Merkezi Eğilim: Aritmetik Ortalama, Medyan ve Mod

Tahmini süre: 15 dk

Önceki derslerde oran ve yüzdelerle iki sayıyı birbirine göre karşılaştırmayı öğrendik. Bu derste birçok sayıyı tek bir sayıyla özetlemeyi öğreneceğiz. Elimizde bir ayın 30 günlük satışı ya da 50 çalışanın maaşı olabilir. Bu listeyi tek bir sayıyla anlatmak istediğimizde üç araç kullanırız: aritmetik ortalama, medyan ve mod.

Günlük hayattan giriş

İş hayatında sürekli sayı listeleriyle karşılaşırız: günlük ciro, haftalık sipariş adedi, müşteri başına harcama, çalışan maaşları, çağrı merkezine gelen arama sayısı gibi. Yöneticiye bu listelerin tamamını okumak yerine “genelde durum ne?” sorusunun kısa bir cevabı gerekir. Merkezi eğilim ölçüleri bu cevabı verir. Verinin ortası neresi, tipik değer ne, bunu gösterir.

Bir iş ilanında “şirketimizde ortalama maaş yüksektir” yazabilir. Oysa birkaç yöneticinin çok yüksek maaşı, çalışanların çoğunun aldığı maaştan çok daha büyük bir ortalama çıkarabilir. Bu durumda ortalama doğru hesaplanmıştır ama gerçeği tam anlatmaz. Böyle durumlarda medyan, yani sıralı listenin tam ortasındaki değer, çok daha dürüst bir tablo çizer.

Bir giyim mağazası da sipariş verirken en çok satılan bedeni bilmek ister. “Ortalama beden” diye bir şey yoktur. Burada işimize yarayan ölçü mod, yani en sık görülen değerdir. Kısacası üç ölçünün her biri başka bir soruya cevap verir. Doğru soruya doğru ölçüyü seçmek, doğru karar vermenin ilk adımıdır.

Tanım ve kural

1. Aritmetik ortalama

Kural: Ortalama = (Tüm değerlerin toplamı) ÷ (Değer sayısı)

Neden böyle? Ortalama bir paylaştırma fikridir. Toplam, herkese eşit bölünseydi kişi başına ne düşerdi? Örneğin 3 günde 10, 20 ve 30 satış yapıldıysa toplam 60 satış vardır. Bu satışlar üç güne eşit dağıtılsaydı her güne 60 ÷ 3 = 20 düşerdi. Ortalama bu “eşit pay”dır.

Ortalama, hesaba her değeri katar. Bu onun güçlü yanıdır ama zayıf yanı da budur. Çok büyük ya da çok küçük tek bir değer (uç değer) toplamı büyük ölçüde değiştirir. Bu yüzden ortalamayı da kendine doğru çeker.

2. Medyan (ortanca)

Kural: Önce değerler küçükten büyüğe sıralanır.

• Değer sayısı tekse, medyan tam ortadaki değerdir.
• Değer sayısı çiftse, medyan ortadaki iki değerin ortalamasıdır.

Neden böyle? Medyan, veriyi iki eşit yarıya böler. Değerlerin yarısı medyandan küçük ya da ona eşit, yarısı da büyük ya da ona eşittir. Sıralama bu yüzden şarttır: sırasız bir listede “orta” diye bir yer yoktur. Değer sayısı çiftse tam ortada tek bir değer bulunmaz, ortada iki değer vardır. Bu iki değerin tam ortası da ortalamalarıdır.

Medyan uç değerlerden neredeyse hiç etkilenmez. En büyük maaş 100.000 TL de olsa 1.000.000 TL de olsa listenin en sonunda durur. Ortadaki değer değişmez.

3. Mod (tepe değer)

Kural: Veride en çok tekrar eden değer moddur.

• Her değer bir kez geçiyorsa mod yoktur.
• En çok tekrar eden iki değer eşit sayıda geçiyorsa verinin iki modu vardır.

Neden böyle? Mod “en yaygın olan ne?” sorusunun cevabıdır. Sayma işine dayandığı için sayı olmayan verilerde de kullanılabilir: beden, renk, ürün adı, şehir gibi. Ortalama ve medyan ise yalnızca sayılarla hesaplanır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (ortalama)

Bir kafenin 5 günlük tatlı satışı: 12, 15, 9, 14, 10. Günlük ortalama satış kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Değerleri topla: 12 + 15 + 9 + 14 + 10 = 60.

Adım 2: Değer sayısı 5.

Adım 3: 60 ÷ 5 = 12.

Günlük ortalama satış 12 tatlıdır.

Örnek 2 (tek sayıda veride medyan)

Beş şubenin haftalık yeni müşteri sayısı: 7, 3, 9, 5, 11. Medyan kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Küçükten büyüğe sırala: 3, 5, 7, 9, 11.

