Birinci Dereceden Denklemler: Terazinin Dengesini Korumak

Günlük hayattan giriş

Eski tip bir terazi düşünün: iki kefesi var ve ortada bir çubuk. İki kefede eşit ağırlık varsa terazi dümdüz durur, yani dengededir. Sol kefeye 1 kilogramlık bir ağırlık eklerseniz terazi hemen sola yatar. Dengeyi yeniden kurmak için sağ kefeye de 1 kilogram eklemeniz gerekir. Kural basittir: Bir tarafa ne yaparsanız, öbür tarafa da aynısını yapmalısınız.

Günlük hayatta bu dengeyi hiç farkında olmadan sık sık kurarız. Market fişine bakıp “Toplam 250 TL tutmuş, peynir dışındakiler 180 TL, o hâlde peynir 70 TL” deriz. Faturayı görüp “Sabit ücreti çıkarınca geriye kalan tüketimim kaç lira?” diye düşünürüz. Maaşın ne kadarının harcandığını, geriye ne kaldığını hesaplarız. Bunların hepsinde bilmediğimiz bir sayı vardır ve elimizdeki bilgilerle o sayıyı buluruz.

Matematikte bu işin adı denklem çözmektir. Bilmediğimiz sayıya genellikle x deriz. Bu son dersimizde, kursta öğrendiğimiz dört işlemi, parantezleri ve kesirleri bir araya getirip denklemleri terazi mantığıyla, adım adım çözeceğiz. Ezberlemek yerine her adımda “Bunu neden yapıyorum?” sorusunun cevabını göreceğiz.

Tanım ve kural

Denklem, içinde bilinmeyen bir sayı bulunan ve eşittir (=) işaretiyle iki tarafı birbirine eşitlenmiş ifadedir. Örneğin x + 3 = 10 bir denklemdir. Birinci dereceden denmesinin sebebi, bilinmeyenin x² ya da x³ gibi kuvvetli değil, sadece x olarak yer almasıdır.

Eşittir işareti terazinin ortasındaki çubuk gibidir. Sol taraf bir kefe, sağ taraf öbür kefedir. Denklemi çözmek, x'i bir kefede yapayalnız bırakmak demektir. Bunu yaparken dengeyi bozmamak için şu kuralı uygularız:

Kural: Denklemin iki tarafına da aynı sayıyı ekleyebilir, iki tarafından da aynı sayıyı çıkarabilir, iki tarafı da aynı sayıyla çarpabilir veya (sıfır hariç) aynı sayıya bölebiliriz. Denklem bozulmaz.

Neden? Çünkü iki taraf başta eşitse, eşit iki miktara aynı şeyi yapınca sonuçlar yine eşit olur. İki kefede 10'ar kilogram varsa, ikisinden de 3 kilogram alırsanız ikisinde de 7 kilogram kalır. İkisini de yarıya indirirseniz ikisinde de 5 kilogram kalır. Sıfıra bölmeye izin yoktur, çünkü sıfıra bölme tanımsızdır.

x'in yanındaki bir sayıdan kurtulmak için o sayının ters işlemini kullanırız. Toplamanın tersi çıkarma, çarpmanın tersi bölmedir. Aşağıdaki tablo bunu özetliyor:

İki önemli alışkanlık daha edinelim:

• Sıra: İki adımlı denklemlerde önce toplama/çıkarmadan, sonra çarpma/bölmeden kurtuluruz. Bir paketi açarken en dıştaki ambalajı önce açmak gibidir.
• Sağlama: Bulduğunuz sayıyı ilk denklemde x'in yerine yazın. İki taraf eşit çıkıyorsa cevabınız kesin doğrudur. Bu, terazinin gerçekten dengede olduğunu kontrol etmektir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (tek adım, toplama)

x + 7 = 15 denkleminde x kaçtır?

Çözüm:

x'in yanında +7 var. Onu yok etmek için iki taraftan da 7 çıkarırız.

x + 7 − 7 = 15 − 7

x = 8

Sağlama: 8 + 7 = 15 ✓

Cevap: x = 8

Örnek 2 (tek adım, çarpma)

3x = 24 denkleminde x kaçtır?

