Kesirler: Pastayı Paylaştırmaktan Kesirlerle İşlemlere

Tahmini süre: 15 dk

Önceki derslerde doğal sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeyi tazeledik. Bölmenin her zaman tam sonuç vermediğini de gördük: 7 elmayı 2 kişiye paylaştırınca elimizde yarım bir elma kalıyordu. İşte bu dersin konusu, o "yarım" gibi parçaları yazmanın ve onlarla işlem yapmanın yolu: kesirler. Bu derste öğrendiklerimizi bir sonraki derste ondalık sayılara ve yüzdelere taşıyacağız. Kesirleri iyi anlarsanız sonraki konular çok daha kolay gelir.

Günlük hayattan giriş

Kesirleri siz farkında olmadan her gün kullanıyorsunuz. Bir pastayı 8 eşit dilime kesip 3 dilimini yediğinizde pastanın 3/8'ini yemiş olursunuz. Bir tarifte "yarım çay kaşığı tuz" ya da "çeyrek kilo kıyma" yazıyorsa, bunlar da kesirdir: yarım 1/2, çeyrek 1/4 demektir. Saatte "çeyrek geçiyor" dediğimizde bir saatin 1/4'ünden, yani 15 dakikadan söz ederiz.

Alışverişte de kesirler karşımıza çıkar. Mağaza "bütün ürünlerde dörtte bir indirim" diyorsa, 240 TL'lik bir ceketten fiyatın 1/4'ü kadar indirim yapılır. Bir depoyu doldurmak için "depo yarıya kadar dolu" dediğimizde de aslında 1/2 kesrini kullanırız. Kira, ortak fatura ya da miras paylaşımı gibi durumlarda "payına düşen kısım" hep bir kesirdir.

Kısacası kesir, bir bütünün eşit parçalarından kaçının alındığını gösterir. Bu dersin sonunda kesirleri sadeleştirebilecek, toplayıp çıkarabilecek, çarpıp bölebileceksiniz. Üstelik kuralları ezberlemek yerine neden öyle olduklarını da bileceksiniz.

Tanım ve kural

Kesrin anlamı

Bir kesir pay/payda biçiminde yazılır. Örneğin 3/8 kesrinde:

• Payda (8): Bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü söyler.
• Pay (3): Bu parçalardan kaç tanesini aldığımızı söyler.

Önemli nokta: Parçaların eşit olması gerekir. Pastayı biri büyük biri küçük dilimlere keserseniz "3/8" demek anlamını yitirir. Payı paydasından büyük olan kesirler de vardır. Örneğin 9/4, 4 parçaya bölünmüş bütünlerden 9 parça demektir. Bu, 2 tam bütün ve 1 parça eder; bunu 2 1/4 (iki tam dörtte bir) diye de yazarız.

Denk kesirler ve sadeleştirme

Pastayı 2 eşit parçaya bölüp 1 parça almak (1/2) ile 4 eşit parçaya bölüp 2 parça almak (2/4) aynı miktarda pasta demektir. Böyle aynı miktarı gösteren kesirlere denk kesir denir.

Neden? Dilimleri ikiye bölerseniz dilim sayısı iki katına çıkar ama her dilim yarı yarıya küçülür. Pastanın miktarı değişmez. Bu yüzden pay ve paydayı aynı sayıyla çarpar ya da bölersek kesrin değeri değişmez.

• Pay ve paydayı aynı sayıyla çarpmak kesri genişletmektir: 1/2 = 2/4 = 3/6.
• Pay ve paydayı aynı sayıyla bölmek kesri sadeleştirmektir: 6/8 = 3/4.

Dört işlemin kuralları ve nedenleri

Toplama ve çıkarma: Yalnızca aynı büyüklükteki parçalar toplanabilir. 1 elma ile 1 armut "2 elma" etmez. Aynı şekilde 1/2 (yarım) ile 1/3 (üçte bir) doğrudan toplanamaz, çünkü parçaların boyu farklıdır. Önce paydaları eşitleriz, yani iki kesri de aynı büyüklükteki parçalarla yazarız. Sonra payları toplar ya da çıkarırız. Payda aynı kalır, çünkü parçaların boyu değişmez.

Çarpma: "1/2 × 1/3" demek "üçte birin yarısı" demektir. Pastanın 1/3'ünü alıp onu ikiye bölerseniz, pastanın 1/6'sını elde edersiniz. Bu yüzden paylar çarpılır, paydalar çarpılır. Burada payda eşitlemeye gerek yoktur.

