Bölünebilme Kuralları ile Hızlı Kontrol ve Sadeleştirme

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde zihinden çarpma ve bölme yaparken sayıları parçalara ayırmayı, işlemi kolay adımlara bölmeyi öğrendik. Şimdi bu hızı güvenle kullanabilmek için bir soruyu soracağız: Bulduğum sonuç doğru mu? Ayrıca bir sayı başka bir sayıya tam bölünür mü, bunu bölme işlemini yapmadan anlamak mümkün mü? Bu dersin konusu tam olarak bu: bölünebilme kuralları.

Bu kurallar günlük hayatta sandığımızdan sık karşımıza çıkar. Arkadaşlarla yemeğe çıktınız, hesap 234 lira geldi ve 9 kişisiniz. Hesabın kuruşsuz, eşit paylaşılıp paylaşılamayacağını bölme yapmadan birkaç saniyede söyleyebilirsiniz. Bir kutuya 6'şar yumurta koyacaksınız ve elinizde 4 158 yumurta var. Hiç yumurta artar mı? Market fişinde bir ürünün toplam fiyatı yazıyor ve bu fiyat bir sayının katı olmalı. Fişte hata var mı? Bu soruların hepsine bölünebilme kurallarıyla hızlıca cevap verebiliriz.

Bu derste 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile bölünebilme kurallarını sadece ezberlemeyeceğiz; her birinin neden çalıştığını göreceğiz. Nedenini bilen kişi kuralı unutsa bile yeniden bulabilir. Sonra bu kuralları iki işte kullanacağız: kesirleri hızla sadeleştirmek ve bir işlemin sonucunu kontrol etmek.

Tanım ve kural

Bölünebilme ne demek? Bir sayı başka bir sayıya bölündüğünde kalan 0 oluyorsa, yani sonuç tam sayı çıkıyorsa, o sayı diğerine tam bölünür. Örneğin 12, 3'e tam bölünür çünkü 12 ÷ 3 = 4 ve kalan yoktur. 14 ise 3'e tam bölünmez çünkü 14 ÷ 3 işleminde 2 kalır.

2, 5 ve 10 ile bölünebilme — neden sadece son rakama bakılır? Her sayıyı "onluklar kısmı + son rakam" diye ayırabiliriz. Örneğin 3 578 = 3 570 + 8. Sondaki 0 sayesinde 3 570, 10'un bir katıdır. 10 sayısı hem 2'ye hem 5'e tam bölündüğü için 10'un her katı da 2'ye ve 5'e tam bölünür. Demek ki karar son rakamda verilir. Son rakam 8 çift olduğu için 3 578 sayısı 2'ye tam bölünür. Aynı mantıkla son rakamı 0 veya 5 olan sayılar 5'e, son rakamı 0 olan sayılar 10'a tam bölünür.

4 ile bölünebilme — neden son iki basamak? 10 sayısı 4'e tam bölünmez ama 100 bölünür, çünkü 100 = 4 × 25. Bu yüzden 7 316 sayısını 7 300 + 16 diye ayırırız. 7 300, 100'ün katı olduğu için 4'e kesin bölünür. Karar son iki basamaktaki 16'da verilir. 16 ÷ 4 = 4 olduğundan 7 316 de 4'e tam bölünür.

3 ve 9 ile bölünebilme — neden rakamları toplarız? Buradaki sır şudur: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1 000 = 999 + 1. Yani 10, 100, 1 000 gibi sayılar 9'un bir katından tam 1 fazladır. Şimdi 372 sayısına bakalım:

372 = 3 × 100 + 7 × 10 + 2

372 = 3 × (99 + 1) + 7 × (9 + 1) + 2

372 = (3 × 99 + 7 × 9) + (3 + 7 + 2)

Parantez içindeki ilk kısım 9'un katıdır, dolayısıyla hem 9'a hem 3'e tam bölünür. Geriye kalan tek şey rakamların toplamıdır: 3 + 7 + 2 = 12. 12, 3'e bölündüğü için 372 de 3'e bölünür (372 ÷ 3 = 124). Ama 12, 9'a bölünmediği için 372 de 9'a tam bölünmez. İşte kuralın nedeni budur.