Çözüm:

3x, “3 çarpı x” demektir. Çarpmanın tersi bölmedir.

İki tarafı da 3'e böleriz: 3x ÷ 3 = 24 ÷ 3

x = 8

Sağlama: 3 × 8 = 24 ✓

Cevap: x = 8

Örnek 3 (iki adım)

2x + 5 = 17 denkleminde x kaçtır?

Çözüm:

1. adım: Önce +5'ten kurtulalım. İki taraftan 5 çıkarırız: 2x = 17 − 5

2x = 12

2. adım: İki tarafı 2'ye böleriz: x = 12 ÷ 2

x = 6

Sağlama: 2 × 6 + 5 = 12 + 5 = 17 ✓

Cevap: x = 6

Örnek 4 (kesirli, iki adım)

x/4 − 3 = 2 denkleminde x kaçtır?

Çözüm:

1. adım: −3'ten kurtulmak için iki tarafa 3 ekleriz: x/4 = 2 + 3

x/4 = 5

2. adım: x, 4'e bölünmüş. İki tarafı 4 ile çarparız: x = 5 × 4

x = 20

Sağlama: 20 ÷ 4 = 5, 5 − 3 = 2 ✓

Cevap: x = 20

Örnek 5 (parantezli)

3(x − 2) = 21 denkleminde x kaçtır?

Çözüm:

Parantezi dağıtırız: 3 hem x ile hem 2 ile çarpılır.

3x − 6 = 21

İki tarafa 6 ekleriz: 3x = 27

İki tarafı 3'e böleriz: x = 9

Sağlama: 9 − 2 = 7, 3 × 7 = 21 ✓

Kısa yol: İki tarafı en başta 3'e bölerek x − 2 = 7, oradan x = 9 da bulunabilir. İki yol da aynı sonucu verir.

Cevap: x = 9

Örnek 6 (iki tarafta da x var)

5x − 4 = 2x + 11 denkleminde x kaçtır?

Çözüm:

x'leri bir tarafta toplayalım. İki taraftan 2x çıkarırız: 5x − 2x − 4 = 11

3x − 4 = 11

İki tarafa 4 ekleriz: 3x = 15

İki tarafı 3'e böleriz: x = 5

Sağlama: Sol taraf 5 × 5 − 4 = 21, sağ taraf 2 × 5 + 11 = 21 ✓

Cevap: x = 5

Örnek 7 (sözel problem: fatura)

Bir elektrik tarifesinde, diyelim ki her ay 60 TL sabit ücret ve kullanılan her kilovatsaat (kWh) için 3 TL ödeniyor. Fatura 360 TL geldiyse kaç kWh elektrik kullanılmıştır?

Çözüm:

Kullanılan elektriğe x kWh diyelim. Tüketim ücreti 3x TL olur.

Denklem: 60 + 3x = 360

İki taraftan 60 çıkarırız: 3x = 300

İki tarafı 3'e böleriz: x = 100

Sağlama: 60 + 3 × 100 = 60 + 300 = 360 ✓

Cevap: 100 kWh

Örnek 8 (sözel problem: maaş)

Bir çalışan maaşının 3/4'ünü harcadıktan sonra elinde 8.000 TL kalıyor. Maaşı kaç TL'dir?

Çözüm:

Maaşa x diyelim. 3/4'ü harcandıysa geriye 1/4'ü kalmıştır.