Adım 2: 5 değer var, yani tek sayı. Ortadaki değer 3. sıradadır.

Adım 3: 3. sıradaki değer 7.

Medyan 7’dir.

Örnek 3 (çift sayıda veride medyan)

Bir satış temsilcisinin 6 aylık sözleşme sayısı: 40, 25, 60, 35, 50, 30. Medyan kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Sırala: 25, 30, 35, 40, 50, 60.

Adım 2: 6 değer var, yani çift sayı. Ortada 3. ve 4. değerler bulunur: 35 ve 40.

Adım 3: Bu ikisinin ortalamasını al: (35 + 40) ÷ 2 = 75 ÷ 2 = 37,5.

Medyan 37,5’tir. Medyanın listede bulunmayan bir sayı olabileceğine dikkat edin.

Örnek 4 (mod)

Bir ayakkabı mağazasında bir günde satılan numaralar: 38, 40, 39, 40, 41, 38, 40, 42. Mod kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Her numaranın kaç kez geçtiğini say: 38 iki kez, 39 bir kez, 40 üç kez, 41 bir kez, 42 bir kez.

Adım 2: En çok tekrar eden numara 40’tır (3 kez).

Mod 40 numaradır. Mağaza stok yenilerken en çok 40 numaraya öncelik vermelidir.

Örnek 5 (uç değerin ortalamayı yanıltması)

Küçük bir şirkette 5 kişinin aylık maaşı: 30.000 TL, 32.000 TL, 34.000 TL, 36.000 TL ve 168.000 TL. Ortalamayı ve medyanı bulun. Hangisi tipik çalışanı daha iyi anlatır?

Çözüm:

Adım 1: Toplam: 30.000 + 32.000 + 34.000 + 36.000 + 168.000 = 300.000 TL.

Adım 2: Ortalama: 300.000 ÷ 5 = 60.000 TL.

Adım 3: Veri zaten sıralı. 5 değerin ortancası 3. değerdir: 34.000 TL.

Adım 4: Yorum: 5 kişiden 4’ü 60.000 TL’nin altında kazanıyor. Ortalamayı tek bir yüksek maaş yukarı çekiyor.

Ortalama 60.000 TL, medyan 34.000 TL. Tipik çalışanı medyan daha iyi anlatır.

Örnek 6 (frekans tablosundan üç ölçü)

Bir e-ticaret sitesinde 20 siparişin ürün adedi şöyle: 10 sipariş 1 ürünlük, 6 sipariş 2 ürünlük, 4 sipariş 3 ürünlük. Ortalamayı, medyanı ve modu bulun.

Çözüm:

Adım 1: Toplam ürün: 10 × 1 + 6 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 + 12 = 34.

Adım 2: Ortalama: 34 ÷ 20 = 1,7 ürün.

Adım 3: Medyan: 20 değer var. Sıralı listede 10. ve 11. değerlere bakarız. İlk 10 değer 1, 11. değer ise 2’dir.

Adım 4: (1 + 2) ÷ 2 = 1,5.

Adım 5: Mod: en çok tekrar eden değer 1’dir (10 kez).

Ortalama 1,7; medyan 1,5; mod 1’dir.

Örnek 7 (hedef ortalamaya ulaşmak)

Bir mağazanın ilk 4 aylık ortalama cirosu 50.000 TL. 5 aylık ortalamanın 52.000 TL olması için 5. ayın cirosu kaç TL olmalıdır?

Çözüm:

Adım 1: İlk 4 ayın toplamı: 4 × 50.000 = 200.000 TL.

Adım 2: 5 ay için gereken toplam: 5 × 52.000 = 260.000 TL.

Adım 3: Eksik kalan: 260.000 − 200.000 = 60.000 TL.

5. ayın cirosu 60.000 TL olmalıdır. Buradaki fikir şu: ortalama × adet = toplam.

Sık yapılan hatalar

• Sıralamadan medyan almak. Yanlış: 8, 2, 5 listesinde ortadaki değer 2 olduğu için medyan 2 demek. Doğrusu: önce sırala (2, 5, 8). Medyan 5’tir.
• Çift sayıda veride ortadaki iki değerden birini seçmek. Yanlış: 3, 6, 8, 10 için medyan 6 demek. Doğrusu: (6 + 8) ÷ 2 = 7.
• Modu tekrar sayısıyla karıştırmak. Yanlış: 40 numara 3 kez satıldığı için mod 3 demek. Doğrusu: mod, tekrar eden değerin kendisidir. Mod 40’tır.
• Ortalamaların ortalamasını almak. A şubesinde 10 çalışanın ortalama maaşı 20.000 TL, B şubesinde 30 çalışanın ortalama maaşı 40.000 TL olsun. Yanlış: (20.000 + 40.000) ÷ 2 = 30.000 TL. Doğrusu: toplamlar (10 × 20.000) + (30 × 40.000) = 200.000 + 1.200.000 = 1.400.000 TL, kişi sayısı 40. Ortalama 1.400.000 ÷ 40 = 35.000 TL.
• Sıfır değerlerini saymamak. 4 günlük satış 8, 0, 6, 10 olsun. Yanlış: 24 ÷ 3 = 8. Doğrusu: satış olmayan gün de bir gündür, 24 ÷ 4 = 6.

