Süreklilik: Kalemi Kaldırmadan Çizmek

Günlük hayattan giriş

Önceki derste bir fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken hangi değere gittiğini, yani limiti inceledik. Soldan limit ile sağdan limitin eşit olması gerektiğini de gördük. Bu derste o bilgiyi bir adım öteye taşıyacağız. Artık yalnızca fonksiyonun nereye yaklaştığını değil, o noktaya gerçekten varıp varmadığını da soracağız.

Bir arabanın hız göstergesini düşün. Araba 40 km/sa hızdan 60 km/sa hıza çıkarken gösterge 41, 42, 43… değerlerinden tek tek geçer. Hız bir anda 40’tan 60’a zıplamaz. Grafiğini çizsen kalemini kâğıttan kaldırmadan çizebilirsin. Bir ilaç şişesindeki sıvının azalması, bir odanın ısınması, bir bitkinin boyunun uzaması da böyle kesintisiz değişen büyüklüklerdir. Matematikte bu kesintisizliğe süreklilik denir.

Bazı durumlarda ise ani sıçramalar olur. Bir otoparkın ücret tarifesi buna iyi bir örnektir. Tarife ilk saat için bir ücret, bir saati geçince daha yüksek bir ücret belirliyorsa, 59. dakikadan 61. dakikaya geçerken ödenen tutar bir anda artar. Bu grafiği çizerken kalemi kaldırman gerekir. İşte böyle kopukluklar süreksizlik örnekleridir. Bu derste “kalemi kaldırmadan çizmek” sezgisini üç net matematiksel şarta dönüştüreceğiz.

Tanım ve kural

Bir f fonksiyonunun x = a noktasında sürekli olması için aşağıdaki üç şartın hepsi sağlanmalıdır:

1. şart: f(a) tanımlı olmalı. Yani fonksiyonun a noktasında bir değeri bulunmalı.

2. şart: lim (x→a) f(x) var olmalı. Yani soldan limit ile sağdan limit eşit ve gerçek bir sayı olmalı.

3. şart: lim (x→a) f(x) = f(a) olmalı. Yani fonksiyonun yaklaştığı değer ile o noktadaki değeri aynı olmalı.

Neden üç şart gerekiyor? Kalemi kaldırmadan çizmeyi hayal et. Grafikte a noktasında bir nokta yoksa (1. şart bozulur), orada bir delik vardır ve kalem düşer. Soldan gelen çizgi ile sağdan gelen çizgi farklı yüksekliklere gidiyorsa (2. şart bozulur), aradaki boşluğu atlamak için kalemi kaldırırsın. İki taraf aynı yüksekliğe gidiyor ama nokta başka bir yere konmuşsa (3. şart bozulur), çizgide yine bir delik, deliğin dışında da tek başına duran bir nokta vardır. Yani her şart, farklı bir kopukluk türünü engeller. Tek bir şart bile bozulursa fonksiyon o noktada süreksiz olur.

Bu tanım bize işe yarar bir kısayol da verir: Polinom fonksiyonlar (örneğin x² + 3x − 1) her gerçek sayıda süreklidir; çünkü her noktada tanımlıdırlar ve limitleri doğrudan yerine koyarak bulunur. Rasyonel fonksiyonlar ise paydayı sıfır yapmayan her noktada süreklidir. Bu yüzden süreksizlik ararken önce paydanın sıfır olduğu noktalara ve parçalı fonksiyonların parça değiştirdiği noktalara bakarız.

Süreksizlikler üç temel türde incelenir:

“Kaldırılabilir” adı boşuna değildir: Bu tür süreksizlikte fonksiyonun o noktadaki değerini limite eşit olacak şekilde yeniden tanımlarsak süreksizlik ortadan kalkar. Sıçrama ve sonsuz süreksizlikte ise tek bir noktayı değiştirmek yetmez.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

f(x) = x² + 1 fonksiyonu x = 2 noktasında sürekli midir?

Çözüm:

1. şart: f(2) = 2² + 1 = 4 + 1 = 5. Tanımlı.

2. şart: Polinom olduğu için limit yerine koyarak bulunur: lim (x→2) (x² + 1) = 5. Limit var.

3. şart: Limit = 5 ve f(2) = 5. Eşit.

Sonuç: f, x = 2 noktasında süreklidir.

Örnek 2

f(x) = (x² − 9)/(x − 3) fonksiyonu x = 3 noktasında sürekli midir? Süreksizse türünü belirleyiniz.

