Tahmin, Sağlama ve Sınavda Hızlı Hesap Taktikleri

Tahmini süre: 15 dk

Günlük hayattan giriş

Markette sepetinizde 38 TL'lik bir ürün, 21 TL'lik bir ürün ve 49 TL'lik bir ürün olsun. Kasada ekranda 208 TL yazıyor. Hesap makinesi çıkarmadan içinizden şöyle dersiniz: “40 + 20 + 50 = 110 civarında olmalı, 208 çok fazla!” İşte bu tahmindir. Tahmin, sonucu kesin bulmaz ama sonucun hangi büyüklükte olması gerektiğini söyler. Böylece büyük hataları bir bakışta yakalarsınız. Gerçek toplam 38 + 21 + 49 = 108 TL'dir; kasada tuşa iki kez basılmış olabilir.

Bazen tahmin yetmez. Örneğin bir fatura 1 029 TL mi, yoksa 1 026 TL mi? İkisi de 1 000 civarındadır. Bu durumda sağlama yöntemleri devreye girer: son basamak kontrolü ve 9'a göre kalan kontrolü. Bu yöntemler işlemi baştan yapmadan “Bu sonuç yanlış!” diyebilmemizi sağlar.

Sınavlarda da durum aynıdır. LGS ve TYT gibi çoktan seçmeli sınavlarda doğru cevap zaten şıklardan birinde yazılıdır. Çoğu zaman her işlemi sonuna kadar yapmak yerine, tahmin ve sağlama ile yanlış şıkları elemek hem zaman kazandırır hem de dikkatsizlik hatalarını azaltır. Bu son derste, kurs boyunca öğrendiğimiz hızlı hesap tekniklerini bu kontrol yöntemleriyle birleştirip seti tamamlıyoruz.

Tanım ve kural

1) Tahmin (yuvarlama): Sayıları kolay sayılara yuvarlayıp işlemi zihinden yaparız. Örneğin 49 × 21 yerine 50 × 20 = 1 000. Neden işe yarar? Sayıyı biraz değiştirmek, sonucu da yalnızca biraz değiştirir. Bir sayıyı yukarı, diğerini aşağı yuvarlarsak hatalar birbirini kısmen dengeler. İkisini de yukarı yuvarlarsak gerçek sonucun tahminden küçük olduğunu bilmeliyiz.

2) Son basamak kontrolü: Toplama, çıkarma ve çarpmada sonucun birler basamağı yalnızca sayıların birler basamaklarına bağlıdır. Neden? 387 × 46 işlemini (380 + 7) × (40 + 6) diye düşünelim. 380 × 40, 380 × 6 ve 7 × 40 çarpımlarının hepsi 0 ile biter, çünkü içlerinde 10'un katı vardır. Birler basamağını yalnızca 7 × 6 = 42 belirler. Yani sonuç 2 ile bitmek zorundadır.

3) 9'a göre kalan (9 sağlaması): Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. Toplam büyükse rakamlarını yeniden toplarız. Neden? 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1 000 = 999 + 1 olduğu için her basamak değeri “9'un katı + 1” biçimindedir. Örneğin 5 283 = 5 × 999 + 2 × 99 + 8 × 9 + (5 + 2 + 8 + 3). Baştaki kısımlar 9'un katıdır; geriye yalnızca rakamlar toplamı kalır. Kalanlar toplanıp çarpılabildiği için şu kural doğar: sayıların kalanlarıyla yaptığımız işlemin kalanı, sonucun kalanına eşit olmalıdır.

Kısayol: Rakamları toplarken 9'ları ve toplamı 9 eden rakam çiftlerini (4 ile 5, 2 ile 7 gibi) hiç saymadan atabilirsiniz. Kalan değişmez.

