Denklem Kurarak Problem Çözme

Tahmini süre: 16 dk

Önceki dersten köprü: Geçen derste birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri adım adım çözmeyi öğrendik: eşitliğin iki tarafına aynı işlemi yaparak x'i yalnız bıraktık. Bu derste soruyu tersinden soruyoruz: Denklem bize hazır verilmezse ne yaparız? Cevap: Denklemi biz kurarız.

Günlük hayattan giriş

Markete gittiğini düşün. Kasiyer “Bir defter ile bir kalem 75 TL tuttu, defter kalemden 15 TL daha pahalı.” diyor. Kalemin fiyatını merak ediyorsun ama kimse sana “x + x + 15 = 75” diye bir denklem vermiyor. Elinde yalnızca cümleler var. Matematikte bu tür sorulara sözel problem denir. İşimiz cümleleri matematik diline çevirmektir.

Bu çeviri günlük hayatta sürekli karşımıza çıkar. Bir aile, babanın yaşının kaç yıl sonra çocuğun yaşının iki katı olacağını merak edebilir. İki kardeş harçlıklarını eşitlemek için birinin diğerine ne kadar para vermesi gerektiğini düşünebilir. Bir öğretmen, sınıftaki kız ve erkek öğrencilerin oranını bilip her gruptan kaç kişi olduğunu hesaplamak isteyebilir. Bunların hepsinde bilmediğimiz bir sayı vardır ve bu sayıya bir harf veririz.

LGS'de matematik sorularının önemli bir kısmı uzun bir metin ya da tablo ile başlar. Bu soruların çoğu aslında basit bir denkleme dayanır. Zorluk genellikle hesapta değil, metni doğru denkleme çevirmektedir. Bu derste tam olarak bu beceriyi kazanacağız.

Tanım ve kural

Denklem kurarak problem çözmek, sözel olarak verilen bir durumu içinde bilinmeyen bulunan bir eşitliğe dönüştürüp bu eşitliği çözmek demektir. Bunu dört adımda yaparız:

1. Bilinmeyeni seç: Sorunun en çok bahsettiği ya da diğerlerinin kendisine göre anlatıldığı büyüklüğe x de. Örneğin “Ali'nin parası Veli'nin parasının 3 katı” diyorsa Veli'nin parasına x demek işimizi kolaylaştırır; çünkü o zaman Ali'nin parası 3x olur ve kesirle uğraşmayız.

2. Diğer büyüklükleri x ile yaz: Metindeki her bilgiyi x cinsinden ifade et.

3. Eşitliği bul: Metinde “eşittir, olur, tutar, eşitlenir, toplamı … dır” gibi bir ifade mutlaka vardır. Denklem buradan kurulur.

4. Çöz ve yorumla: x'i bul, sonra sorunun gerçekten neyi sorduğuna bak. Bulduğun sonucu metne geri koyarak kontrol et.

Neden işe yarar? Bir denklem, iki farklı yoldan hesaplanan aynı miktarın birbirine eşit olduğunu söyler. Örneğin toplam tekerlek sayısını hem “otomobil tekerleri + motosiklet tekerleri” olarak hem de “80” olarak biliyorsak bu iki ifade aynı şeyi anlattığı için eşittir. Denklem kurmak, aynı miktarın iki farklı yazılışını bulmaktır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (Sayı problemi)

Bir sayının 3 katının 7 fazlası 34'tür. Bu sayı kaçtır?

Çözüm:

Sayıya x diyelim.

Sayının 3 katı: 3x. Bunun 7 fazlası: 3x + 7.

Denklem: 3x + 7 = 34

İki taraftan 7 çıkaralım: 3x = 27

İki tarafı 3'e bölelim: x = 9

Kontrol: 3 × 9 + 7 = 27 + 7 = 34 ✓

Sayı 9'dur.

Örnek 2 (Ardışık sayılar)

Ardışık üç doğal sayının toplamı 72'dir. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Çözüm:

En küçük sayıya x diyelim. Sayılar: x, x + 1, x + 2.

Denklem: x + (x + 1) + (x + 2) = 72

Benzer terimleri toplayalım: 3x + 3 = 72

İki taraftan 3 çıkaralım: 3x = 69

İki tarafı 3'e bölelim: x = 23

Sayılar 23, 24 ve 25'tir. Kontrol: 23 + 24 + 25 = 72 ✓

Dikkat: Soru x'i değil, en büyük sayıyı soruyor.

En büyük sayı 25'tir.

Örnek 3 (Yaş problemi)

Bir anne 38, kızı 10 yaşındadır. Kaç yıl sonra annenin yaşı kızının yaşının 2 katı olur?

Çözüm:

Geçecek yıl sayısına x diyelim.

x yıl sonra annenin yaşı: 38 + x. Kızının yaşı: 10 + x. (Zaman herkes için aynı geçer, bu yüzden x iki yaşa da eklenir.)

