir de şöyle bir durum hayal et: Bir merdivenin basamağının kenarındasın. Soldan yaklaşırsan alt basamağa, sağdan yaklaşırsan üst basamağa varırsın. İki taraf aynı yükseğe gitmiyor. İşte bu durumda o noktada limit yoktur deriz. Bu derste bu üç durumu, yani düz yol, çukurlu yol ve basamak durumunu matematik diliyle ifade edeceğiz.

Tanım ve kural

Sezgisel tanım: x değişkeni a sayısına çok yaklaşırken (ama a'ya eşit olmadan) f(x) değerleri tek bir L sayısına yaklaşıyorsa, f fonksiyonunun a noktasındaki limiti L'dir. Bunu şöyle yazarız:

lim (x→a) f(x) = L

Burada önemli olan şudur: Limit, fonksiyonun a noktasındaki değeriyle değil, a'nın çevresindeki değerlerle ilgilenir. Bu yüzden f(a) tanımsız olsa bile limit var olabilir. f(a) başka bir sayı olsa bile limit ondan farklı olabilir.

Soldan ve sağdan limit: Sayı doğrusunda a'ya iki yönden yaklaşabiliriz.

• a'dan küçük değerlerle (1,9; 1,99; 1,999 gibi) yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve x→a⁻ ile gösterilir.
• a'dan büyük değerlerle (2,1; 2,01; 2,001 gibi) yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve x→a⁺ ile gösterilir.

Dikkat: 2⁻ ifadesi 'eksi 2' demek değildir. '2'ye soldan, yani 2'den küçük sayılarla yaklaş' demektir.

Limitin var olma şartı: Bir noktada limitin var olması için soldan limit ve sağdan limit ayrı ayrı var olmalı ve birbirine eşit olmalıdır.

lim (x→a⁻) f(x) = lim (x→a⁺) f(x) = L ise lim (x→a) f(x) = L olur.

Neden böyle? 'Yaklaşırken tek bir değere gidiyor' dememiz için hangi yönden gelirsek gelelim aynı yere varmamız gerekir. Soldan gelen 4'e, sağdan gelen 5'e gidiyorsa 'fonksiyon şu sayıya yaklaşıyor' diyemeyiz. Çünkü ortada tek bir sayı yoktur. Merdiven örneğindeki gibi iki farklı hedef vardır.

Grafik yorumu: Grafikte içi boş daire, o noktanın grafiğe ait olmadığını gösterir. İçi dolu daire ise fonksiyonun o noktadaki gerçek değeridir. Limiti bulurken grafiğin a'nın solundan ve sağından hangi yüksekliğe (y değerine) doğru gittiğine bakarız. Dolu dairenin nerede olduğu limiti değiştirmez, yalnızca f(a) değerini söyler.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (tabloyla limit)

f(x) = 2x + 1 fonksiyonu için lim (x→3) f(x) değerini tablo yardımıyla bulunuz.

Çözüm:

Soldan yaklaşalım: f(2,9) = 5,8 + 1 = 6,8

f(2,99) = 5,98 + 1 = 6,98

Sağdan yaklaşalım: f(3,1) = 6,2 + 1 = 7,2

f(3,01) = 6,02 + 1 = 7,02

Soldan gelen değerler 7'ye, sağdan gelen değerler de 7'ye yaklaşıyor.

İki taraf eşit olduğu için limit vardır.

lim (x→3) (2x + 1) = 7

Örnek 2 (tanımsız noktada limit)

f(x) = (x² − 4) / (x − 2) için f(2) ve lim (x→2) f(x) değerlerini bulunuz.

Çözüm:

x = 2 yazarsak payda 2 − 2 = 0 olur. Sıfıra bölme tanımsız olduğu için f(2) tanımsızdır.

Limit için 2'ye çok yakın ama 2'ye eşit olmayan değerlere bakarız.

f(1,9) = (3,61 − 4) / (−0,1) = (−0,39) / (−0,1) = 3,9

f(2,1) = (4,41 − 4) / (0,1) = 0,41 / 0,1 = 4,1

f(1,99) = 3,99 ve f(2,01) = 4,01 bulunur.

