Ağırlıklı Ortalama: Farklı Önemdeki Verileri Birleştirmek

Tahmini süre: 13 dk

Önceki derste bir veri grubunu tek bir sayıyla özetlemeyi, yani basit ortalamayı gördük: bütün değerleri topla, kaç tane değer varsa ona böl. Basit ortalama, her değerin eşit önemde olduğunu varsayar. İş hayatında ise değerler çoğu zaman eşit önemde değildir. Bu derste bu durumu ağırlıklı ortalama ile çözeceğiz.

Günlük hayattan giriş

Bir işletme aynı ürünü iki kez satın almış olsun. İlk seferde 100 adedi tanesi 20 TL’den, ikinci seferde 300 adedi tanesi 28 TL’den almış. Muhasebeden “Bu ürünün bize ortalama maliyeti nedir?” diye soruluyor. Aklımıza ilk gelen (20 + 28) ÷ 2 = 24 TL olur. Ama durun: 28 TL’lik alım, 20 TL’lik alımın üç katı büyüklüğünde. Depodaki ürünlerin çoğu pahalı olandan. Gerçek ortalama maliyet 24 TL olamaz, daha yüksek olmalı.

Aynı durum başka yerlerde de karşımıza çıkar. Bir çalışanın yıllık performans puanında satış hedefi, ekip çalışmasından daha önemli sayılabilir. Bir kahve dükkânı ucuz ve pahalı iki çekirdeği farklı miktarlarda karıştırıp tek fiyatla satar. Bir şirketin iki şubesinde farklı sayıda çalışan vardır ve “şirketin ortalama maaşı” sorulur. Üniversitede ya da kurs sınavlarında final notu, vizeden daha çok etkiler.

Bütün bu örneklerin ortak noktası şudur: Her değerin arkasında bir “önem”, “miktar” ya da “büyüklük” vardır. Bu öneme ağırlık diyoruz. Ağırlığı hesaba katmadan yapılan ortalama, bizi yanlış fiyata, yanlış bütçeye ya da haksız bir değerlendirmeye götürür.

Tanım ve kural

Ağırlıklı ortalama, her değeri kendi ağırlığıyla çarpıp bu çarpımları toplayarak, sonra da toplamı ağırlıkların toplamına bölerek bulunan ortalamadır.

Kural adım adım şöyledir:

1. Her değeri kendi ağırlığıyla çarp: değer × ağırlık.

2. Bu çarpımların hepsini topla.

3. Ağırlıkların hepsini topla.

4. Birinci toplamı ikinci toplama böl.

Kısaca: Ağırlıklı ortalama = (değer₁ × ağırlık₁ + değer₂ × ağırlık₂ + …) ÷ (ağırlık₁ + ağırlık₂ + …)

Neden böyle? Giriş örneğine dönelim. 100 adet × 20 TL = 2.000 TL, 300 adet × 28 TL = 8.400 TL ödendi. Toplam ödeme 10.400 TL, toplam ürün 400 adet. “Ortalama maliyet” aslında şu soruya cevaptır: Her ürüne aynı fiyatı ödeseydik, toplam ödeme değişmesin diye bu fiyat ne olmalıydı? Cevap 10.400 ÷ 400 = 26 TL’dir. Yani değer × ağırlık bize gerçek toplamı verir; ağırlıkların toplamı da gerçek adedi verir. Ağırlıklı ortalama, “toplam tutar ÷ toplam miktar” fikrinin genel hâlidir.

Ağırlıklar yüzde olarak verilmişse (örneğin %40 ve %60) ve toplamları %100 ise, bölme adımı 1’e bölmek demektir. Bu yüzden sadece çarpıp toplamak yeterli olur. Ama ağırlıklar adet, kilogram, kişi sayısı ya da kredi gibi sayılar ise mutlaka ağırlıkların toplamına bölmek gerekir.

İki önemli gözlem daha: Bütün ağırlıklar eşitse ağırlıklı ortalama basit ortalamaya eşit çıkar; yani basit ortalama, ağırlıklı ortalamanın özel bir hâlidir. Ayrıca ağırlıklı ortalama her zaman en küçük değer ile en büyük değer arasındadır ve ağırlığı büyük olan değere daha yakın durur. Bu, sonucu kontrol etmek için çok kullanışlı bir testtir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Vize ve final notu

Bir eğitim programında vize notunun ağırlığı %40, final notunun ağırlığı %60’tır. Bir katılımcı vizeden 60, finalden 80 almıştır. Dönem sonu notu kaçtır?

Çözüm:

Vizenin katkısı: 60 × 0,40 = 24

Finalin katkısı: 80 × 0,60 = 48

Ağırlıklar %40 + %60 = %100 olduğu için ayrıca bölmeye gerek yok.

Dönem sonu notu: 24 + 48 = 72

Kontrol: Basit ortalama 70 olurdu. Final daha ağır bastığı ve final notu daha yüksek olduğu için sonucun 70’ten büyük çıkması mantıklıdır.

