Oran Nedir? İki Çokluğu Karşılaştırmak

Hoş geldin! Bu kursta oran ve orantıyı, denklemleri ve eşitsizlikleri adım adım öğreneceğiz. Kuralları ezberlemek yerine neden öyle olduklarını anlamaya çalışacağız. İlk dersimizin konusu tüm kursun temeli: oran. Kâğıt ve kalemini yanına al; örnekleri seninle birlikte çözeceğiz.

Günlük hayattan giriş

Markete gittiğinde rafta iki paket deterjan gördüğünü düşün. Biri 2 kg ve 180 TL, diğeri 3 kg ve 255 TL. Hangisi daha ucuz? Sadece fiyatlara bakarsan 180 TL daha az görünür ama paket de küçüktür. Doğru karar vermek için fiyatı kilograma bölüp 1 kg'ın fiyatını bulman gerekir. İşte burada yaptığın şey iki çokluğu bölme yoluyla karşılaştırmaktır: bu bir orandır.

Oranlar hayatımızın her yerinde karşımıza çıkar. Arabanın hızı saatte kaç kilometre gittiğini gösterir. Bir yemek tarifinde 2 ölçü pirince 3 ölçü su konur. Bir sınıftaki kız öğrenci sayısını erkek öğrenci sayısıyla karşılaştırırız. Bir haritada 1 cm, gerçekte kaç kilometreye karşılık gelir diye bakarız. Bunların hepsinde bir çokluğun diğerinin kaç katı ya da kaçta kaçı olduğunu merak ederiz.

Peki neden çıkarma değil de bölme? Çünkü fark bize her zaman doğru fikir vermez. 2 elma ile 4 elma arasındaki fark 2'dir; 100 elma ile 102 elma arasındaki fark da 2'dir. Ama ilkinde bir çokluk diğerinin iki katıdır, ikincisinde ise neredeyse birbirlerine eşittirler. Bölme, kaç katı olduğunu gösterdiği için karşılaştırmayı daha anlamlı yapar.

Tanım ve kural

Oran: Aynı ya da farklı birimli iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasıdır. a ve b iki çokluk olmak üzere (b ≠ 0) a'nın b'ye oranı a/b ya da a : b şeklinde yazılır ve “a'nın b'ye oranı” diye okunur.

Neden b ≠ 0? Oran bir bölmedir ve sıfıra bölme tanımsızdır. Bu yüzden ikinci terim hiçbir zaman 0 olamaz.

Sıra neden önemli? “Kızların erkeklere oranı” dendiğinde kız sayısı üste (paya), erkek sayısı alta (paydaya) yazılır. 12/18 ile 18/12 aynı değildir: birincisi 2/3, ikincisi 3/2'dir. Sırayı değiştirirsen anlam da değişir.

Aynı cins çokluklarda birimler neden aynı olmalı? 2 metre ile 50 santimetreyi karşılaştırırken 2/50 yazarsan, 2 metrenin 50 santimetreden çok küçük olduğunu sanırsın; oysa 2 metre 200 santimetredir. Aynı cins çoklukları (uzunluk-uzunluk, zaman-zaman, kütle-kütle) karşılaştırırken önce aynı birime çevirmeliyiz. Birimler aynı olunca sadeleşir ve oran birimsiz bir sayı olur.

Farklı cins çokluklarda ne olur? Yol ile zaman, fiyat ile kütle gibi farklı cins çoklukların oranında birimler sadeleşmez; oran birimle birlikte yazılır: km/sa, TL/kg gibi. İkinci terimi 1 olan bu tür oranlara birim oran denir. Birim fiyat ve hız, birim oranın en bilinen örnekleridir.

Sadeleştirme neden oranı değiştirmez? Bir oranın iki terimini aynı sayıya bölmek ya da aynı sayıyla çarpmak, bir kesri genişletmek veya sadeleştirmek gibidir. Karşılaştırmanın “kaç katı” bilgisi değişmez. Örneğin 12/18 oranında iki terimi 6'ya bölersek 2/3 elde ederiz; her 2 kıza karşılık 3 erkek olduğu bilgisi korunur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Bir sınıfta 12 kız ve 18 erkek öğrenci vardır. Kız öğrencilerin erkek öğrencilere oranı nedir?

Çözüm:

Adım 1: “Kızların erkeklere oranı” dendiği için kız sayısı üste yazılır: 12/18.