Neden böyle olduğunu görelim: x² − 4 = (x − 2)(x + 2) olduğundan, x ≠ 2 iken f(x) = x + 2 olur.

x, 2'ye yaklaşınca x + 2 değeri 4'e yaklaşır.

f(2) tanımsız, fakat lim (x→2) f(x) = 4

Örnek 3 (değer ile limitin farklı olması)

f(x) fonksiyonu şöyle tanımlanıyor: x < 1 iken f(x) = x + 1; x = 1 iken f(x) = 3; x > 1 iken f(x) = 2x. f(1) ve lim (x→1) f(x) değerlerini bulunuz.

Çözüm:

Soldan limit: x < 1 için x + 1 kullanılır. x→1⁻ iken x + 1 → 1 + 1 = 2.

Sağdan limit: x > 1 için 2x kullanılır. x→1⁺ iken 2x → 2 · 1 = 2.

Soldan ve sağdan limit eşit (2 = 2), bu yüzden limit 2'dir.

Fonksiyonun değeri ise tanımdan doğrudan okunur: f(1) = 3.

lim (x→1) f(x) = 2, f(1) = 3 (değer ve limit farklı)

Örnek 4 (sıçrama, limitin olmaması)

x < 2 iken f(x) = x², x ≥ 2 iken f(x) = x + 3 olsun. lim (x→2) f(x) var mıdır?

Çözüm:

Soldan limit: x→2⁻ iken x² → 2² = 4.

Sağdan limit: x→2⁺ iken x + 3 → 2 + 3 = 5.

4 ≠ 5 olduğu için iki taraf farklı yere gidiyor.

f(2) = 2 + 3 = 5 olarak tanımlı olsa da bu durum limitin var olmasını sağlamaz.

lim (x→2) f(x) yoktur.

Örnek 5 (mutlak değerle iki yön)

f(x) = |x| / x için x→0 iken soldan limit, sağdan limit ve limiti inceleyiniz.

Çözüm:

x > 0 ise |x| = x olur, bu yüzden f(x) = x / x = 1.

x < 0 ise |x| = −x olur, bu yüzden f(x) = −x / x = −1.

Soldan limit: x→0⁻ iken değerler hep −1'dir, sonuç −1.

Sağdan limit: x→0⁺ iken değerler hep 1'dir, sonuç 1.

−1 ≠ 1 olduğu için limit yoktur. Ayrıca f(0) da tanımsızdır (payda 0).

Soldan limit −1, sağdan limit 1, lim (x→0) f(x) yoktur.

Örnek 6 (limitin var olması için parametre bulma)

x < 2 iken f(x) = 3x − a, x ≥ 2 iken f(x) = x² + 1 olsun. lim (x→2) f(x) var olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm:

Soldan limit: x→2⁻ iken 3x − a → 3 · 2 − a = 6 − a.

Sağdan limit: x→2⁺ iken x² + 1 → 4 + 1 = 5.

Limit var olduğu için iki taraf eşit olmalıdır: 6 − a = 5.

Buradan a = 6 − 5 = 1 bulunur.

Kontrol: a = 1 iken soldan limit 6 − 1 = 5, sağdan limit 5. Eşit.

a = 1

Sınav notu (AYT): Limit sorularında en sık görülen tipler; grafikten soldan/sağdan limit okuma, parçalı fonksiyonda limitin varlığı ve Örnek 6'daki gibi parametre bulmadır. Grafik sorularında her şık için yaklaşık 1 dakika ayır. Şık elerken önce 'limit yok' seçeneğini kontrol et: iki yönden gelen değerler farklıysa diğer tüm sayısal şıkları hemen elersin. Dolu noktanın yüksekliğini limit sanan şıklar klasik tuzaktır.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: 'f(2) tanımsız, o hâlde 2'de limit de yoktur.' Doğrusu: Limit a'nın çevresine bakar. Örnek 2'de f(2) tanımsızdır ama limit 4'tür.
• Yanlış: 'Limit her zaman f(a)'ya eşittir, x yerine a yazmak yeter.' Doğrusu: Örnek 3'te f(1) = 3 iken limit 2'dir. Doğrudan yerine yazmak yalnızca fonksiyon o noktada kesintisizse doğru sonuç verir.
• Yanlış: Parçalı fonksiyonda sadece bir tarafa bakıp 'limit 4' demek. Doğrusu: İki tarafı ayrı ayrı hesapla. Örnek 4'te soldan 4, sağdan 5 çıktığı için limit yoktur.
• Yanlış: x→2⁻ ifadesini 'x, −2'ye gidiyor' diye okumak. Doğrusu: 2⁻, '2'ye 2'den küçük değerlerle yaklaşmak' demektir.
• Yanlış: (x² − 4)/(x − 2) ifadesinde x = 2 yazıp 0/0 = 0 ya da 0/0 = 1 demek. Doğrusu: 0/0 bir sonuç değil, 'daha fazla incelemek gerekir' uyarısıdır. Sadeleştirince limit 4 bulunur.