Denklem: x/4 = 8.000

İki tarafı 4 ile çarparız: x = 32.000

Sağlama: 32.000'in 3/4'ü 24.000'dir; 32.000 − 24.000 = 8.000 ✓

Cevap: 32.000 TL

Sık yapılan hatalar

• Ters işlemi unutmak: x + 5 = 12 için “x = 12 + 5 = 17” demek yanlıştır. +5'ten kurtulmak için 5 çıkarılır: x = 12 − 5 = 7.
• Çarpmayı çıkarma sanmak: 3x = 12 için “x = 12 − 3 = 9” yanlıştır. 3x, 3 çarpı x demektir; iki taraf 3'e bölünür: x = 4.
• Parantezi yarım dağıtmak: 2(x + 3) = 14 için “2x + 3 = 14” yazmak yanlıştır. 2 parantezdeki her şeyle çarpılır: 2x + 6 = 14, 2x = 8, x = 4.
• İşlemi tek tarafa yapmak: 2x + 4 = 10'da sadece soldan 4 atıp “2x = 10, x = 5” demek dengeyi bozar. İki taraftan da 4 çıkar: 2x = 6, x = 3.
• Eksi işaretini kaybetmek: −x = 6 için “x = 6” yanlıştır. İki taraf −1 ile çarpılır: x = −6.

Alıştırma

1) x + 9 = 20

2) x − 6 = 14

3) 4x = 36

4) x/3 = 7

5) 2x + 3 = 19

6) 5x − 7 = 18

7) 4(x + 2) = 28

8) 6x − 5 = 2x + 15

9) Bir taksi yolculuğunda, diyelim ki açılış ücreti 40 TL ve her kilometre 25 TL. 290 TL ödendiyse kaç kilometre gidilmiştir?

10) Bir çalışan maaşının yarısını kira ve faturalara, 6.000 TL'sini mutfak alışverişine harcıyor ve elinde 9.000 TL kalıyor. Maaşı kaç TL'dir?

Cevap Anahtarı

• 1) x = 11 — İki taraftan 9 çıkar: 20 − 9 = 11.
• 2) x = 20 — İki tarafa 6 ekle: 14 + 6 = 20.
• 3) x = 9 — İki tarafı 4'e böl: 36 ÷ 4 = 9.
• 4) x = 21 — İki tarafı 3 ile çarp: 7 × 3 = 21.
• 5) x = 8 — Önce 3 çıkar (2x = 16), sonra 2'ye böl.
• 6) x = 5 — Önce 7 ekle (5x = 25), sonra 5'e böl.
• 7) x = 5 — Parantezi dağıt (4x + 8 = 28), 8 çıkar (4x = 20), 4'e böl.
• 8) x = 5 — İki taraftan 2x çıkar (4x − 5 = 15), 5 ekle (4x = 20), 4'e böl.
• 9) 10 km — 40 + 25x = 290 denkleminde 40 çıkar (25x = 250), 25'e böl.
• 10) 30.000 TL — Maaşın yarısı 6.000 + 9.000 = 15.000 TL olduğundan x/2 = 15.000, x = 30.000.

Dersin özeti

• Denklem bir terazidir; eşittir işaretinin iki tarafı her zaman dengede kalmalıdır.
• İki tarafa aynı sayıyı ekleyip çıkarmak ya da iki tarafı aynı sayıyla (sıfır hariç) çarpıp bölmek dengeyi bozmaz.
• x'i yalnız bırakmak için ters işlem kullanılır: önce toplama/çıkarmadan, sonra çarpma/bölmeden kurtulunur.
• Parantez önce dağıtılır, x'ler bir tarafta, sayılar öbür tarafta toplanır.
• Sözel problemde bilinmeyene x denir, cümle denkleme çevrilir ve sonuç mutlaka sağlama ile kontrol edilir.

Kursun kapanışı

Bu dersle kursumuzun sonuna geldik. Temel işlemlerle başlayan yolculuğumuz, bilinmeyen bir sayıyı kendi başınıza bulabildiğiniz denklemlere ulaştı. Artık bir faturayı, bir maaş hesabını ya da bir alışveriş fişini yalnızca okumakla kalmayıp içindeki bilinmeyeni de hesaplayabilirsiniz. Unutmayın: Matematikte hız değil, adım adım ve kontrol ederek ilerlemek önemlidir. Takıldığınızda terazinizi hatırlayın; bir tarafa ne yaparsanız öbür tarafa da aynısını yapın. Emeğiniz için tebrikler!