Adım 2: 12 ve 18'in ikisi de 6'ya bölünür.

Adım 3: 12 ÷ 6 = 2 ve 18 ÷ 6 = 3.

Sonuç: 2/3 (her 2 kıza karşılık 3 erkek öğrenci vardır).

Örnek 2

2 metrelik bir kurdelenin 50 santimetrelik bir kurdeleye oranı nedir?

Çözüm:

Adım 1: İki çokluk da uzunluktur, birimleri farklıdır. Önce aynı birime çeviririz.

Adım 2: 1 m = 100 cm olduğundan 2 m = 200 cm.

Adım 3: Oran: 200/50.

Adım 4: İki terimi 50'ye böleriz: 200 ÷ 50 = 4 ve 50 ÷ 50 = 1.

Sonuç: 4/1 (uzun kurdele kısa olanın 4 katıdır).

Örnek 3

45 dakikanın 2 saate oranı nedir?

Çözüm:

Adım 1: İkisi de zamandır; saati dakikaya çeviririz.

Adım 2: 1 saat = 60 dakika olduğundan 2 saat = 120 dakika.

Adım 3: Oran: 45/120.

Adım 4: İki terimi 15'e böleriz: 45 ÷ 15 = 3 ve 120 ÷ 15 = 8.

Sonuç: 3/8

Örnek 4

Bir otomobil 240 km yolu 3 saatte gitmiştir. Otomobilin saatteki hızı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Hız, alınan yolun geçen süreye oranıdır: yol / zaman.

Adım 2: Yol ile zaman farklı cins çokluklardır, bu yüzden birim sadeleşmez.

Adım 3: 240 ÷ 3 = 80.

Sonuç: 80 km/sa (otomobil her saatte 80 km yol alır).

Örnek 5

Bir manavda A paketi 3 kg elma 90 TL, B paketi 5 kg elma 140 TL'dir. Hangi paketteki elmanın kilogram fiyatı daha ucuzdur?

Çözüm:

Adım 1: Her paket için birim fiyatı (1 kg'ın fiyatını) buluruz: fiyat / kütle.

Adım 2: A paketi: 90 ÷ 3 = 30 TL/kg.

Adım 3: B paketi: 140 ÷ 5 = 28 TL/kg.

Adım 4: 28 < 30 olduğundan B paketinde 1 kg elma daha ucuzdur.

Sonuç: B paketi daha ucuzdur (28 TL/kg).

Örnek 6

Bir kütüphanedeki hikâye kitaplarının roman sayısına oranı 3/5'tir. Hikâye ve romanların toplamı 32 olduğuna göre kaç hikâye kitabı vardır?

Çözüm:

Adım 1: 3/5 oranı, her 3 hikâye kitabına karşılık 5 roman olduğunu söyler. Bunları eşit “parçalar” gibi düşünelim: hikâye 3 parça, roman 5 parça.

Adım 2: Toplam parça sayısı: 3 + 5 = 8.

Adım 3: 8 parça 32 kitap ise 1 parça: 32 ÷ 8 = 4 kitap.

Adım 4: Hikâye kitabı: 3 × 4 = 12. Roman: 5 × 4 = 20.

Adım 5: Kontrol: 12 + 20 = 32 ve 12/20 sadeleşince (4'e bölünce) 3/5 olur. Doğru.

Sonuç: 12 hikâye kitabı vardır.

Sık yapılan hatalar

• Birimleri çevirmemek. Yanlış: 3 m'nin 60 cm'ye oranı 3/60 = 1/20. Doğrusu: 3 m = 300 cm, oran 300/60 = 5/1.
• Sırayı karıştırmak. Yanlış: “Erkeklerin kızlara oranı” sorusunda kız sayısını üste yazmak. Doğrusu: İlk söylenen çokluk (erkek) her zaman üste yazılır.
• Oranı gerçek sayı sanmak. Yanlış: Kızların erkeklere oranı 3/5 ise sınıfta 3 kız ve 5 erkek vardır. Doğrusu: 3/5 yalnızca karşılaştırmayı gösterir; 6 kız 10 erkek, 12 kız 20 erkek de olabilir. Gerçek sayılar için ek bilgi (örneğin toplam) gerekir.
• Sadeleştirirken yalnızca bir terimi bölmek. Yanlış: 18/24 = 9/24. Doğrusu: İki terim de aynı sayıya bölünür: 18/24 = 3/4.
• Farklı cins çoklukların oranında birimi unutmak. Yanlış: 150 km yolu 2 saatte giden aracın hızı 75. Doğrusu: 75 km/sa; birim yazılmazsa 75'in neyi anlattığı belli olmaz.