Alıştırma

• 1) lim (x→4) (3x − 5) kaçtır?
• 2) lim (x→1) (x² + 2x) kaçtır?
• 3) lim (x→3) (x² − 9)/(x − 3) kaçtır?
• 4) x < 1 iken f(x) = x + 4, x ≥ 1 iken f(x) = 2x + 3 olsun. lim (x→1) f(x) kaçtır?
• 5) x < 0 iken f(x) = x − 1, x ≥ 0 iken f(x) = x + 1 olsun. lim (x→0) f(x) var mıdır?
• 6) 5. sorudaki fonksiyon için f(0) kaçtır?
• 7) Bir f fonksiyonu için f(1,9) = 5,8; f(1,99) = 5,98; f(2,01) = 6,02; f(2,1) = 6,2 ve f(2) = 10 veriliyor. Tablonun gösterdiği eğilime göre lim (x→2) f(x) kaçtır?
• 8) x < 3 iken f(x) = ax + 1, x ≥ 3 iken f(x) = x² − 2 olsun. lim (x→3) f(x) var olduğuna göre a kaçtır?
• 9) lim (x→−1) (x² − 1)/(x + 1) kaçtır?
• 10) lim (x→0⁻) |x|/x kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 7 — Fonksiyon kesintisiz olduğu için 3 · 4 − 5 = 7 bulunur.
• 2) 3 — x yerine 1'e yaklaşan değerler konunca 1 + 2 = 3 elde edilir.
• 3) 6 — x² − 9 = (x − 3)(x + 3) olduğundan x ≠ 3 iken ifade x + 3 olur ve 3 + 3 = 6'ya gider.
• 4) 5 — Soldan 1 + 4 = 5, sağdan 2 · 1 + 3 = 5 olduğu için limit 5'tir.
• 5) Yoktur — Soldan 0 − 1 = −1, sağdan 0 + 1 = 1 çıkar ve bunlar eşit değildir.
• 6) 1 — x = 0 için x ≥ 0 kuralı geçerli olduğundan f(0) = 0 + 1 = 1'dir.
• 7) 6 — Değerler iki taraftan da 6'ya yaklaşıyor; f(2) = 10 olması limiti değiştirmez.
• 8) a = 2 — Soldan 3a + 1, sağdan 9 − 2 = 7 olduğundan 3a + 1 = 7 ve a = 2 bulunur.
• 9) −2 — x² − 1 = (x − 1)(x + 1) olduğundan ifade x − 1 olur ve −1 − 1 = −2'ye gider.
• 10) −1 — x < 0 iken |x| = −x olduğundan ifade her zaman −1'dir.

Dersin özeti

• Limit, x bir a sayısına yaklaşırken f(x) değerlerinin hangi sayıya yaklaştığını anlatır. a noktasının kendisine değil, çevresine bakılır.
• x→a⁻ soldan (a'dan küçük değerlerle), x→a⁺ sağdan (a'dan büyük değerlerle) yaklaşmaktır.
• Limitin var olması için soldan ve sağdan limit var olmalı ve birbirine eşit olmalıdır. Farklıysa limit yoktur.
• f(a) tanımsız olabilir ya da limitten farklı bir sayı olabilir. Bu durum limitin varlığını etkilemez.
• Grafikte boş daire noktanın grafiğe ait olmadığını, dolu daire f(a) değerini gösterir. Limit ise grafiğin iki yandan yaklaştığı yüksekliktir.