Çözüm:

1. şart: x = 3 yazınca payda 3 − 3 = 0 olur. f(3) tanımsızdır. Bu yüzden fonksiyon x = 3’te süreksizdir.

Türünü anlamak için limite bakalım. Pay çarpanlarına ayrılır: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).

x ≠ 3 iken sadeleştirme yapılabilir: f(x) = x + 3.

lim (x→3) (x + 3) = 3 + 3 = 6. Limit vardır.

Sonuç: x = 3’te kaldırılabilir süreksizlik vardır. f(3) = 6 olarak tanımlanırsa fonksiyon sürekli olur.

Örnek 3

f(x) = 2x + 1 (x < 2 için), f(x) = x² − 1 (x ≥ 2 için) biçiminde tanımlanıyor. f, x = 2’de sürekli midir?

Çözüm:

f(2): x ≥ 2 parçası kullanılır. f(2) = 2² − 1 = 3.

Soldan limit (x < 2 parçası): lim (x→2⁻) (2x + 1) = 2·2 + 1 = 5.

Sağdan limit (x ≥ 2 parçası): lim (x→2⁺) (x² − 1) = 4 − 1 = 3.

5 ≠ 3 olduğu için limit yoktur; 2. şart bozulur.

Sonuç: f, x = 2’de süreksizdir; bu bir sıçrama süreksizliğidir.

Örnek 4

f(x) = 1/(x − 1) fonksiyonunun x = 1’deki durumunu inceleyiniz.

Çözüm:

x = 1 için payda 0 olur, f(1) tanımsızdır.

x, 1’e sağdan yaklaşırken (örneğin 1,01) payda küçük bir pozitif sayıdır; sonuç çok büyük pozitif olur: lim (x→1⁺) = +∞.

x, 1’e soldan yaklaşırken (örneğin 0,99) payda küçük bir negatif sayıdır: lim (x→1⁻) = −∞.

Sonuç: x = 1’de sonsuz süreksizlik vardır.

Örnek 5 (parametre bulma)

f(x) = ax + 3 (x < 2 için), f(x) = x² + a (x ≥ 2 için) fonksiyonu x = 2’de sürekli ise a kaçtır?

Çözüm:

Süreklilik için soldan limit = sağdan limit = f(2) olmalı.

Soldan limit: 2a + 3.

Sağdan limit ve f(2): 2² + a = 4 + a.

Eşitleyelim: 2a + 3 = 4 + a.

a’ları bir tarafa toplayalım: 2a − a = 4 − 3, yani a = 1.

Kontrol: Soldan 2·1 + 3 = 5, sağdan 4 + 1 = 5. Eşit.

Sonuç: a = 1

Örnek 6 (iki parametre, zor)

f(x) = (x² + ax − 6)/(x − 2) (x ≠ 2 için), f(2) = b olarak tanımlanıyor. f, x = 2’de sürekli ise a + b kaçtır?

Çözüm:

x → 2 iken payda 0’a gidiyor. Limitin gerçek bir sayı olması için pay da 0’a gitmeli; aksi hâlde sonuç ±∞ olurdu.

Payda x = 2 yazalım: 2² + 2a − 6 = 0, yani 2a − 2 = 0 ve a = 1.

Pay: x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3).

Sadeleştirince x ≠ 2 için f(x) = x + 3 olur; lim (x→2) f(x) = 5.

Süreklilik için f(2) = limit olmalı: b = 5.

a + b = 1 + 5 = 6.

Sonuç: a + b = 6

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: “f(a) tanımlı, o hâlde fonksiyon a’da süreklidir.” Doğrusu: Tanımlı olmak yalnızca 1. şarttır. Örnek 3’te f(2) = 3 tanımlıdır ama limit olmadığı için fonksiyon süreksizdir.
• Yanlış: “Limit var, demek ki süreklidir.” Doğrusu: Limitin f(a)’ya eşit olması da gerekir. Örnek 2’de limit 6’dır ama f(3) tanımsız olduğu için süreksizlik vardır.
• Yanlış: Parçalı fonksiyonda f(a) hesaplanırken eşitliğin (≤ ya da ≥) hangi parçada olduğuna bakmamak. Doğrusu: f(a) daima “=” işaretinin bulunduğu parçadan hesaplanır; limitler ise iki taraftaki parçalardan ayrı ayrı bulunur.
• Yanlış: 0/0 çıkınca “limit yok” demek. Doğrusu: 0/0 belirsizliktir; çarpanlara ayırıp sadeleştirerek limit çoğu zaman bulunur.
• Yanlış: Rasyonel fonksiyonda yalnızca payı incelemek. Doğrusu: Süreksizlik adayları paydayı sıfır yapan değerlerdir; önce paydayı çarpanlarına ayır.

