Türevin Tanımı: Anlık Değişim Hızı ve Teğet Eğimi

Önceki derste limitin tek taraflı değerlerini ve bir fonksiyonun bir noktada sürekli olmasının ne demek olduğunu gördük. Bu derste limiti yeni bir amaç için kullanacağız: bir büyüklüğün tam o anda ne hızla değiştiğini bulmak. Burada kuracağımız tanım, bir sonraki dersteki türev alma kurallarının temelidir.

Günlük hayattan giriş

Bir arabayla 2 saatte 160 km yol aldığınızı düşünün. Ortalama hızınız 160 ÷ 2 = 80 km/sa olur. Oysa yolculuk boyunca hız göstergesi hiç sabit kalmadı: bir ara kırmızı ışıkta 0 gösterdi, otoyolda 100’ü gördü. Göstergedeki sayı ortalama hız değil, o anki hızdır. Peki “o anki hız” matematikte nasıl hesaplanır? Zaman aralığı sıfır olursa bölme yapamayız, çünkü paydada 0 olur.

Çözüm fikri şudur: zaman aralığını sıfır yapmayız, sıfıra yaklaştırırız. 1 saniyelik, 0,1 saniyelik, 0,001 saniyelik aralıklardaki ortalama hızlar bir sayıya yaklaşıyorsa, o sayı anlık hızdır. “Yaklaştırmak” dediğimiz şey, önceki derslerde öğrendiğimiz limittir.

Aynı fikir birçok yerde karşımıza çıkar: bir tanktaki suyun o anda hangi hızla boşaldığı, bir bakteri kültürünün o anda ne hızla çoğaldığı, bir ürünün üretim maliyetinin bir birim daha üretince ne kadar artacağı. Grafik üzerinde ise bu kavram, eğriye bir noktada “değip geçen” doğrunun, yani teğetin eğimi olarak görünür. İşte bu anlık değişim hızına türev diyoruz.

Tanım ve kural

1. Ortalama değişim hızı

y = f(x) fonksiyonu için x değeri a’dan b’ye değiştiğinde ortalama değişim hızı şudur:

(f(b) − f(a)) / (b − a)

Bu oran, grafikte (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarından geçen kesen doğrunun eğimidir. Çünkü eğim, “dikey değişim ÷ yatay değişim” demektir.

2. Anlık değişim hızı: türevin tanımı

b noktasını a’ya çok yaklaştıralım. Aradaki farka h diyelim: b = a + h. Ortalama değişim hızı şu hâle gelir:

(f(a + h) − f(a)) / h

Bu orana fark oranı denir. h sıfıra yaklaşırken bu oranın limiti varsa, bu limite f fonksiyonunun a noktasındaki türevi denir:

f′(a) = lim (h→0) [f(a + h) − f(a)] / h

Neden h = 0 yazamıyoruz? h = 0 yazarsak pay f(a) − f(a) = 0, payda 0 olur ve 0/0 belirsizliği çıkar. Bu yüzden önce ifadeyi sadeleştirir, h’yi paydan ve paydadan sadeleştirir, en son h→0 limitini alırız.

3. Geometrik anlam: teğet eğimi

h küçüldükçe kesen doğrunun ikinci noktası birinci noktaya kayar ve kesen doğru, eğriye (a, f(a)) noktasında teğet olan doğruya dönüşür. Bu yüzden f′(a), grafiğin x = a noktasındaki teğetinin eğimidir. Teğet doğrusunun denklemi, eğimi ve bir noktası bilinen doğru denkleminden gelir:

y − f(a) = f′(a) · (x − a)

4. Türevlenebilirlik ve süreklilik

Türev bir limit olduğu için var olması için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir:

Sağdan türev: lim (h→0⁺) [f(a + h) − f(a)] / h, soldan türev: lim (h→0⁻) [f(a + h) − f(a)] / h. Bu ikisi eşit ve gerçek bir sayıysa f, a noktasında türevlenebilirdir.

Neden türevlenebilir fonksiyon süreklidir? f(a + h) − f(a) farkını [f(a + h) − f(a)] / h · h şeklinde yazalım. h→0 iken birinci çarpan f′(a) sayısına, ikinci çarpan 0’a gider. Çarpım f′(a) · 0 = 0 olur. Yani f(a + h), f(a)’ya yaklaşır; bu da sürekliliğin tanımıdır.