Bölme: "3 ÷ 1/4" sorusu "3 bütünün içine kaç tane çeyrek sığar?" demektir. Her bütünde 4 çeyrek vardır, yani 3 × 4 = 12 çeyrek sığar. Görüldüğü gibi 1/4'e bölmek ile 4 ile çarpmak aynı sonucu verir. Bu yüzden kural şudur: İkinci kesri ters çevir ve çarp.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 6/8 kesrini sadeleştirin.

Çözüm:

Adım 1: 6 ve 8'i birlikte bölen bir sayı arıyoruz. İkisi de çift sayı, yani 2'ye bölünür.

Adım 2: 6 ÷ 2 = 3 ve 8 ÷ 2 = 4.

Adım 3: 3 ile 4'ü birlikte bölen 1'den başka sayı yok, daha fazla sadeleşmez.

Sonuç: 6/8 = 3/4

Örnek 2: 2/5 + 1/5 işlemini yapın.

Çözüm:

Adım 1: Paydalar zaten eşit (5). Parçalar aynı büyüklükte.

Adım 2: Payları topluyoruz: 2 + 1 = 3.

Adım 3: Payda aynı kalıyor: 5.

Sonuç: 2/5 + 1/5 = 3/5

Örnek 3: Bir kişi pastanın 1/2'sini, diğeri 1/3'ünü yedi. Toplam ne kadar pasta yendi?

Çözüm:

Adım 1: 1/2 + 1/3 işlemini yapacağız. Paydalar farklı (2 ve 3).

Adım 2: Hem 2'nin hem 3'ün katı olan en küçük sayı 6'dır. Ortak payda 6.

Adım 3: 1/2'yi genişletiyoruz: pay ve paydayı 3 ile çarpınca 3/6.

Adım 4: 1/3'ü genişletiyoruz: pay ve paydayı 2 ile çarpınca 2/6.

Adım 5: 3/6 + 2/6 = 5/6.

Sonuç: Pastanın 5/6'sı yendi.

Örnek 4: 3/4 − 1/6 işlemini yapın.

Çözüm:

Adım 1: Paydalar 4 ve 6. İkisinin de katı olan en küçük sayı 12'dir.

Adım 2: 3/4'ü genişletiyoruz: 3 × 3 = 9, 4 × 3 = 12, yani 9/12.

Adım 3: 1/6'yı genişletiyoruz: 1 × 2 = 2, 6 × 2 = 12, yani 2/12.

Adım 4: 9/12 − 2/12 = 7/12.

Adım 5: 7 ile 12'yi birlikte bölen 1'den başka sayı yok.

Sonuç: 3/4 − 1/6 = 7/12

Örnek 5: 2/3 × 3/4 işlemini yapın.

Çözüm:

Adım 1: Çarpmada payda eşitlemeye gerek yok.

Adım 2: Payları çarpıyoruz: 2 × 3 = 6.

Adım 3: Paydaları çarpıyoruz: 3 × 4 = 12.

Adım 4: 6/12'yi 6'ya bölerek sadeleştiriyoruz: 1/2.

Sonuç: 2/3 × 3/4 = 1/2

Örnek 6: 3/4 litre zeytinyağını 1/8 litrelik küçük şişelere dolduracağız. Kaç şişe gerekir?

Çözüm:

Adım 1: "3/4 litrenin içine kaç tane 1/8 litre sığar?" diye soruyoruz. Bu bir bölme işlemi: 3/4 ÷ 1/8.

Adım 2: İkinci kesri ters çeviriyoruz: 1/8 → 8/1.

Adım 3: 3/4 × 8/1 = 24/4.

Adım 4: 24 ÷ 4 = 6.

Adım 5: Kontrol: 6 × 1/8 = 6/8 = 3/4. Doğru.

Sonuç: 6 şişe gerekir.

Örnek 7: Bir tarifte 1 1/2 kg un ve 3/4 kg un daha kullanılıyor. Toplam kaç kg un gerekir?

Çözüm:

Adım 1: 1 1/2 tam sayılı kesrini tek kesir olarak yazıyoruz. 1 bütün = 2/2, üstüne 1/2 eklenince 3/2.

Adım 2: 3/2 + 3/4 işlemini yapacağız. Ortak payda 4.

Adım 3: 3/2'yi genişletiyoruz: 3 × 2 = 6, 2 × 2 = 4, yani 6/4.