Alıştırma

1) 6, 8, 10, 12, 14 değerlerinin aritmetik ortalaması kaçtır?

2) 15, 4, 9, 22, 11 değerlerinin medyanı kaçtır?

3) 3, 8, 6, 10 değerlerinin medyanı kaçtır?

4) 2, 5, 3, 5, 7, 5, 3 verisinin modu kaçtır?

5) 1, 2, 3, 4 verisinin modu var mıdır?

6) Bir mağazada satılan tişört bedenleri: S, M, M, L, M, XL, L. Mağaza en çok hangi bedeni stoklamalıdır? Hangi ölçüyü kullandınız?

7) Beş çalışanın maaşı: 25.000, 27.000, 28.000, 30.000 ve 140.000 TL. Ortalamayı ve medyanı bulun. Tipik maaşı hangisi daha iyi anlatır?

8) Bir dükkânın 6 günlük ortalama cirosu 8.000 TL. 7 günlük ortalamanın 9.000 TL olması için 7. günün cirosu kaç TL olmalıdır?

9) Bir destek hattına 10 günde gelen şikâyet sayısı şöyle: 2 gün 0 şikâyet, 5 gün 1 şikâyet, 3 gün 2 şikâyet. Ortalamayı, medyanı ve modu bulun.

10) A ekibindeki 4 kişinin ortalama satışı 30 adet, B ekibindeki 6 kişinin ortalama satışı 20 adettir. 10 kişinin tamamının ortalama satışı kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 10: Toplam 50, değer sayısı 5, 50 ÷ 5 = 10.
• 2) 11: Sıralı hali 4, 9, 11, 15, 22; ortadaki (3.) değer 11.
• 3) 7: Sıralı hali 3, 6, 8, 10; ortadaki iki değerin ortalaması (6 + 8) ÷ 2 = 7.
• 4) 5: 5 değeri 3 kez geçiyor, bu en fazla tekrar.
• 5) Mod yoktur: Her değer yalnızca bir kez geçiyor.
• 6) M bedeni, mod: M 3 kez, L 2 kez, S ve XL birer kez geçiyor; beden sayı olmadığı için mod kullanılır.
• 7) Ortalama 50.000 TL, medyan 28.000 TL; medyan daha iyi anlatır: Toplam 250.000 ÷ 5 = 50.000, ama 140.000 TL’lik uç değer ortalamayı yukarı çekiyor.
• 8) 15.000 TL: Gereken toplam 7 × 9.000 = 63.000, mevcut toplam 6 × 8.000 = 48.000, fark 15.000.
• 9) Ortalama 1,1; medyan 1; mod 1: Toplam şikâyet 0 + 5 + 6 = 11, 11 ÷ 10 = 1,1; sıralı listede 5. ve 6. değerler 1 olduğu için medyan 1; en sık değer 1.
• 10) 24 adet: Toplamlar 4 × 30 + 6 × 20 = 120 + 120 = 240, 240 ÷ 10 = 24.

Dersin özeti

• Aritmetik ortalama toplamın değer sayısına bölünmesidir. Her şey eşit paylaşılsaydı düşecek payı gösterir ama uç değerlerden çok etkilenir.
• Medyan sıralı verinin tam ortasıdır. Değer sayısı çiftse ortadaki iki değerin ortalaması alınır. Maaş gibi uç değer içeren verilerde tipik durumu en iyi medyan anlatır.
• Mod en sık tekrar eden değerdir. Hiç olmayabilir ya da birden fazla olabilir. Beden, ürün gibi sayı olmayan verilerde de kullanılır.
• Ortalama ile medyan arasında büyük fark varsa veride büyük olasılıkla bir uç değer vardır. Bu, “ortalamaya güvenmeden önce bir daha bak” uyarısıdır.
• Grupları birleştirirken ortalamaların ortalaması alınmaz. Önce toplamlar bulunur, sonra toplam kişi sayısına bölünür.

Bir sonraki derste bu ölçüleri bir adım ileri taşıyacağız. Tek bir “orta” değerin yetmediği durumlara bakacak, verinin ne kadar dağınık olduğunu ve bunun tablo ile grafiklerde nasıl göründüğünü yorumlamaya başlayacağız.