Denklem: 38 + x = 2(10 + x)

Parantezi açalım: 38 + x = 20 + 2x

İki taraftan x çıkaralım: 38 = 20 + x

İki taraftan 20 çıkaralım: x = 18

Kontrol: 18 yıl sonra anne 56, kızı 28 yaşında olur. 56 = 2 × 28 ✓

18 yıl sonra.

Örnek 4 (Para problemi)

Ali'nin parası Veli'nin parasının 3 katıdır. Ali, Veli'ye 40 TL verirse paraları eşit olur. Ali'nin başlangıçta kaç TL'si vardır?

Çözüm:

Veli'nin parasına x diyelim. Ali'nin parası: 3x.

Para veren azalır, alan artar. Ali'nin yeni parası: 3x − 40. Veli'nin yeni parası: x + 40.

Denklem: 3x − 40 = x + 40

İki taraftan x çıkaralım: 2x − 40 = 40

İki tarafa 40 ekleyelim: 2x = 80

İki tarafı 2'ye bölelim: x = 40

Ali'nin parası: 3 × 40 = 120 TL. Kontrol: 120 − 40 = 80 ve 40 + 40 = 80 ✓

Ali'nin başlangıçta 120 TL'si vardır.

Örnek 5 (Oran-orantı ile denklem)

Bir sınıfta kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranı 3/5'tir. Sınıf mevcudu 32 olduğuna göre sınıfta kaç kız öğrenci vardır?

Çözüm:

Oran 3/5 ise kız sayısı 3 parça, erkek sayısı 5 parça kadardır. Bir parçaya k diyelim.

Kız sayısı: 3k. Erkek sayısı: 5k.

Denklem: 3k + 5k = 32

Toplayalım: 8k = 32

İki tarafı 8'e bölelim: k = 4

Kız sayısı: 3 × 4 = 12. Erkek sayısı: 5 × 4 = 20. Kontrol: 12 + 20 = 32 ve 12/20 = 3/5 ✓

Sınıfta 12 kız öğrenci vardır.

Örnek 6 (LGS tipi, şıklı)

Bir otoparkta yalnızca otomobil ve motosiklet vardır. Toplam araç sayısı 25, toplam tekerlek sayısı 80'dir. Otoparkta kaç otomobil vardır?

A) 10   B) 12   C) 15   D) 18

Çözüm (denklemle):

Otomobil sayısına x diyelim. Motosiklet sayısı: 25 − x.

Otomobillerin tekerleği: 4x. Motosikletlerin tekerleği: 2(25 − x).

Denklem: 4x + 2(25 − x) = 80

Parantezi açalım: 4x + 50 − 2x = 80

Benzer terimleri toplayalım: 2x + 50 = 80

İki taraftan 50 çıkaralım: 2x = 30

İki tarafı 2'ye bölelim: x = 15

Kontrol: 15 otomobil → 60 teker, 10 motosiklet → 20 teker, toplam 80 ✓

Cevap: C) 15

Çözüm (şık deneme ile): D şıkkını dene: 18 otomobil 72 teker, 7 motosiklet 14 teker, toplam 86; fazla. Tekerlek fazla çıktıysa otomobil sayısı azalmalı. C şıkkını dene: 60 + 20 = 80 ✓. Böylece denklem kurmadan da iki denemede sonuca ulaşılır.

LGS taktikleri

• Soru tipi: LGS'de denklem problemleri genellikle uzun bir hikâye, tablo ya da grafik içinde gizlenir. Önce metnin sonundaki soru cümlesini oku; neyin sorulduğunu bilerek metne dön.
• Süre: LGS'de matematik soruları fen sorularıyla aynı oturumda çözülür. Bir soruya takılıp kalmamak için soru başına ortalama 2 dakika civarında bir hız hedefle; uzayan soruyu işaretleyip sonra dön.
• Şık eleme: Şıkları metne yerleştirmek, denklem kurmaktan hızlı olabilir. Ortadaki bir şıktan başla; sonuç fazla çıkarsa küçük, az çıkarsa büyük şıklara yönel.
• Mantık kontrolü: Kişi, araç, hayvan sayısı tam sayı ve pozitif olmalıdır. Kesirli ya da negatif çıkan şıkları hemen ele.
• Tuzak şık: Soru “en büyük sayı” ya da “Ali'nin parası” derken x'in değeri çoğu zaman şıklarda tuzak olarak bulunur. Bulduğun x'in sorulan şey olup olmadığını kontrol et.

