Cebirsel İfadeler ve Benzer Terimler

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde oran ve orantıyı çalıştık. Bir tarifte un miktarı iki katına çıkınca yumurta sayısı da iki katına çıkıyordu. Orada hep belli sayılarla hesap yaptık. Peki sayıyı henüz bilmiyorsak ne yaparız? Örneğin kırtasiyede bir kalemin fiyatını bilmiyorsunuz ama defterin kalemden 5 lira pahalı olduğunu biliyorsunuz. Bu durumu sayı bilmeden de yazabilmemiz gerekir. İşte burada harfler devreye girer.

Kalemin fiyatına x dersek defterin fiyatı x + 5 olur. 3 kalem ve 2 defter alırsak ödeyeceğimiz para 3x + 2(x + 5) olur. Bu yazılara cebirsel ifade denir. Kalemin fiyatı öğrenildiğinde, örneğin x = 10 olduğunda, x yerine 10 yazar ve toplamı hemen buluruz. Telefon faturasında “sabit ücret + dakika başına ücret” hesabı da aynı mantıkla çalışır. Taksimetredeki “açılış ücreti + kilometre başına ücret” hesabı da böyledir.

Bu derste cebirsel ifadenin parçalarını tanıyacağız. Sözel cümleleri harfli ifadelere çevireceğiz. Benzer terimleri toplayıp çıkararak ifadeleri sadeleştireceğiz. Harf yerine sayı koyup ifadenin değerini bulacağız. Bir sonraki derste bu becerileri kullanarak denklem kurup çözeceğiz. Çünkü denklem, iki cebirsel ifadenin birbirine eşit olduğunu söyleyen bir cümledir. Bu yüzden bugünkü konu, denklemlerin temelidir.

Tanım ve kural

Değişken: Değeri bilinmeyen ya da değişebilen sayıyı gösteren harftir (x, y, a, m gibi).

Terim: Bir cebirsel ifadede + ya da − işaretleriyle ayrılan her bir parçadır. 5x − 3 ifadesinde iki terim vardır: 5x ve −3.

Katsayı: Değişkenin önündeki çarpandır. 5x teriminde katsayı 5’tir. Tek başına yazılan x teriminin katsayısı 1’dir, çünkü x = 1·x demektir. −x teriminin katsayısı −1’dir.

Sabit terim: İçinde değişken bulunmayan terimdir. 5x − 3 ifadesinde sabit terim −3’tür. Terimin işareti de terime aittir, bu yüzden sabit terimi 3 değil −3 olarak söyleriz.

Benzer terimler: Değişkenleri ve bu değişkenlerin üsleri aynı olan terimlerdir. 4x ile −7x benzerdir. 2x² ile 5x² benzerdir. Ama 3x ile 3x² benzer değildir. 2ab ile 2a de benzer değildir.

Neden yalnızca benzer terimler toplanır? x’i bir elma gibi düşünün. 3 elma + 2 elma = 5 elma eder. Ama 3 elma + 2 armut “5 elmarmut” etmez, olduğu gibi kalır. Matematiksel nedeni ise dağılma özelliğidir: 3x + 2x = (3 + 2)·x = 5x. Bu özelliği kullanabilmek için iki terimde de aynı çarpanın (x) bulunması gerekir. 3x + 2 toplamında ortak bir x çarpanı yoktur, bu yüzden toplam sadeleşmez. Benzer terimleri toplarken katsayılar toplanır, değişken kısmı aynen kalır. x² bir kare alanı, x ise bir uzunluk gibi düşünülebilir. Alan ile uzunluk toplanıp tek bir şey yapılamaz, bu yüzden x² ile x de birleşmez.

Parantezin önünde eksi varsa parantez açılırken içerideki her terimin işareti değişir. Çünkü −(a − b) aslında (−1)·(a − b) demektir ve −1 her terimle ayrı ayrı çarpılır.

Sözel ifadeleri çevirirken şu kalıplar çok işe yarar (bilinmeyen sayıya x diyelim):

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (Kavramları bulma)

7a − 9 ifadesinde değişkeni, katsayıyı, sabit terimi ve terim sayısını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: İfadedeki harf a olduğu için değişken a’dır.

Adım 2: a’nın önündeki çarpan 7’dir, katsayı 7’dir.

Adım 3: Harf içermeyen terim −9’dur. İşaretiyle birlikte alırız.

Adım 4: − işaretiyle ayrılan iki parça vardır: 7a ve −9.

Değişken a, katsayı 7, sabit terim −9, terim sayısı 2.

Örnek 2 (Sözel ifadeyi çevirme)

“Bir sayının 2 fazlasının 5 katı” ile “bir sayının 5 katının 2 fazlası” ifadelerini yazınız ve aynı olup olmadıklarını inceleyiniz.