Adım 4: 6/4 + 3/4 = 9/4.

Adım 5: 9/4 içinde 2 tam bütün (8/4) ve 1/4 var: 2 1/4.

Sonuç: 2 1/4 kg un gerekir.

Sık yapılan hatalar

• Payları da paydaları da toplamak. Yanlış: 1/2 + 1/3 = 2/5. Doğrusu: Önce paydaları eşitle: 3/6 + 2/6 = 5/6. Kendinizi şöyle kontrol edin: Yarım pastaya bir parça daha eklenince sonuç yarımdan küçük olamaz. Oysa 2/5, 1/2'den küçüktür.
• Bölmede yanlış kesri ters çevirmek. Yanlış: 3/4 ÷ 1/8 = 4/3 × 1/8. Doğrusu: Birinci kesir aynen kalır, ikinci kesir ters çevrilir: 3/4 × 8/1 = 6.
• Tam sayıyı hem paya hem paydaya çarpmak. Yanlış: 3 × 2/5 = 6/15. Doğrusu: 3'ü 3/1 diye düşünün: 3/1 × 2/5 = 6/5. Yalnızca pay çarpılır.
• Sadeleştirirken pay ve paydayı farklı sayılara bölmek. Yanlış: 6/8'de 6'yı 3'e, 8'i 2'ye bölüp 2/4 yazmak. Doğrusu: İkisi de aynı sayıya bölünmeli: 6 ÷ 2 = 3, 8 ÷ 2 = 4, sonuç 3/4.
• Genişletirken yalnızca paydayı çarpmak. Yanlış: 1/2 = 1/6. Doğrusu: Pay da aynı sayıyla çarpılır: 1/2 = 3/6.

Alıştırma

1) 10/15 kesrini sadeleştirin.

2) 3/7 + 2/7 = ?

3) 5/9 − 2/9 = ? (Sonucu sadeleştirin.)

4) 1/4 + 2/3 = ?

5) 5/6 − 1/4 = ?

6) 4/5 × 5/8 = ? (Sonucu sadeleştirin.)

7) 2/3 ÷ 4/9 = ?

8) 2/5 kesrine denk olan ve paydası 20 olan kesri yazın.

9) 240 TL'nin 3/4'ü kaç TL eder?

10) 3 litre ayran, 1/4 litrelik bardaklara dolduruluyor. Kaç bardak dolar?

Cevap Anahtarı

• 1) 2/3 — Pay ve paydayı 5'e bölün: 10 ÷ 5 = 2, 15 ÷ 5 = 3.
• 2) 5/7 — Paydalar eşit, payları toplayın: 3 + 2 = 5.
• 3) 1/3 — 5 − 2 = 3 ile 3/9 bulunur, 3'e bölünce 1/3 olur.
• 4) 11/12 — Ortak payda 12: 3/12 + 8/12 = 11/12.
• 5) 7/12 — Ortak payda 12: 10/12 − 3/12 = 7/12.
• 6) 1/2 — 4 × 5 = 20 ve 5 × 8 = 40, yani 20/40, bu da 20'ye bölünce 1/2 olur.
• 7) 3/2 (yani 1 1/2) — İkinci kesri ters çevirin: 2/3 × 9/4 = 18/12, 6'ya bölünce 3/2 olur.
• 8) 8/20 — 5'i 20 yapmak için 4 ile çarpılır, pay da 4 ile çarpılır: 2 × 4 = 8.
• 9) 180 TL — 240 ÷ 4 = 60 TL bir çeyrektir, 3 çeyrek 60 × 3 = 180 TL eder.
• 10) 12 bardak — 3 ÷ 1/4 = 3 × 4 = 12, çünkü her litreye 4 bardak düşer.

Dersin özeti

• Kesir, eşit parçalara bölünmüş bir bütünden kaç parça alındığını gösterir. Payda parça sayısını, pay alınan parçayı söyler.
• Pay ve paydayı aynı sayıyla çarpmak ya da bölmek kesrin değerini değiştirmez. Genişletme ve sadeleştirme buna dayanır.
• Toplama ve çıkarmada önce paydalar eşitlenir, sonra paylarla işlem yapılır. Payda aynı kalır.
• Çarpmada paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. Payda eşitlemeye gerek yoktur.
• Bölmede birinci kesir aynen kalır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır. Sıradaki derste bu bilgilerle ondalık sayılara ve yüzdelere geçeceğiz.