Alıştırma

1) Bir kalem kutusunda 15 kalem ve 25 silgi vardır. Kalemlerin silgilere oranını en sade biçimde yazınız.

2) 36/48 oranını en sade biçimde yazınız.

3) 3 metrenin 60 santimetreye oranı nedir?

4) 1 saat 30 dakikanın 45 dakikaya oranı nedir?

5) 4 litre zeytinyağı 600 TL'dir. Zeytinyağının litre fiyatı kaç TL'dir?

6) Bir otobüs 360 km yolu 4 saatte gitmiştir. Otobüsün saatteki hızı nedir?

7) 2 kg peynir 840 TL, 3 kg peynir 1170 TL'dir. Hangisinde peynirin kilogram fiyatı daha ucuzdur?

8) İki sayının oranı 2/7 ve toplamları 45'tir. Bu sayılar nedir?

9) 30 kişilik bir sınıfta 14 kız öğrenci vardır. Erkek öğrencilerin kız öğrencilere oranı nedir?

10) a/b = 4/9 ve a = 20 ise b kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 3/5 — 15/25 oranında iki terimi 5'e böl.
• 2) 3/4 — İki terimi de 12'ye böl: 36 ÷ 12 = 3, 48 ÷ 12 = 4.
• 3) 5/1 — 3 m = 300 cm olduğundan 300/60 oranını 60'a bölerek sadeleştir.
• 4) 2/1 — 1 saat 30 dakika = 90 dakika, 90/45 = 2/1.
• 5) 150 TL — Birim fiyat: 600 ÷ 4 = 150 TL/L.
• 6) 90 km/sa — Hız = yol / zaman = 360 ÷ 4 = 90.
• 7) 3 kg'lık peynir daha ucuzdur — 840 ÷ 2 = 420 TL/kg, 1170 ÷ 3 = 390 TL/kg ve 390 < 420.
• 8) 10 ve 35 — 2 + 7 = 9 parça, 45 ÷ 9 = 5, sayılar 2 × 5 = 10 ve 7 × 5 = 35.
• 9) 8/7 — Erkek sayısı 30 − 14 = 16, oran 16/14; iki terimi 2'ye bölünce 8/7.
• 10) 45 — 4 parça 20 ise 1 parça 5'tir, b = 9 × 5 = 45.

LGS için ipuçları

• Soru tipi: LGS'de oran soruları genellikle birim fiyat karşılaştırması, tarif veya karışım gibi günlük hayat durumları içinde gelir. Soruda iki çokluk ve bir “en ucuz / en hızlı / kaç tane” sorusu görürsen oran düşün.
• Süre: Sayısal oturumda matematik soruları için soru başına kabaca 2 dakika ayırabilirsin. Birim fiyat sorularında her seçeneği bölerek karşılaştırmak genellikle 1 dakikadan kısa sürer.
• Şık eleme: Oran ve toplam verilen sorularda (Örnek 6 gibi) şıklardaki sayıları topla ve oranlarını kontrol et; toplamı tutmayan ya da oranı tutmayan şıkları hemen ele. Ayrıca bulduğun sayılar oranın katı olmalıdır: oran 3/5 ise cevaplar 3'ün ve 5'in aynı katı olmalı.
• Birim tuzağı: Şıklarda sık sık birimi çevirmeden bulunan yanlış cevap da bulunur. Soruda m ile cm, saat ile dakika birlikteyse önce çeviri yap.

Dersin özeti

• Oran, iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasıdır; a/b ya da a : b yazılır ve b ≠ 0 olmalıdır.
• İlk söylenen çokluk üste yazılır; sıra değişirse oran da değişir.
• Aynı cins çoklukları karşılaştırırken önce aynı birime çevir; bu durumda oran birimsizdir.
• Farklı cins çoklukların oranı birimle yazılır: hız (km/sa) ve birim fiyat (TL/kg) bunun örnekleridir.
• Oranın iki terimi aynı sayıya bölünerek sadeleştirilebilir; karşılaştırma bilgisi değişmez. Oran ve toplam verilirse “parça” yöntemiyle gerçek sayılar bulunur.