Çözüm:

Adım 1: Sayıya x diyelim.

Adım 2: İlk ifadede önce 2 fazlası alınır: x + 2. Sonra bunun tamamı 5 ile çarpılır: 5(x + 2).

Adım 3: İkinci ifadede önce 5 katı alınır: 5x. Sonra 2 eklenir: 5x + 2.

Adım 4: Kontrol için x = 1 koyalım. İlki 5·3 = 15, ikincisi 5 + 2 = 7. Sonuçlar farklı çıktı.

İlk ifade 5(x + 2), ikinci ifade 5x + 2’dir. Bu iki ifade aynı değildir.

Örnek 3 (Benzer terimleri toplama)

4x + 7 − x + 2x − 3 ifadesini sadeleştiriniz.

Çözüm:

Adım 1: x’li terimleri işaretleriyle birlikte ayıralım: 4x, −x, 2x.

Adım 2: Sabit terimleri ayıralım: 7, −3.

Adım 3: x’li terimlerin katsayılarını toplayalım: 4 − 1 + 2 = 5. Buradan 5x elde ederiz.

Adım 4: Sabit terimleri toplayalım: 7 − 3 = 4.

Sonuç: 5x + 4

Örnek 4 (Üslü terimleri ayırma)

3x² + 2x − x² + 5x ifadesini sadeleştiriniz.

Çözüm:

Adım 1: x²’li terimler 3x² ve −x²’dir. Katsayılar toplamı 3 − 1 = 2, yani 2x² olur.

Adım 2: x’li terimler 2x ve 5x’tir. Katsayılar toplamı 2 + 5 = 7, yani 7x olur.

Adım 3: 2x² ile 7x benzer değildir, bu yüzden daha fazla birleşmez.

Sonuç: 2x² + 7x

Örnek 5 (Parantezli çıkarma)

(6a + 5) − (2a − 3) işlemini yapınız.

Çözüm:

Adım 1: İlk parantezin önünde işaret yoktur, aynen açılır: 6a + 5.

Adım 2: İkinci parantezin önünde eksi vardır. İçerideki her terimin işareti değişir: −2a + 3.

Adım 3: İfade 6a + 5 − 2a + 3 olur.

Adım 4: a’lı terimler: 6a − 2a = 4a. Sabit terimler: 5 + 3 = 8.

Sonuç: 4a + 8

Örnek 6 (İfadenin değerini bulma)

x = −2 için 3x² − 4x + 1 ifadesinin değerini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Negatif sayıyı yerine koyarken parantez kullanalım: 3·(−2)² − 4·(−2) + 1.

Adım 2: Önce üs alınır: (−2)² = 4. Buradan 3·4 = 12 bulunur.

Adım 3: −4·(−2) = +8 olur (eksi çarpı eksi, artıdır).

Adım 4: Hepsini toplayalım: 12 + 8 + 1 = 21.

Sonuç: 21

Örnek 7 (LGS tarzı, geometri ile)

Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları (2x + 3) cm ve (x − 1) cm’dir. Bu dikdörtgenin çevresini veren ifadeyi yazınız. x = 4 için çevre kaç cm olur?

Çözüm:

Adım 1: Dikdörtgenin çevresi 2·(uzun kenar + kısa kenar) ile bulunur.

Adım 2: Kenarları toplayalım: (2x + 3) + (x − 1) = 3x + 2.

Adım 3: 2 ile çarpalım: 2·(3x + 2) = 6x + 4.

Adım 4: x = 4 koyalım: 6·4 + 4 = 24 + 4 = 28.

Adım 5: Kontrol edelim. Kenarlar 2·4 + 3 = 11 ve 4 − 1 = 3 olur. Çevre 2·(11 + 3) = 28 çıkar ve sonuç tutar.

Çevre 6x + 4 cm’dir. x = 4 için çevre 28 cm’dir.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: 3x + 2 = 5x. Doğrusu: 3x ile 2 benzer terim değildir, ifade 3x + 2 olarak kalır. (x = 1 koyarsanız 3x + 2 = 5 olur ama 5x de 5 çıkar. x = 2 koyarsanız 8 ile 10 çıkar, yani eşit değiller.)
• Yanlış: 2x + 3x = 5x² ya da x² + x = x³. Doğrusu: Toplamada yalnızca katsayılar toplanır, üs değişmez: 2x + 3x = 5x. x² + x ise benzer olmadığı için olduğu gibi kalır.
• Yanlış: 7 − (2a − 3) = 7 − 2a − 3. Doğrusu: Eksi parantezin tamamına dağılır: 7 − 2a + 3 = 10 − 2a.
• Yanlış: x = −3 için x² = −9. Doğrusu: (−3)² = (−3)·(−3) = 9. Negatif sayıyı yerine koyarken mutlaka parantez kullanın.
• Yanlış: x = 5 için 2x = 25 (2 ile 5 yan yana yazılıyor). Doğrusu: 2x, 2·x demektir, yani 2·5 = 10.

