Doğrusal Denklemler, Koordinat Sistemi ve Eğim

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde oran-orantıyı ve bir bilinmeyenli denklemleri çözmeyi öğrendik. Orada tek bir bilinmeyen vardı ve onu bulunca iş bitiyordu. Günlük hayatta ise çoğu zaman iki büyüklük birlikte değişir: taksiyle gidilen yol arttıkça ödenen para artar, bir musluk açık kaldıkça depodaki su artar, yürüdüğümüz süre uzadıkça aldığımız yol uzar. Bu derste iki değişkenin birlikte nasıl değiştiğini inceleyeceğiz.

Bir taksiye bindiğini düşün. Taksimetre açılışta sabit bir ücret gösterir, sonra her kilometrede aynı miktar eklenir. Bu durumu üç farklı şekilde anlatabiliriz: bir tablo yaparak (1 km, 2 km, 3 km için ücretler), bir denklem yazarak (ücret = km başı ücret × km + açılış) ya da bir grafik çizerek. Üçü de aynı hikâyeyi anlatır; sadece dilleri farklıdır.

Grafiği çizmek için bir “harita”ya ihtiyacımız var: koordinat sistemi. Bir şehir haritasında bir yeri “3. sokak, 5. cadde” diye tarif etmek gibi, koordinat sisteminde de her noktayı iki sayıyla tarif ederiz. Grafik bir doğru olduğunda bu doğrunun ne kadar dik olduğu da önemli bir bilgi taşır. Bu dikliğe eğim diyoruz ve göreceğiz ki eğim aslında “bir birim ilerlediğimizde ne kadar değişiyor?” sorusunun cevabıdır.

Tanım ve kural

Koordinat sistemi: Yatay sayı doğrusuna x ekseni, dikey sayı doğrusuna y ekseni denir. İkisinin kesiştiği noktaya başlangıç noktası (orijin) denir ve (0, 0) ile gösterilir. Bir nokta (x, y) şeklinde sıralı ikili ile yazılır. İlk sayı sağa-sola, ikinci sayı yukarı-aşağı hareketi gösterir. Neden bu sıra? Çünkü herkesin aynı noktayı bulabilmesi için ortak bir kural gerekir: önce yatay, sonra dikey. (3, 5) ile (5, 3) bu yüzden farklı noktalardır.

Eksenler düzlemi dört bölgeye ayırır. Sağ üstten başlayıp saat yönünün tersine 1., 2., 3. ve 4. bölge diye numaralanır. Eksenlerin üzerindeki noktalar hiçbir bölgeye ait değildir.

Doğrusal denklem: y = 2x + 1 veya x + y = 5 gibi, değişkenlerin kuvvetinin 1 olduğu denklemlere doğrusal denklem denir. Neden “doğrusal”? Çünkü bu denklemi sağlayan tüm (x, y) noktalarını koordinat sistemine işaretlersek hepsi bir doğru üzerinde dizilir. Sebebi şudur: x her 1 arttığında y hep aynı miktarda değişir, yani adımlar hep eşit büyüklüktedir; eşit adımlar da düz bir çizgi oluşturur.

Doğru çizmek: İki noktadan yalnızca bir doğru geçer. Bu yüzden denklemi sağlayan iki nokta bulup birleştirmek yeterlidir. En pratik yol, eksenleri kestiği noktaları bulmaktır: x = 0 yazınca y eksenini kestiği nokta, y = 0 yazınca x eksenini kestiği nokta bulunur.

Eğim: Bir doğru üzerindeki iki nokta arasında dikey değişimin yatay değişime oranıdır.

Eğim = dikey değişim ÷ yatay değişim = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

Neden bu oran? Bir yokuşun dikliğini düşün: aynı yatay mesafede daha çok yükseliyorsak yokuş daha diktir. Yükselmeyi yatay mesafeye bölmek, “1 birim ileri gidince kaç birim yükseliyorum?” sorusunu cevaplar. y = mx + n biçimindeki bir denklemde x'in katsayısı olan m eğimdir, n ise doğrunun y eksenini kestiği noktadır.

Doğru orantıyla bağlantı: Doğru orantıda y = k·x yazılır; k orantı sabitidir. Bu denklemin grafiği başlangıç noktasından geçen bir doğrudur ve eğimi k'dır. Yani doğru orantı sabiti ile eğim aynı şeydir. Ancak y = 2x + 3 gibi bir denklemde doğru orijinden geçmez; bu yüzden x ile y doğru orantılı değildir (x iki katına çıkınca y iki katına çıkmaz).

Çözümlü örnekler

Örnek 1: A(3, −2) noktası hangi bölgededir?