Örnek 2: Ortalama birim maliyet

Bir firma bir malzemeden 100 adedi 20 TL’den, 300 adedi 28 TL’den almıştır. Ortalama birim maliyet nedir?

Çözüm:

İlk alımın tutarı: 100 × 20 = 2.000 TL

İkinci alımın tutarı: 300 × 28 = 8.400 TL

Toplam tutar: 2.000 + 8.400 = 10.400 TL

Toplam adet: 100 + 300 = 400

Ortalama birim maliyet: 10.400 ÷ 400 = 26 TL

Kontrol: 26 TL, 20 ile 28 arasında ve miktarı büyük olan 28’e daha yakın.

Örnek 3: Karma fiyat (kahve harmanı)

Bir kahveci kilogramı 250 TL olan çekirdekten 3 kg, kilogramı 400 TL olan çekirdekten 2 kg karıştırıyor. Kâr eklemeden, harmanın kilogram maliyeti kaç TL olur?

Çözüm:

Ucuz çekirdeğin tutarı: 3 × 250 = 750 TL

Pahalı çekirdeğin tutarı: 2 × 400 = 800 TL

Toplam tutar: 750 + 800 = 1.550 TL

Toplam miktar: 3 + 2 = 5 kg

Harmanın kilogram maliyeti: 1.550 ÷ 5 = 310 TL

Not: Basit ortalama (250 + 400) ÷ 2 = 325 TL çıkardı. Kahveci bu yanlış hesabı kullansa maliyetini olduğundan yüksek görür ve fiyatını gereksiz yere artırabilirdi.

Örnek 4: Performans puanı

Bir şirkette çalışan değerlendirmesi üç kritere göre yapılıyor: satış hedefi (%50), müşteri memnuniyeti (%30), ekip çalışması (%20). Bir çalışan sırasıyla 70, 90 ve 80 puan almıştır. Performans puanı kaçtır?

Çözüm:

Satış hedefi katkısı: 70 × 0,50 = 35

Müşteri memnuniyeti katkısı: 90 × 0,30 = 27

Ekip çalışması katkısı: 80 × 0,20 = 16

Ağırlık kontrolü: %50 + %30 + %20 = %100

Performans puanı: 35 + 27 + 16 = 78

Yorum: Basit ortalama (70 + 90 + 80) ÷ 3 = 80 olurdu. Çalışanın en zayıf olduğu kriter en ağır kriter olduğu için gerçek puan biraz daha düşüktür.

Örnek 5: İki şubenin ortalama maaşı

Bir şirketin A şubesinde 12 kişi çalışıyor ve ortalama maaş 30.000 TL. B şubesinde 8 kişi çalışıyor ve ortalama maaş 40.000 TL. Şirketin tamamında ortalama maaş nedir?

Çözüm:

A şubesinin toplam maaşı: 12 × 30.000 = 360.000 TL

B şubesinin toplam maaşı: 8 × 40.000 = 320.000 TL

Toplam maaş: 360.000 + 320.000 = 680.000 TL

Toplam çalışan: 12 + 8 = 20 kişi

Şirket ortalaması: 680.000 ÷ 20 = 34.000 TL

Dikkat: “Ortalamaların ortalaması” (30.000 + 40.000) ÷ 2 = 35.000 TL yanlıştır, çünkü iki şubede eşit sayıda kişi yoktur.

Örnek 6: Hedef ortalamaya ulaşmak (ters soru)

Bir depoda birim maliyeti 15 TL olan 200 adet ürün var. Yeni alımda ürünün tanesi 24 TL. Ortalama birim maliyetin 18 TL olması için kaç adet yeni ürün alınmalıdır?

Çözüm:

Alınacak adede x diyelim.

Eski stok tutarı: 200 × 15 = 3.000 TL

Yeni alımın tutarı: 24 × x = 24x TL

Toplam adet: 200 + x

Ortalama 18 olacaksa toplam tutar 18 × (200 + x) = 3.600 + 18x olmalı.

Denklem: 3.000 + 24x = 3.600 + 18x

Her iki taraftan 18x ve 3.000 çıkar: 6x = 600

x = 600 ÷ 6 = 100 adet

Kontrol: 3.000 + 2.400 = 5.400 TL, 5.400 ÷ 300 = 18 TL. Doğru.