Alıştırma

1) 8y − 6 ifadesinde katsayı ve sabit terim nedir?

2) “Bir sayının yarısının 6 fazlası” ifadesini cebirsel olarak yazınız.

3) 5a + 3 − 2a + 4 ifadesini sadeleştiriniz.

4) 2x² + 3x − x² − 5x ifadesini sadeleştiriniz.

5) (4m − 1) − (m − 6) işlemini yapınız.

6) x = 3 için 4x − 7 ifadesinin değeri kaçtır?

7) a = −2 için a² + 3a ifadesinin değeri kaçtır?

8) 3ab, −ab, 3a, ab² terimlerinden hangileri benzer terimdir?

9) Bir kenarı (x + 2) cm olan karenin çevresini veren ifadeyi yazınız. x = 5 için çevre kaç cm’dir?

10) Bir kalemin fiyatı x liradır. Bir defterin fiyatı, kalemin fiyatının 2 katından 5 lira azdır. Bir kalem ve bir defterin toplam fiyatını veren ifadeyi yazınız. x = 10 için toplam kaç liradır?

Cevap Anahtarı

1) Katsayı 8, sabit terim −6. İpucu: Sabit terim işaretiyle birlikte alınır.

2) x/2 + 6 İpucu: Önce yarısı alınır, sonra 6 eklenir.

3) 3a + 7 İpucu: 5a − 2a = 3a ve 3 + 4 = 7.

4) x² − 2x İpucu: 2x² − x² = x² ve 3x − 5x = −2x.

5) 3m + 5 İpucu: Parantez açılınca 4m − 1 − m + 6 olur.

6) 5 İpucu: 4·3 − 7 = 12 − 7 = 5.

7) −2 İpucu: (−2)² + 3·(−2) = 4 − 6 = −2.

8) 3ab ve −ab İpucu: İkisinde de değişken kısmı aynıdır (ab), diğerlerinde farklıdır.

9) 4x + 8 cm; x = 5 için 28 cm İpucu: 4·(x + 2) = 4x + 8, sonra 4·5 + 8 = 28.

10) 3x − 5; x = 10 için 25 lira İpucu: Defter 2x − 5 olur, x + (2x − 5) = 3x − 5, sonra 30 − 5 = 25.

LGS için taktikler

Soru tipi: LGS’de bu konu genellikle tek başına sorulmaz. Çoğunlukla bir şekil (dikdörtgen, kare, üçgen) ya da bir alışveriş durumu içinde gelir. Sizden kenar uzunluklarından çevre ifadesi yazmanız, bir sözel durumu ifadeye çevirmeniz ya da verilen değer için sonucu bulmanız istenir.

Süre: Bu tür bir soruya yaklaşık 1–1,5 dakika ayırmayı hedefleyin. Sadeleştirmeyi kafadan değil, terimleri gruplayarak kâğıt üzerinde yapın. Bu yöntem işaret hatalarını azaltır.

Şık eleme: Şıklarda farklı cebirsel ifadeler varsa x yerine kolay bir sayı koyun (0, 1 veya 2 gibi). Önce sorudaki ifadenin değerini bulun, sonra aynı sayıyı şıklara yerleştirin. Farklı sonuç veren şıkları eleyin. İki şık aynı sonucu verirse başka bir sayıyla tekrar deneyin. Ayrıca x² ile x’i birleştirmiş (örneğin 5x³ gibi) şıklar genellikle tuzaktır.

Dersin özeti

• Bir cebirsel ifadede harf değişkeni, harfin önündeki sayı katsayıyı, harf içermeyen terim ise sabit terimi gösterir. x’in katsayısı 1’dir.
• Benzer terimlerin değişkenleri ve üsleri aynıdır. Yalnızca bunlar toplanıp çıkarılabilir. Bu işlemde katsayılar toplanır, değişken kısmı aynen kalır.
• Önünde eksi olan parantez açılırken içerideki her terimin işareti değişir.
• İfadenin değerini bulurken harf yerine sayı parantez içinde yazılır. İşlem sırasında önce üs, sonra çarpma, en son toplama-çıkarma yapılır.
• Sözel ifadeleri çevirirken işlem sırasına dikkat edin: “3 katının 4 eksiği” 3x − 4 olur, “4 eksiğinin 3 katı” ise 3(x − 4) olur. Bir sonraki derste bu ifadeleri eşitleyerek denklem kurup çözeceğiz.