Çözüm:

x = 3, pozitiftir; başlangıçtan 3 birim sağa gideriz.

y = −2, negatiftir; 2 birim aşağı ineriz.

x pozitif, y negatif olan bölge 4. bölgedir.

Sonuç: A noktası 4. bölgededir.

Örnek 2: y = 2x + 1 denklemi için x = −1, 0, 1, 2 değerlerine karşılık gelen y değerlerini tabloyla gösteriniz. (3, 7) noktası bu doğru üzerinde midir?

Çözüm:

x = −1 için y = 2·(−1) + 1 = −2 + 1 = −1

x = 0 için y = 2·0 + 1 = 1

x = 1 için y = 2·1 + 1 = 3

x = 2 için y = 2·2 + 1 = 5

Tabloya bak: x her 1 arttığında y her seferinde 2 artıyor. Bu 2, eğimdir.

(3, 7) için x = 3 yazalım: y = 2·3 + 1 = 7. Bulunan y, noktadaki y ile aynı.

Sonuç: (3, 7) noktası doğru üzerindedir.

Örnek 3: 2x + y = 6 doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz.

Çözüm:

y eksenini kestiği yerde x = 0'dır: 2·0 + y = 6, yani y = 6. Nokta (0, 6).

x eksenini kestiği yerde y = 0'dır: 2x + 0 = 6, yani x = 3. Nokta (3, 0).

Bu iki noktayı işaretleyip birleştirirsek doğruyu çizmiş oluruz.

Sonuç: Doğru y eksenini (0, 6), x eksenini (3, 0) noktasında keser.

Örnek 4: A(1, 2) ve B(4, 11) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

Çözüm:

Dikey değişim: 11 − 2 = 9

Yatay değişim: 4 − 1 = 3

Eğim = 9 ÷ 3 = 3

Kontrol: Sırayı ters alırsak (2 − 11) ÷ (1 − 4) = (−9) ÷ (−3) = 3. Aynı sonuç; yeter ki üstte ve altta aynı sırayı koruyalım.

Sonuç: Eğim 3'tür.

Örnek 5: (a, 5) noktası y = 3x − 4 doğrusu üzerindedir. a kaçtır?

Çözüm:

Nokta doğru üzerindeyse koordinatları denklemi sağlar. x yerine a, y yerine 5 yazılır.

5 = 3a − 4

Her iki tarafa 4 ekleriz: 9 = 3a

Her iki tarafı 3'e böleriz: a = 3

Kontrol: 3·3 − 4 = 9 − 4 = 5 ✓

Sonuç: a = 3

Örnek 6: Bir markette 1 kg elma 40 TL'dir. Alınan elma miktarı x (kg), ödenen para y (TL) olsun. Denklemi yazınız, eğimi yorumlayınız.

Çözüm:

Her 1 kg için 40 TL ödenir, başlangıçta ödenen bir ücret yoktur: y = 40x

0 kg alınca 0 TL ödenir; grafik başlangıç noktasından geçer.

x ile y doğru orantılıdır, orantı sabiti 40'tır. Bu sayı aynı zamanda doğrunun eğimidir.

Eğimin anlamı: Her 1 kg fazladan elma için ödeme 40 TL artar.

Sonuç: y = 40x, eğim 40'tır ve 1 kg'ın fiyatını gösterir.

Örnek 7: Bir taksinin açılış ücreti 20 TL, kilometre başına ücreti 15 TL'dir. x km yol için ödenen ücret y TL'dir. Denklemi yazınız ve 8 km için ödenecek ücreti bulunuz. x ile y doğru orantılı mıdır?

Çözüm:

Her km için 15 TL eklenir: 15x

Buna sabit açılış ücreti eklenir: y = 15x + 20

x = 8 için y = 15·8 + 20 = 120 + 20 = 140

Doğru orantı kontrolü: 1 km için 35 TL, 2 km için 50 TL ödenir. Yol 2 katına çıktı ama ücret 2 katına (70 TL) çıkmadı.

Sonuç: y = 15x + 20; 8 km için 140 TL ödenir. Grafik orijinden geçmediği için doğru orantı yoktur, eğim ise 15'tir.