6 ile bölünebilme — neden hem 2'ye hem 3'e bakarız? Çünkü 6 = 2 × 3 ve 2 ile 3'ün 1'den başka ortak böleni yoktur. Bir sayı hem 2'ye hem 3'e bölünüyorsa 6'ya da bölünür. Dikkat: Bu yöntem, ortak böleni olan sayılarda işe yaramaz. Örneğin 12 hem 2'ye hem 4'e bölünür ama 8'e bölünmez.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 7 485 sayısı 2'ye, 5'e ve 10'a tam bölünür mü?

Çözüm:

Son rakam 5'tir.

5 tek sayı olduğu için 2'ye bölünmez.

Son rakam 5 olduğu için 5'e bölünür.

Son rakam 0 olmadığı için 10'a bölünmez.

Sonuç: 7 485 sadece 5'e tam bölünür.

Örnek 2: 2 316 sayısı 4'e tam bölünür mü?

Çözüm:

Son iki basamağa bakarız: 16.

16 ÷ 4 = 4, kalan yok.

Kontrol: 579 × 4 = 2 316.

Sonuç: Evet, 2 316 sayısı 4'e tam bölünür ve 2 316 ÷ 4 = 579.

Örnek 3: 5 742 sayısı 3'e ve 9'a tam bölünür mü?

Çözüm:

Rakamları toplarız: 5 + 7 + 4 + 2 = 18.

18, 3'ün katıdır, öyleyse sayı 3'e bölünür.

18, 9'un da katıdır, öyleyse sayı 9'a da bölünür.

Kontrol: 638 × 9 = 5 742.

Sonuç: 5 742 hem 3'e hem 9'a tam bölünür.

Örnek 4: 4 158 yumurta 6'lık kutulara hiç yumurta artmadan yerleştirilebilir mi?

Çözüm:

6'ya bölünebilme için hem 2'ye hem 3'e bölünme gerekir.

Son rakam 8, çift sayı. 2'ye bölünür.

Rakamlar toplamı: 4 + 1 + 5 + 8 = 18. 3'e bölünür.

İki şart da sağlandığı için 6'ya bölünür: 4 158 ÷ 6 = 693.

Sonuç: Evet, 693 kutu dolar ve hiç yumurta artmaz.

Örnek 5: 72/108 kesrini en sade hâline getirin.

Çözüm:

İki sayı da çift, 2'ye bölelim: 72/108 = 36/54.

İki sayı yine çift, 2'ye bölelim: 36/54 = 18/27.

18'in rakamları toplamı 9, 27'nin rakamları toplamı 9. İkisi de 9'a bölünür: 18/27 = 2/3.

2 ile 3'ün 1'den başka ortak böleni yok.

Sonuç: 72/108 = 2/3

Örnek 6: 135/225 kesrini en sade hâline getirin.

Çözüm:

İki sayı da 5 ile bitiyor, 5'e bölelim: 135/225 = 27/45.

27'nin rakamları toplamı 9, 45'in rakamları toplamı 9. İkisi de 9'a bölünür: 27/45 = 3/5.

Sonuç: 135/225 = 3/5

Örnek 7: Bir arkadaşınız zihinden 347 × 6 = 2 072 buldu. Sonuç doğru olabilir mi?

Çözüm:

Bir sayı 6 ile çarpılırsa sonuç mutlaka 6'nın katı olur, yani hem 2'ye hem 3'e bölünmelidir.

2 072 çift, 2'ye bölünüyor.

Rakamlar toplamı: 2 + 0 + 7 + 2 = 11. 11, 3'e bölünmez.

Öyleyse 2 072, 6'nın katı olamaz; sonuç yanlıştır.

Doğru hesap: 300 × 6 = 1 800, 47 × 6 = 282, toplam 2 082. Kontrol: 2 + 0 + 8 + 2 = 12, 3'e bölünür ve sayı çift.