Sık yapılan hatalar

• Fiyatların miktarı yok sayılarak ortalanması. Yanlış: 100 adet 20 TL, 300 adet 28 TL için (20 + 28) ÷ 2 = 24 TL. Doğrusu: (2.000 + 8.400) ÷ 400 = 26 TL.
• Ağırlık toplamına bölmeyi unutmak. Kredileri 2, 3 ve 5 olan derslerden 60, 70 ve 90 alınmış olsun. Yanlış: 120 + 210 + 450 = 780’i sonuç sanmak ya da 780 ÷ 3 = 260 yapmak. Doğrusu: 780 ÷ (2 + 3 + 5) = 780 ÷ 10 = 78.
• Ortalamaların ortalamasını almak. Yanlış: 12 kişilik şubede 30.000 TL, 8 kişilik şubede 40.000 TL ortalama için (30.000 + 40.000) ÷ 2 = 35.000 TL. Doğrusu: 680.000 ÷ 20 = 34.000 TL.
• Ağırlığı yanlış değerle eşleştirmek. Vize %40 ağırlıklı 60, final %60 ağırlıklı 80 iken yanlış: 60 × 0,60 + 80 × 0,40 = 36 + 32 = 68. Doğrusu: 60 × 0,40 + 80 × 0,60 = 24 + 48 = 72.
• Yüzde ağırlıkların toplamını kontrol etmemek. Ağırlıklar %50 ve %30 verilip %20’lik üçüncü kriter unutulursa sonuç eksik çıkar. Doğrusu: Hesaptan önce ağırlıkların toplamının %100 olduğunu kontrol etmek.

Alıştırma

1. Vize %40, final %60 ağırlıklıdır. Vize notu 50, final notu 75 olan kişinin dönem sonu notu kaçtır?

2. Bir üründen 50 adedi 10 TL’den, 150 adedi 14 TL’den alınmıştır. Ortalama birim maliyet kaç TL’dir?

3. Kilogramı 150 TL olan çaydan 4 kg, kilogramı 300 TL olan çaydan 1 kg karıştırılıyor. Harmanın kilogram maliyeti kaç TL’dir?

4. Performans değerlendirmesinde satış hedefi %60, müşteri memnuniyeti %40 ağırlıklıdır. Puanları 80 ve 95 olan çalışanın performans puanı kaçtır?

5. Kredileri 3, 2 ve 5 olan üç dersten sırasıyla 70, 85 ve 60 alınmıştır. Kredi ağırlıklı ortalama kaçtır?

6. Bir satış ekibinde 10 kişi ayda ortalama 40 adet, başka bir ekipte 30 kişi ayda ortalama 60 adet satış yapıyor. İki ekibin birlikte kişi başı ortalama satışı kaç adettir?

7. Bir şirket aracına 30 litre yakıt litresi 40 TL’den, 20 litre yakıt litresi 45 TL’den alınmıştır. Ortalama litre fiyatı kaç TL’dir?

8. Depoda birim maliyeti 20 TL olan 300 adet ürün var. Tanesi 26 TL olan üründen kaç adet alınırsa ortalama birim maliyet 22 TL olur?

9. Vize %40, final %60 ağırlıklıdır. Vizeden 45 alan bir kişi dönem sonu notunun 60 olması için finalden kaç almalıdır?

10. Bir mağaza A ürününden 100 adet (tanesinde 5 TL kâr), B ürününden 60 adet (tanesinde 10 TL kâr), C ürününden 40 adet (tanesinde 20 TL kâr) satmıştır. Satılan ürün başına ortalama kâr kaç TL’dir?

Cevap Anahtarı

1. 65: 50 × 0,40 = 20 ve 75 × 0,60 = 45 toplanır.

2. 13 TL: (500 + 2.100) = 2.600 TL, 200 adede bölünür.

3. 180 TL: (600 + 300) = 900 TL, 5 kg’a bölünür.

4. 86: 80 × 0,60 = 48 ve 95 × 0,40 = 38 toplanır.

5. 68: (210 + 170 + 300) = 680, kredi toplamı 10’a bölünür.

6. 55 adet: (400 + 1.800) = 2.200 adet, 40 kişiye bölünür.

7. 42 TL: (1.200 + 900) = 2.100 TL, 50 litreye bölünür.

8. 150 adet: 6.000 + 26x = 22 × (300 + x) denkleminden 4x = 600 bulunur.

9. 70: 45 × 0,40 = 18 olduğundan 0,60 × final = 42 olmalı, 42 ÷ 0,60 = 70.

10. 9,5 TL: (500 + 600 + 800) = 1.900 TL, 200 ürüne bölünür.

Dersin özeti

• Değerlerin önemi, miktarı ya da büyüklüğü farklıysa basit ortalama yanıltır; ağırlıklı ortalama kullanılır.
• Ağırlıklı ortalama = (değer × ağırlık) toplamı ÷ ağırlıkların toplamı; bu aslında “toplam tutar ÷ toplam miktar” demektir.
• Ağırlıklar toplamı %100 olan yüzdelerse çarpıp toplamak yeterlidir; adet, kg, kişi ya da kredi ise ağırlık toplamına bölmek şarttır.
• Farklı büyüklükteki grupların ortalamaları doğrudan ortalanmaz; önce her grubun toplamı bulunur.
• Sonuç her zaman en küçük ve en büyük değer arasında olmalı ve ağırlığı büyük olan değere yakın durmalıdır; bu kontrolü her hesapta yapın.

Bu derste sayıları doğru birleştirmeyi öğrendik. Kursun ilerleyen derslerinde bu tür verileri tablo ve grafiklerden okuyup yorumlamaya geçeceğiz; orada da “hangi değerin arkasında ne kadar miktar var?” sorusu en önemli yardımcımız olacak.