Sınav bilgisi: LGS'de matematik 20 sorudur ve fen bilimleriyle birlikte sayısal bölümde yer alır. Bu bölümün süresi 80 dakikadır. TYT'de Temel Matematik 40 sorudur; sınavın tamamı 120 soru ve 165 dakikadır. Bu da soru başına ortalama 1,5 dakikadan az süre demektir. Süre ve soru sayıları değişebileceği için sınav yılının resmî kılavuzuna mutlaka bakın.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay): Tahminle büyüklük bulma

49 × 21 işleminin sonucu hangisidir? A) 529 B) 1 029 C) 10 290

Çözüm:

Adım 1: Sayıları yuvarlayalım: 49 ≈ 50, 21 ≈ 20.

Adım 2: 50 × 20 = 1 000. Sonuç 1 000 civarında olmalı.

Adım 3: 529 çok küçük, 10 290 çok büyük. Geriye B kalır.

Adım 4 (kesin hesapla kontrol): 49 × 21 = 49 × 20 + 49 = 980 + 49 = 1 029.

Cevap: B) 1 029

Örnek 2 (kolay): Son basamakla eleme

387 × 46 işleminin sonucu hangisidir? A) 17 802 B) 17 806 C) 17 808

Çözüm:

Adım 1: Şıkların hepsi aynı büyüklükte olduğu için tahmin işe yaramaz.

Adım 2: Birler basamaklarını çarpalım: 7 × 6 = 42. Sonuç 2 ile bitmeli.

Adım 3: Yalnızca A şıkkı 2 ile bitiyor.

Adım 4 (kontrol): 387 × 40 = 15 480 ve 387 × 6 = 2 322. Toplam 15 480 + 2 322 = 17 802.

Cevap: A) 17 802

Örnek 3 (orta): Çarpmada 9 sağlaması

Bir öğrenci 128 × 37 = 4 636 buluyor. Sonuç doğru mu?

Çözüm:

Adım 1: 128'in rakamları toplamı 1 + 2 + 8 = 11, 1 + 1 = 2. Kalan 2.

Adım 2: 37'nin rakamları toplamı 3 + 7 = 10, 1 + 0 = 1. Kalan 1.

Adım 3: Kalanları çarpalım: 2 × 1 = 2. Doğru sonucun kalanı 2 olmalı.

Adım 4: 4 636'nın rakamları toplamı 4 + 6 + 3 + 6 = 19, 1 + 9 = 10, 1 + 0 = 1. Kalan 1 ≠ 2.

Adım 5: Demek ki sonuç yanlış. Doğrusu: 128 × 40 − 128 × 3 = 5 120 − 384 = 4 736. Kontrol: 4 + 7 + 3 + 6 = 20, 2 + 0 = 2 ✓

Cevap: Yanlış; doğru sonuç 4 736'dır.

Örnek 4 (orta): Toplamada 9 sağlaması

4 587 + 3 968 = 8 555 işlemini 9 sağlamasıyla kontrol edin.

Çözüm:

Adım 1: 4 587 → 4 + 5 + 8 + 7 = 24 → 2 + 4 = 6. (Kısayol: 4 ile 5 atılır, 8 + 7 = 15 → 6.)

Adım 2: 3 968 → 9 atılır, 3 + 6 + 8 = 17 → 1 + 7 = 8.

Adım 3: Kalanları toplayalım: 6 + 8 = 14 → 1 + 4 = 5.

Adım 4: 8 555 → 8 + 5 + 5 + 5 = 23 → 2 + 3 = 5.

Adım 5: 5 = 5, sağlama tuttu. Kesin hesap da aynı: 4 587 + 4 000 = 8 587 ve 8 587 − 32 = 8 555.

Cevap: Sağlama tutuyor; 8 555 doğrudur.

Örnek 5 (zor, LGS tipi): İki yöntemle şık eleme

Bir okul gezisine katılan 38 öğrencinin her biri 195 TL ödüyor. Toplanan para kaç TL'dir? A) 6 410 B) 7 410 C) 7 415 D) 74 100

Çözüm:

Adım 1 (son basamak): 8 × 5 = 40, sonuç 0 ile bitmeli. C elenir.