Sonuç: 2 072 yanlış, doğru cevap 2 082.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: "314'ün son rakamı 4, öyleyse 4'e bölünür." Doğrusu: 4 için son iki basamağa bakılır. 14, 4'e bölünmez; bu yüzden 314 de 4'e tam bölünmez (314 ÷ 4 işleminde 2 kalır).
• Yanlış: "51'in rakamları toplamı 6, öyleyse 51 sayısı 6'ya bölünür." Doğrusu: Rakam toplamı yalnızca 3 ve 9 için kullanılır. 6 için sayı ayrıca çift olmalıdır; 51 tek olduğu için 6'ya bölünmez.
• Yanlış: "12 hem 2'ye hem 4'e bölünüyor, öyleyse 8'e de bölünür." Doğrusu: Bu birleştirme yalnızca ortak böleni olmayan sayılarda işe yarar (6 = 2 × 3 gibi). 2 ile 4'ün ortak böleni 2 olduğu için bu yöntem 8 için kullanılamaz.
• Yanlış: "Her çift sayı 4'e bölünür." Doğrusu: 18, 30, 42 gibi pek çok çift sayı 4'e bölünmez. Çift olmak sadece 2'ye bölünmeyi garanti eder.
• Yanlış: "Sonuç bölünebilme kontrolünden geçti, kesin doğrudur." Doğrusu: Kontrol yanlış sonucu yakalayabilir ama doğruluğu garanti etmez. Örneğin 347 × 6 için 2 208 de hem çift hem rakam toplamı 12'dir, yine de yanlıştır. Kontrol, hatayı yakalayan bir süzgeçtir.

Alıştırma

1) 9 870 sayısı 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 sayılarından hangilerine tam bölünür?

2) 1 548 sayısı 4'e tam bölünür mü?

3) 6 741 sayısı 9'a tam bölünür mü?

4) 2 514 sayısı 6'ya tam bölünür mü?

5) Üç basamaklı 3□5 sayısı 9'a tam bölünüyor. □ yerine hangi rakam gelmelidir?

6) 48/60 kesrini en sade hâline getirin.

7) 90/126 kesrini en sade hâline getirin.

8) 125/175 kesrini en sade hâline getirin.

9) Bir arkadaşınız 213 × 4 = 856 buldu. Rakam toplamı yöntemiyle bu sonucun yanlış olduğunu gösterin ve doğru cevabı bulun.

10) 378 kalem 9 kutuya eşit ve artmayacak şekilde dağıtılabilir mi? Dağıtılabiliyorsa her kutuya kaç kalem düşer?

Cevap Anahtarı

1) 2, 3, 5, 6 ve 10. Son rakam 0 (2, 5, 10), rakam toplamı 24 (3 evet, 9 hayır), son iki basamak 70 ise 4'e bölünmez.

2) Evet (1 548 ÷ 4 = 387). Son iki basamak 48 ve 48 ÷ 4 = 12.

3) Evet (6 741 ÷ 9 = 749). Rakamlar toplamı 6 + 7 + 4 + 1 = 18, 9'un katıdır.

4) Evet (2 514 ÷ 6 = 419). Sayı çift ve rakamlar toplamı 12, 3'e bölünür.

5) 1. 3 + □ + 5 toplamı 9 olmalı; bu da □ = 1 demektir (315 ÷ 9 = 35).

6) 4/5. İki kez 2'ye bölünce 12/15, sonra 3'e bölünce 4/5 olur.

7) 5/7. 2'ye bölünce 45/63, rakam toplamları 9 olduğu için 9'a bölünce 5/7 olur.

8) 5/7. İki kez 5'e bölünür: önce 25/35, sonra 5/7.

9) Doğru cevap 852. 213'ün rakam toplamı 6 olduğu için çarpım 3'e bölünmeli; 856'nın rakam toplamı 19 olduğundan yanlıştır, 852'nin rakam toplamı ise 15'tir.

10) Evet, her kutuya 42 kalem düşer. 3 + 7 + 8 = 18 olduğu için 378, 9'a tam bölünür ve 378 ÷ 9 = 42.

Dersin özeti

• 2, 5 ve 10 için son rakama bakılır, çünkü onluklar kısmı her zaman 10'un katıdır.
• 4 için son iki basamağa bakılır, çünkü 100 = 4 × 25 olduğundan yüzlükler hep 4'e bölünür.
• 3 ve 9 için rakamlar toplanır, çünkü 10, 100, 1 000 gibi sayılar 9'un katından 1 fazladır.
• 6 için sayı hem çift olmalı hem de rakamlar toplamı 3'e bölünmelidir.
• Bu kurallarla kesirler adım adım hızla sadeleşir ve bir işlemin sonucundaki hatalar çoğu zaman saniyeler içinde yakalanır. Bir sonraki derste bu kontrol alışkanlığını yeni kısayollarla birlikte kullanmaya devam edeceğiz.