Sık yapılan hatalar

• Kelime sırasını karıştırmak: “Bir sayının 5 eksiğinin 2 katı” ifadesini 2x − 5 yazmak yanlıştır. Önce 5 eksiği alınır, sonra 2 katı: 2(x − 5).
• Yaşı yalnızca bir kişiye eklemek: “x yıl sonra annenin yaşı kızının 2 katı” için 38 + x = 2 × 10 yazmak yanlıştır. Zaman herkes için geçer: 38 + x = 2(10 + x).
• Para alışverişini tek tarafa yazmak: Ali, Veli'ye 40 TL verdiğinde yalnızca 3x − 40 = x yazmak yanlıştır. Veren azalır, alan artar: 3x − 40 = x + 40.
• x'i cevap sanmak: Ardışık sayılarda x = 23 bulup “cevap 23” demek yanlıştır; soru en büyüğü soruyorsa cevap x + 2 = 25'tir.
• Oranı doğrudan sayı sanmak: Kız/erkek oranı 3/5 ise “3 kız, 5 erkek var” demek yanlıştır. Oran parçaları gösterir: 3k ve 5k yazılıp toplamdan k bulunur.

Alıştırma

1) Bir sayının 5 katının 8 eksiği 42'dir. Bu sayı kaçtır?

2) Bir sayının yarısının 6 fazlası 15'tir. Bu sayı kaçtır?

3) Ardışık iki çift sayının toplamı 46'dır. Küçük olan sayı kaçtır?

4) Bir baba 40, oğlu 12 yaşındadır. Kaç yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 2 katı olur?

5) Ela ile kardeşinin yaşları toplamı 26'dır. Ela kardeşinden 4 yaş büyüktür. Ela kaç yaşındadır?

6) Bir defter ile bir kalem toplam 75 TL'dir. Defter kalemden 15 TL pahalıdır. Defter kaç TL'dir?

7) Bir torbadaki mavi bilyelerin kırmızı bilyelere oranı 2/7'dir. Torbada toplam 45 bilye olduğuna göre kaç kırmızı bilye vardır?

8) Bir çiftlikte yalnızca tavuk ve tavşan vardır. Toplam 20 hayvan ve 56 ayak olduğuna göre kaç tavşan vardır?

9) Selin'in parası Deniz'in parasının 2 katıdır. Selin, Deniz'e 30 TL verirse paraları eşit olur. Selin'in başlangıçta kaç TL'si vardır?

10) Bir sayının 4 katı, aynı sayının 18 fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 10 — 5x − 8 = 42 denkleminden 5x = 50, x = 10 bulunur.
• 2) 18 — x/2 + 6 = 15 denkleminden x/2 = 9, x = 18 bulunur.
• 3) 22 — x + (x + 2) = 46 denkleminden 2x = 44, x = 22 bulunur; sayılar 22 ve 24'tür.
• 4) 16 — 40 + x = 2(12 + x) denklemi 40 + x = 24 + 2x olur ve x = 16 bulunur (56 = 2 × 28).
• 5) 15 — Ela x ise kardeşi x − 4 olur; x + x − 4 = 26 denkleminden 2x = 30, x = 15 bulunur.
• 6) 45 — Kalem x ise x + (x + 15) = 75 denkleminden x = 30 bulunur, defter 30 + 15 = 45 TL'dir.
• 7) 35 — Mavi 2k, kırmızı 7k alınırsa 9k = 45, k = 5 ve kırmızı 7 × 5 = 35 bulunur.
• 8) 8 — Tavşan x ise 4x + 2(20 − x) = 56 denklemi 2x + 40 = 56 olur ve x = 8 bulunur.
• 9) 120 — Deniz x, Selin 2x ise 2x − 30 = x + 30 denkleminden x = 60, Selin 120 TL bulunur.
• 10) 6 — 4x = x + 18 denkleminden 3x = 18, x = 6 bulunur (24 = 24).

Dersin özeti

• Sözel problemi çözmek için önce bilinmeyeni seç; diğer büyüklüklerin kendisine göre anlatıldığı büyüklüğe x demek hesabı kolaylaştırır.
• Her bilgiyi x cinsinden yaz, metindeki “eşittir, olur, tutar, eşitlenir” gibi ifadelerden denklemi kur.
• Yaş problemlerinde geçen zamanı herkese ekle; para problemlerinde veren azalır, alan artar; oran problemlerinde 3k ve 5k gibi parçalar kullan.
• x'i bulduktan sonra sorunun gerçekten neyi sorduğunu kontrol et ve sonucu metne yerleştirerek doğrula.
• LGS'de şıkları metne yerleştirmek ve anlamsız (kesirli, negatif) sonuçları elemek zaman kazandırır.

Sonraki derse köprü: Bu derste hep “eşittir” içeren durumlarla çalıştık. Peki metin “en az 80 TL”, “en fazla 25 kişi” ya da “60'tan büyük” derse ne olur? Bir sonraki derste bu tür ifadeleri eşitsizlik olarak yazmayı ve çözmeyi öğreneceğiz. Bugün öğrendiğin denklem kurma adımlarının neredeyse tamamı orada da işine yarayacak.