Adım 2 (tahmin): 38 × 200 = 7 600. 195, 200'den yalnızca 5 eksik; bu yüzden sonuç 7 600'den biraz küçük olmalı. D çok büyük, elenir.

Adım 3: 6 410, 7 600'den 1 190 eksik; bu kadar büyük bir fark olamaz. A elenir.

Adım 4 (kontrol): 38 × 5 = 190 olduğundan 7 600 − 190 = 7 410.

Adım 5 (9 sağlaması): 38 → 11 → 2; 195 → 15 → 6; 2 × 6 = 12 → 3. 7 410 → 7 + 4 + 1 + 0 = 12 → 3 ✓

Cevap: B) 7 410

Örnek 6 (zor, TYT tipi): Ondalık sayıda büyüklük ve son basamak

4,9 × 0,21 işleminin sonucu hangisidir? A) 0,1029 B) 1,029 C) 10,29 D) 1,036

Çözüm:

Adım 1 (tahmin): 4,9 ≈ 5 ve 0,21 ≈ 0,2. 5 × 0,2 = 1. Sonuç 1 civarında olmalı. A ve C elenir.

Adım 2 (son basamak): 9 × 1 = 9, sonuç 9 ile bitmeli. D elenir.

Adım 3 (kontrol): 49 × 21 = 1 029 (Örnek 1). Virgülden sonra 1 + 2 = 3 basamak olmalı: 1,029.

Cevap: B) 1,029

Sınavda süre yönetimi taktikleri

• Önce şıklara bak: Şıklar birbirinden çok farklıysa tahmin, birbirine çok yakınsa son basamak veya 9 sağlaması kullan.
• İki tur tekniği: İlk turda hızlı çözebildiğin soruları yap. Takıldığın soruyu işaretleyip geç, ikinci turda ona dön.
• Tek yöntemle iki şık kaldıysa: Rastgele seçme, ikinci bir yöntem dene.
• Sona zaman bırak: Son birkaç dakikayı işaretlediğin sorulara ve cevapları optik forma doğru aktarıp aktarmadığını kontrol etmeye ayır.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: “9 sağlaması tuttuysa sonuç kesin doğrudur.” Doğrusu: 9 sağlaması rakamların yer değiştirmesini yakalayamaz. Örneğin 8 555 yerine 5 855 yazılsa da rakamlar toplamı 23'tür, kalan yine 5 çıkar. Sağlama tutmuyorsa sonuç kesin yanlıştır; tutuyorsa büyük ihtimalle doğrudur.
• Yanlış: 52 × 48 için 50 × 50 = 2 500 tahmini yapıp sonucun tam 2 500 olduğunu sanmak. Doğrusu: Tahmin yalnızca yaklaşık değerdir. Gerçek sonuç 52 × 48 = 2 496'dır. Tahmin şıkları elemek için kullanılır, cevabın yerine geçmez.
• Yanlış: Son basamak kontrolünü bölme işleminde kullanmak (144 ÷ 12 için 4 ÷ 2 = 2, sonuç 2 ile biter demek). Doğrusu: Kural yalnızca toplama, çıkarma ve çarpmada geçerlidir. 144 ÷ 12 = 12'dir. Bölmeyi, çarpmaya çevirerek kontrol et: 12 × 12 = 144 ✓
• Yanlış: 0,3 × 0,2 = 0,6. Doğrusu: Virgülden sonra toplam 1 + 1 = 2 basamak olmalı: 0,3 × 0,2 = 0,06. Tahminle de görülür: 1'den küçük iki sayının çarpımı, ikisinden de küçüktür.
• Yanlış: Her soruda tüm işlemi sonuna kadar yapıp zamanı bitirmek. Doğrusu: Önce şıklara bak, tahmin ve son basamakla ele. Kesin hesabı ancak birden fazla şık kalırsa yap.