Tersi ise doğru değildir: f(x) = |x| fonksiyonu x = 0’da süreklidir ama grafikte “köşe” olduğu için türevlenemez (Örnek 6’da göreceğiz).

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (ortalama değişim hızı)

f(x) = x² fonksiyonunun [1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızını bulunuz.

Çözüm:

f(3) = 3² = 9

f(1) = 1² = 1

Ortalama değişim hızı = (9 − 1) / (3 − 1)

= 8 / 2

Sonuç: 4

Örnek 2 (doğrusal fonksiyonun türevi)

f(x) = 3x − 5 fonksiyonunun herhangi bir x noktasındaki türevini tanımla bulunuz.

Çözüm:

f(x + h) = 3(x + h) − 5 = 3x + 3h − 5

f(x + h) − f(x) = (3x + 3h − 5) − (3x − 5) = 3h

Fark oranı: 3h / h = 3

lim (h→0) 3 = 3

Sonuç: f′(x) = 3 (Doğrunun her noktasında eğim aynıdır; bu yüzden türev sabittir.)

Örnek 3 (x² fonksiyonunun bir noktadaki türevi)

f(x) = x² için f′(2) değerini tanımla bulunuz.

Çözüm:

f(2 + h) = (2 + h)² = 4 + 4h + h²

f(2 + h) − f(2) = 4 + 4h + h² − 4 = 4h + h²

Fark oranı: (4h + h²) / h = h(4 + h) / h = 4 + h

lim (h→0) (4 + h) = 4

Sonuç: f′(2) = 4

Örnek 4 (anlık hız)

Bir cismin t saniyede aldığı yol s(t) = 5t² metredir. Cismin 2. ve 3. saniyeler arasındaki ortalama hızını ve t = 2 anındaki anlık hızını bulunuz.

Çözüm:

s(3) = 5 · 9 = 45 m, s(2) = 5 · 4 = 20 m

Ortalama hız = (45 − 20) / (3 − 2) = 25 m/sn

Anlık hız için: s(2 + h) = 5(4 + 4h + h²) = 20 + 20h + 5h²

s(2 + h) − s(2) = 20h + 5h²

Fark oranı: (20h + 5h²) / h = 20 + 5h

lim (h→0) (20 + 5h) = 20

Sonuç: Ortalama hız 25 m/sn, t = 2 anındaki anlık hız 20 m/sn

Örnek 5 (teğet doğrusu)

f(x) = x² − 2x eğrisine x = 3 noktasında çizilen teğetin denklemini bulunuz.

Çözüm:

Teğet noktası: f(3) = 9 − 6 = 3, yani (3, 3).

f(3 + h) = (3 + h)² − 2(3 + h) = 9 + 6h + h² − 6 − 2h = 3 + 4h + h²

f(3 + h) − f(3) = 4h + h²

Fark oranı: (4h + h²) / h = 4 + h → h→0 iken 4. Yani eğim f′(3) = 4.

Teğet: y − 3 = 4(x − 3)

y = 4x − 12 + 3

Sonuç: y = 4x − 9 (Kontrol: x = 3 için y = 12 − 9 = 3 ✓)

Örnek 6 (sürekli ama türevlenemez)

f(x) = |x| fonksiyonu x = 0 noktasında türevlenebilir mi?

Çözüm:

Süreklilik: sağdan ve soldan limit 0, f(0) = 0. Fonksiyon x = 0’da süreklidir.

Fark oranı: [f(0 + h) − f(0)] / h = |h| / h

h→0⁺ iken h > 0 olduğundan |h| = h ve oran h / h = 1. Sağdan türev 1.

h→0⁻ iken h < 0 olduğundan |h| = −h ve oran −h / h = −1. Soldan türev −1.

1 ≠ −1 olduğundan limit yoktur.

Sonuç: f(x) = |x|, x = 0’da sürekli ama türevlenemez. Grafikteki köşede tek bir teğet çizilemez.

Örnek 7 (rasyonel fonksiyon)

f(x) = 1/x eğrisinin x = 1 noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz.

Çözüm:

f(1 + h) − f(1) = 1/(1 + h) − 1

Paydaları eşitleyelim: = (1 − (1 + h)) / (1 + h) = −h / (1 + h)

Fark oranı: [−h / (1 + h)] ÷ h = −1 / (1 + h)

lim (h→0) −1 / (1 + h) = −1 / 1 = −1

Sonuç: f′(1) = −1 (Eğim negatif, çünkü 1/x fonksiyonu x > 0 için azalır.)

