Yönlü Açılar, Derece ve Radyan

Hoş geldin! Bu kursta trigonometri, logaritma ve dizilerle birlikte yol alacağız. İlk dersimizde trigonometrinin temelini atıyoruz: açıları yönüyle birlikte düşünmeyi, bir açının esas ölçüsünü bulmayı ve derece ile radyan arasında geçiş yapmayı öğreneceğiz. Ezber yerine her kuralın neden öyle olduğunu birlikte göreceğiz.

Günlük hayattan giriş

Bir vidayı sıkarken tornavidayı bir yöne, gevşetirken ters yöne çevirirsin. İki durumda da tornavida aynı miktarda dönebilir ama sonuç tamamen farklıdır. Demek ki bir dönüşü anlatmak için yalnızca “ne kadar döndü?” sorusu yetmez, “hangi yöne döndü?” sorusunun da cevabı gerekir. İşte yönlü açı kavramı tam olarak bu ihtiyaçtan doğar.

Bir arabanın direksiyonunu düşün. Direksiyonu iki tam tur çevirdiğinde 720° dönmüş olursun; ama direksiyonun üstündeki logo, hiç çevirmemişsin gibi yine aynı konumdadır. Lunaparktaki dönme dolap da böyledir: bir kabin üç tur atıp başladığı yere geri döner. Yani farklı dönüş miktarları aynı son konuma varabilir. Bu fikir bizi esas ölçü kavramına götürür: “Bu kadar dönüşten sonra aslında nerede duruyorum?”

Açıyı ölçmek için günlük hayatta hep derece kullanırız. Fakat matematikte ve fizikte, özellikle dönen bir tekerleğin aldığı yolu hesaplarken, açıyı çemberin yarıçapıyla ilişkilendiren başka bir birim çok daha kullanışlıdır: radyan. Bu derste radyanın nereden geldiğini ve π radyanın neden 180° olduğunu birim çember üzerinde göreceğiz.

Tanım ve kural

1. Yönlü açı

Bir açıyı, başlangıç kolundan bitim koluna doğru yapılan bir dönüş olarak düşünürüz. Matematikte şu anlaşma kullanılır:

• Saatin dönme yönünün tersi pozitif (+) yöndür.
• Saatin dönme yönü negatif (−) yöndür.

Neden saatin tersi pozitif? Koordinat sisteminde pozitif x ekseninden başlayıp pozitif y eksenine en kısa yoldan gitmek için saatin tersi yönünde döneriz. Bölgeler de bu sırayla numaralanır: I, II, III, IV. Pozitif yönü bu doğal sırayla uyumlu seçmek, hesapları tutarlı hâle getirir.

2. Esas ölçü

Bir tam tur 360°'dir. Bir açıya 360° eklemek ya da çıkarmak, bitim kolunu bir tam tur döndürüp aynı yere getirir. Bu yüzden 30°, 390°, 750° ve −330° açılarının bitim kolları aynıdır.

Bir açının esas ölçüsü, aynı bitim koluna sahip açılar arasında 0° ≤ α < 360° aralığında kalan tek ölçüdür. Radyan cinsinden bu aralık 0 ≤ α < 2π olur.

• Açı 360°'den büyükse: içindeki tam turları (360°'nin katlarını) çıkar.
• Açı negatifse: sonuç 0 veya pozitif olana kadar 360°'nin katlarını ekle.

Dikkat: 360° aralığa dahil değildir, çünkü 360° ile 0° aynı bitim koluna sahiptir. Esas ölçü 0° olarak yazılır.

3. Radyan nedir?

Bir çemberde, yarıçap uzunluğuna eşit bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.

Şimdi yarıçapı 1 birim olan çembere, yani birim çembere bakalım. Çemberin çevresi 2πr formülüyle bulunur. r = 1 olduğundan çevre 2π birimdir.

Yarıçap 1 olduğu için her 1 birimlik yay 1 radyanlık açıya karşılık gelir. Çemberin tamamı 2π birim uzunluğunda olduğuna göre tam tur 2π radyandır.

Öte yandan tam tur 360°'dir. O hâlde:

2π radyan = 360°

Her iki tarafı 2'ye bölersek: π radyan = 180°

Yani π radyanın 180° olması bir ezber değil, çemberin çevresinin 2πr olmasının doğrudan sonucudur. Buradan 1 radyan = 180°/π ≈ 57,3° bulunur. Buradaki π yine yaklaşık 3,14 olan sayıdır; “π = 180” eşitliği yanlıştır, doğrusu “π radyanlık açı 180°'dir” demektir.

4. Dönüşüm kuralı

Derece D, radyan R ile gösterilirse ikisi de tam turun aynı oranını ifade eder:

D / 180 = R / π

• Dereceden radyana: dereceyi π/180 ile çarp.
• Radyandan dereceye: radyandaki π yerine 180° yaz (ya da 180/π ile çarp).

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

1110° ölçülü açının esas ölçüsünü bulunuz.

Çözüm:

1110 içinde kaç tam tur olduğuna bakalım: 360 × 3 = 1080, 360 × 4 = 1440 (fazla).

Demek ki 3 tam tur var: 1110° − 1080° = 30°.

30°, 0° ile 360° arasında olduğu için esas ölçüdür.

Esas ölçü 30°'dir.

Örnek 2 (kolay)

−250° ölçülü açının esas ölçüsünü bulunuz.

Çözüm:

Açı negatif olduğu için 360° ekleriz.

−250° + 360° = 110°.