Alıştırma

1) 52 × 19 işleminin sonucunu onlara yuvarlayarak tahmin edin.

2) 736 × 24 işleminin sonucunun birler basamağı kaçtır?

3) 5 283 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

4) 7 624 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

5) Bir öğrenci 64 × 23 = 1 462 buluyor. 9 sağlamasıyla kontrol edin.

6) 2 875 + 4 638 = 7 513 işlemini 9 sağlamasıyla kontrol edin.

7) 29 × 31 = ? A) 859 B) 899 C) 896 D) 8 990

8) 0,6 × 0,4 işleminin sonucu kaçtır?

9) Bir öğrenci 1 000 ÷ 7 işleminde bölümü 142, kalanı 6 buluyor. Sağlamasını yapın.

10) (LGS tipi) Tanesi 149 TL olan 3 tişört ve tanesi 398 TL olan 2 pantolon alınıyor. Toplam tutar kaç TL'dir? A) 1 243 B) 1 253 C) 1 143 D) 1 245

Cevap Anahtarı

• 1) Yaklaşık 1 000 (gerçek sonuç 988): 50 × 20 = 1 000; kesin hesap 52 × 20 − 52 = 1 040 − 52 = 988.
• 2) 4: 6 × 4 = 24 olduğundan sonuç 4 ile biter (736 × 24 = 17 664).
• 3) 0: 5 + 2 + 8 + 3 = 18 ve 18, 9'un katıdır.
• 4) 1: 7 + 6 + 2 + 4 = 19 → 1 + 9 = 10 → 1 + 0 = 1 (9 × 847 = 7 623 olduğundan kalan 1).
• 5) Yanlış; doğrusu 1 472: 64 → 1, 23 → 5, 1 × 5 = 5 ama 1 462 → 13 → 4 çıkar; 64 × 23 = 1 280 + 192 = 1 472 → 14 → 5 ✓
• 6) Sağlama tutuyor, sonuç doğru: 2 875 → 22 → 4, 4 638 → 21 → 3, 4 + 3 = 7 ve 7 513 → 16 → 7.
• 7) B) 899: Son basamak 9 × 1 = 9 olduğundan A ve B kalır; 30 × 30 = 900 tahmini B'yi seçtirir (29 × 31 = 30 × 30 − 1 = 899).
• 8) 0,24: 6 × 4 = 24; virgülden sonra 1 + 1 = 2 basamak olmalı.
• 9) Doğru: 7 × 142 + 6 = 994 + 6 = 1 000.
• 10) A) 1 243: Son basamak 7 + 6 = 13 → 3 olduğundan D elenir; 3 × 150 + 2 × 400 = 1 250 ve 3 + 4 = 7 TL fazla sayıldığı için 1 250 − 7 = 1 243.

Dersin özeti

• Tahmin sonucun büyüklüğünü verir ve büyük hataları yakalar. Kesin cevap yerine geçmez, şık elemede kullanılır.
• Son basamak kontrolü toplama, çıkarma ve çarpmada çalışır, çünkü sonucun birler basamağını yalnızca birler basamakları belirler.
• 9 sağlaması rakamlar toplamıyla yapılır, çünkü her basamak değeri “9'un katı + 1”dir. Tutmayan sağlama kesin hatayı gösterir, ama rakamların yer değiştirmesini yakalayamaz.
• Sınavda önce şıklara bak, uygun yöntemle ele, iki şık kalırsa ikinci bir yöntem kullan. İki tur tekniğiyle süreni yönet.
• Kursun kapanışı: Bu kursta sayıları parçalamayı, yuvarlayıp düzeltmeyi ve kısayolları kullanmayı öğrendiniz. Şimdi de sonuçlarınızı kontrol etmeyi öğrendiniz. Hızlı hesap, kontrolle birleşince güvenilir hesap olur. Her gün markette, faturada ya da sınavda küçük bir tahminle başlamayı alışkanlık hâline getirin.