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: f(x) = x² için f(x + h) = x² + h² yazmak. Doğrusu: (x + h)² = x² + 2xh + h²; ortadaki 2xh terimi unutulmamalıdır.
• Yanlış: Fark oranında hemen h = 0 yazıp “0/0, türev yok” demek. Doğrusu: Önce payı açıp h parantezine alın, h’yi sadeleştirin, sonra limiti alın.
• Yanlış: “Fonksiyon sürekli, o hâlde türevlenebilir.” Doğrusu: Türevlenebilir ⇒ sürekli doğrudur; tersi her zaman doğru değildir (f(x) = |x|, x = 0).
• Yanlış: Teğet denkleminde y = f′(a) · x yazıp noktayı unutmak. Doğrusu: y − f(a) = f′(a)(x − a); doğru mutlaka (a, f(a)) noktasından geçmelidir.
• Yanlış: Ortalama hız ile anlık hızı karıştırmak (Örnek 4’te 25 m/sn’yi t = 2 anındaki hız sanmak). Doğrusu: Ortalama hız bir aralığa, anlık hız tek bir ana aittir; anlık hız için h→0 limiti gerekir.

Alıştırma

1) f(x) = x² fonksiyonunun [0, 2] aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?

2) f(x) = 2x + 7 ise f′(5) kaçtır?

3) f(x) = x² için f′(−1) değerini tanımla bulunuz.

4) f(x) = x² + x için f′(1) değerini tanımla bulunuz.

5) Bir cismin konumu s(t) = t² + 4t metredir. t = 1 saniyedeki anlık hızı kaç m/sn’dir?

6) f(x) = x² eğrisine x = 1 noktasında çizilen teğetin denklemini yazınız.

7) f(x) = 1/x eğrisine x = 2 noktasında çizilen teğetin eğimi kaçtır?

8) f(x) = |x − 3| fonksiyonu x = 3’te sürekli midir, türevlenebilir midir?

9) Bir fonksiyon x = a noktasında sürekli değilse bu noktada türevlenebilir mi?

10) lim (h→0) [(3 + h)² − 9] / h limiti hangi fonksiyonun hangi noktadaki türevidir ve değeri kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 2 — (f(2) − f(0)) / (2 − 0) = (4 − 0) / 2 = 2.
• 2) 2 — Doğrusal fonksiyonda fark oranı 2h / h = 2’dir, türev her noktada eğime eşittir.
• 3) −2 — (−1 + h)² − 1 = −2h + h², h’ye bölünce −2 + h, limiti −2.
• 4) 3 — f(1 + h) = 2 + 3h + h² ve f(1) = 2 olduğundan fark oranı 3 + h, limiti 3.
• 5) 6 m/sn — s(1 + h) = 5 + 6h + h² ve s(1) = 5, fark oranı 6 + h, limiti 6.
• 6) y = 2x − 1 — f(1) = 1, f′(1) = 2 olduğundan y − 1 = 2(x − 1).
• 7) −1/4 — 1/(2 + h) − 1/2 = −h / (2(2 + h)), h’ye bölünce −1 / (2(2 + h)), limiti −1/4.
• 8) Sürekli, türevlenemez — Sağdan türev 1, soldan türev −1 olduğundan x = 3’teki köşede türev yoktur.
• 9) Hayır — Türevlenebilir her fonksiyon o noktada sürekli olmak zorundadır.
• 10) f(x) = x², a = 3, değer 6 — (3 + h)² − 9 = 6h + h², h’ye bölünce 6 + h, limiti 6.

Dersin özeti

• Ortalama değişim hızı (f(b) − f(a)) / (b − a) oranıdır ve kesen doğrunun eğimini verir.
• Türev, fark oranının h→0 iken limitidir: f′(a) = lim (h→0) [f(a + h) − f(a)] / h. Bu, anlık değişim hızıdır.
• f′(a), grafiğin x = a’daki teğetinin eğimidir; teğet denklemi y − f(a) = f′(a)(x − a) şeklindedir.
• Türevin var olması için sağdan ve soldan türevler eşit olmalıdır.
• Türevlenebilen fonksiyon süreklidir, fakat sürekli her fonksiyon türevlenebilir değildir. Bir sonraki derste, her seferinde limit hesaplamadan türev bulmamızı sağlayan türev alma kurallarını öğreneceğiz.