Örnek 8: Grafiği (0, −2) ve (3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm:

Eğim = (4 − (−2)) ÷ (3 − 0) = 6 ÷ 3 = 2

Doğru y eksenini (0, −2) noktasında kesiyor, yani n = −2.

y = mx + n kalıbına yerleştiririz: y = 2x − 2

Kontrol: x = 3 için y = 2·3 − 2 = 4 ✓

Sonuç: y = 2x − 2

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: (2, 5) noktasını işaretlerken önce 5 birim sağa, sonra 2 birim yukarı gitmek. Doğrusu: İlk sayı x'tir: önce 2 birim sağa, sonra 5 birim yukarı.
• Yanlış: Eğimi yatay değişim ÷ dikey değişim diye hesaplamak; (1, 2) ve (4, 11) için 3 ÷ 9 = 1/3 bulmak. Doğrusu: Eğim = dikey ÷ yatay = 9 ÷ 3 = 3.
• Yanlış: Farkları karışık sırayla almak: (11 − 2) ÷ (1 − 4) = −3. Doğrusu: Üstte hangi noktadan başladıysan altta da aynı noktadan başla: (11 − 2) ÷ (4 − 1) = 3.
• Yanlış: x eksenini kestiği noktayı bulmak için x = 0 yazmak. Doğrusu: x ekseni üzerindeki her noktada y = 0'dır; bu yüzden y = 0 yazılır.
• Yanlış: y = 15x + 20 gibi her doğrusal ilişkiyi doğru orantı sanmak. Doğrusu: Sadece y = kx biçimindeki, yani orijinden geçen doğrular doğru orantı gösterir.

Alıştırma

LGS taktiği: Bu konuda LGS'de genellikle grafik okuma, tablo ile denklemi eşleştirme ve eğimi gerçek hayat durumuyla (hız, fiyat, dolum) yorumlama soruları gelir. Sayısal oturumda matematik ve fen soruları aynı süreyi paylaşır; soru başına ortalama 2 dakika düşer, bu tür soruları 1-1,5 dakikada bitirmeye çalış. Şık elemek için: şıklardaki noktaları denkleme yerleştir, sağlamayanları at; doğru yukarı çıkıyorsa eğimi negatif olan şıkları ele; grafik orijinden geçmiyorsa y = kx biçimindeki şıkları ele.

1) B(−4, 3) noktası hangi bölgededir?

2) C(0, −5) noktası nerededir?

3) y = 3x − 2 doğrusunda x = 4 iken y kaçtır?

4) (2, k) noktası y = −x + 7 doğrusu üzerindedir. k kaçtır?

5) x + 2y = 8 doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz.

6) A(2, 1) ve B(6, 9) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

7) A(−1, 4) ve B(3, −4) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

8) (5, 3) ve (−2, 3) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

9) Bir havuzda başlangıçta 50 L su vardır ve dakikada 30 L su eklenmektedir. x dakika sonra havuzdaki su y litre ise denklemi yazınız ve 6 dakika sonraki su miktarını bulunuz.

10) y = ax doğrusu (3, 12) noktasından geçmektedir. a kaçtır ve bu doğru nasıl bir orantı gösterir?

Cevap Anahtarı

• 1) 2. bölge — x negatif, y pozitif olduğu için sol üstteki bölgedir.
• 2) y ekseni üzerinde — x = 0 olan noktalar hiçbir bölgeye ait değildir, y ekseni üzerindedir.
• 3) y = 10 — 3·4 − 2 = 12 − 2 = 10.
• 4) k = 5 — x yerine 2 yazılır: −2 + 7 = 5.
• 5) (0, 4) ve (8, 0) — x = 0 için 2y = 8 ise y = 4; y = 0 için x = 8.
• 6) 2 — (9 − 1) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2.
• 7) −2 — (−4 − 4) ÷ (3 − (−1)) = −8 ÷ 4 = −2.
• 8) 0 — y değerleri aynı olduğu için dikey değişim 0'dır, doğru yataydır.
• 9) y = 30x + 50; 230 L — 30·6 + 50 = 180 + 50 = 230.
• 10) a = 4; doğru orantı — 12 = a·3 ise a = 4; y = 4x orijinden geçtiği için doğru orantıdır, orantı sabiti ve eğim 4'tür.

Dersin özeti

• Koordinat sisteminde her nokta (x, y) sıralı ikilisiyle gösterilir: önce yatay (x), sonra dikey (y) hareket edilir; eksenler düzlemi dört bölgeye ayırır.
• Doğrusal bir ilişki tablo, denklem ve grafikle aynı şekilde anlatılabilir; x her 1 arttığında y hep aynı miktarda değiştiği için grafik bir doğrudur.
• Doğruyu çizmek için iki nokta yeter; en kolayı x = 0 ve y = 0 yazarak eksenleri kestiği noktaları bulmaktır.
• Eğim = dikey değişim ÷ yatay değişim; pozitif eğim yukarı çıkan, negatif eğim aşağı inen, 0 eğim yatay doğruyu gösterir. y = mx + n denkleminde m eğimdir.
• y = kx biçimindeki doğrular orijinden geçer ve doğru orantıyı gösterir; orantı sabiti k eğime eşittir. Kursun son dersinde bu bilgileri eşitsizliklerle birleştirerek “eşit” yerine “büyük” ve “küçük” ilişkilerini inceleyeceğiz.