Alıştırma

1. f(x) = 3x − 5 fonksiyonu x = 4’te sürekli midir?

2. f(x) = (x² − 4)/(x − 2) fonksiyonu x = 2’de sürekli midir? Süreksizse türü nedir?

3. f(x) = 5/(x + 3) fonksiyonu hangi noktada süreksizdir? Türü nedir?

4. f(x) = (x − 1)/(x² − 5x + 6) fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz.

5. f(x) = x + 4 (x < 3 için), f(x) = 2x + 1 (x ≥ 3 için). f, x = 3’te sürekli midir?

6. f(x) = x² (x ≤ 1 için), f(x) = x + 2 (x > 1 için). f, x = 1’de sürekli midir?

7. f(x) = kx − 1 (x < 2 için), f(x) = x² + 1 (x ≥ 2 için) fonksiyonu x = 2’de sürekli ise k kaçtır?

8. f(x) = x² + m (x < 3 için), f(3) = 5, f(x) = x + n (x > 3 için). f, x = 3’te sürekli ise m + n kaçtır?

9. f(x) = (x² − 25)/(x − 5) (x ≠ 5 için), f(5) = p. f, x = 5’te sürekli ise p kaçtır?

10. f(x) = (x² + ax − 8)/(x − 2) (x ≠ 2 için), f(2) = b. f, x = 2’de sürekli ise a + b kaçtır?

Cevap Anahtarı

1. Süreklidir. f(4) = 7 ve polinom olduğu için limit de 7’dir.

2. Süreksizdir, kaldırılabilir süreksizlik. f(2) tanımsız; sadeleştirince x + 2 kalır ve limit 4’tür.

3. x = −3’te sonsuz süreksizlik. Payda sıfır, pay 5 ≠ 0 olduğundan yanlı limitler ±∞’a gider.

4. x = 2 ve x = 3. Payda (x − 2)(x − 3) biçiminde çarpanlarına ayrılır ve bu değerlerde sıfır olur.

5. Süreklidir. Soldan 3 + 4 = 7, sağdan ve f(3) değeri 2·3 + 1 = 7.

6. Süreksizdir (sıçrama). Soldan limit ve f(1) değeri 1, sağdan limit 1 + 2 = 3.

7. k = 3. 2k − 1 = 4 + 1 = 5 eşitliğinden 2k = 6 bulunur.

8. m + n = −2. 9 + m = 5 ise m = −4; 3 + n = 5 ise n = 2.

9. p = 10. x² − 25 = (x − 5)(x + 5) sadeleşince limit 5 + 5 = 10 olur.

10. a + b = 8. Pay x = 2’de sıfır olmalı: 4 + 2a − 8 = 0 ise a = 2; x² + 2x − 8 = (x − 2)(x + 4) olduğundan limit 6, yani b = 6.

AYT ipucu: Süreklilik soruları çoğunlukla parçalı fonksiyonda parametre bulma ya da “0/0 olmalı” fikriyle iki bilinmeyen bulma biçiminde gelir. Bu tip bir soruya 1–2 dakika ayırmak genellikle yeterlidir. Şık elerken bulduğun değeri iki parçaya da yerine koy: Soldan ve sağdan değerler eşit çıkmıyorsa o şık yanlıştır. Paydalı sorularda önce payın o noktada sıfır olmasını sağlayan değeri bul; bu tek adım çoğu şıkkı hemen eler.

Dersin özeti

• f’nin x = a’da sürekli olması için f(a) tanımlı olmalı, lim (x→a) f(x) var olmalı ve bu limit f(a)’ya eşit olmalıdır.
• Süreksizlik üç türdür: kaldırılabilir (limit var, nokta eksik ya da yanlış yerde), sıçrama (yanlı limitler farklı), sonsuz (yanlı limit ±∞).
• Polinomlar her yerde, rasyonel fonksiyonlar paydayı sıfır yapmayan her noktada süreklidir.
• Parçalı fonksiyonlarda parametre bulurken soldan limit = sağdan limit = f(a) eşitliği kurulur; paydalı ifadelerde limitin sayı çıkması için pay da o noktada sıfır olmalıdır.
• Sonraki derste türeve geçeceğiz. Türevlenebilir bir fonksiyonun o noktada mutlaka sürekli olduğunu göreceğiz; bu yüzden bugünkü üç şart, türevin de temelidir.