110° aralıkta olduğundan işlem biter. Kontrol: 110°'den saat yönünde 360° dönersek −250°'ye varırız.

Esas ölçü 110°'dir.

Örnek 3 (orta)

150° kaç radyandır?

Çözüm:

Dereceyi π/180 ile çarparız: 150 × π/180.

150/180 kesrini sadeleştirelim: ikisini de 30'a bölersek 5/6 olur.

Sonuç 5π/6'dır. Kontrol: 5π/6 → 5 × 180°/6 = 5 × 30° = 150°.

150° = 5π/6 radyandır.

Örnek 4 (orta)

7π/5 radyan kaç derecedir?

Çözüm:

π yerine 180° yazarız: 7 × 180°/5.

180 ÷ 5 = 36 olduğundan işlem 7 × 36° olur.

7 × 36 = 252.

7π/5 radyan = 252°'dir.

Örnek 5 (orta)

−1000° ölçülü açının esas ölçüsünü bulunuz.

Çözüm:

Bir kez 360° eklemek yetmez: −1000 + 360 = −640, hâlâ negatif.

Kaç tur ekleyeceğimizi bulalım: 360 × 2 = 720 (yetmez), 360 × 3 = 1080 (1000'i geçer).

3 tur ekleyelim: −1000° + 1080° = 80°.

Esas ölçü 80°'dir.

Örnek 6 (zor)

43π/6 radyanlık açının esas ölçüsünü bulunuz.

Çözüm:

Tam tur 2π'dir. Paydayı 6 yapalım: 2π = 12π/6.

43'ün içinde kaç tane 12 var? 12 × 3 = 36, 12 × 4 = 48 (fazla). Yani 3 tam tur var.

43π/6 − 36π/6 = 7π/6.

7π/6, 12π/6'dan (yani 2π'den) küçük olduğundan aralıktadır.

Esas ölçü 7π/6'dır.

Örnek 7 (zor)

−17π/4 radyanlık açının esas ölçüsünü bulunuz.

Çözüm:

2π'yi paydası 4 olacak şekilde yazalım: 2π = 8π/4.

−17'yi pozitif yapmak için 8'in katlarını ekleyelim: −17 + 16 = −1 (hâlâ negatif), −17 + 24 = 7.

Yani 3 tur ekleriz: −17π/4 + 24π/4 = 7π/4.

7π/4 < 8π/4 olduğundan aralıktadır.

Esas ölçü 7π/4'tür.

Örnek 8 (zor)

2023° ölçülü açının bitim kolu hangi bölgededir?

Çözüm:

Önce esas ölçüyü bulalım: 360 × 5 = 1800, 360 × 6 = 2160 (fazla).

2023° − 1800° = 223°.

Bölgeler: I. bölge 0°–90°, II. bölge 90°–180°, III. bölge 180°–270°, IV. bölge 270°–360°.

223°, 180° ile 270° arasındadır.

Bitim kolu III. bölgededir.

Sık yapılan hatalar

• Hata: −250°'nin esas ölçüsünü, eksiyi atıp 250° yazmak. Doğrusu: Negatif açıya 360° eklenir: −250° + 360° = 110°.
• Hata: 60°'yi radyana çevirirken 60 × 180/π yapmak. Doğrusu: Dereceden radyana π/180 ile çarpılır: 60 × π/180 = π/3.
• Hata: “π = 180” yazıp π'yi her yerde 180 sayısı gibi kullanmak. Doğrusu: π ≈ 3,14 olan bir sayıdır; “π radyanlık açı 180°'dir” denir.
• Hata: 43π/6'dan yalnızca bir kez 2π çıkarıp 31π/6'da durmak. Doğrusu: Sonuç 2π'den küçük olana kadar çıkarılır; 3 tur çıkarılınca 7π/6 bulunur.
• Hata: 720°'nin esas ölçüsünü 360° yazmak. Doğrusu: Esas ölçü 0° ≤ α < 360° aralığındadır; 720° − 720° = 0° bulunur.

Alıştırma

1) 855° ölçülü açının esas ölçüsünü bulunuz.

2) −60° ölçülü açının esas ölçüsünü bulunuz.

3) −770° ölçülü açının esas ölçüsünü bulunuz.

4) 240° kaç radyandır?

5) 315° kaç radyandır?

6) 11π/9 radyan kaç derecedir?

7) 3π/8 radyan kaç derecedir?

8) 29π/3 radyanlık açının esas ölçüsünü bulunuz.

9) −23π/6 radyanlık açının esas ölçüsünü bulunuz.

10) 1500° ölçülü açının esas ölçüsünü bulunuz ve bitim kolunun hangi bölgede olduğunu söyleyiniz.

Cevap Anahtarı

• 1) 135° — 855'ten 2 tur yani 720 çıkarılır: 855 − 720 = 135.
• 2) 300° — Negatif açıya bir tur eklenir: −60 + 360 = 300.
• 3) 310° — 3 tur eklenir: −770 + 1080 = 310.
• 4) 4π/3 — 240 × π/180 ve 240/180 = 4/3.
• 5) 7π/4 — 315 × π/180 ve 315/180 = 7/4.
• 6) 220° — π yerine 180 yazılır: 11 × 180/9 = 11 × 20 = 220.
• 7) 67,5° — 3 × 180/8 = 540/8 = 67,5.
• 8) 5π/3 — 2π = 6π/3 olduğundan 4 tur (24π/3) çıkarılır: 29π/3 − 24π/3 = 5π/3.
• 9) π/6 — 2π = 12π/6 olduğundan 2 tur (24π/6) eklenir: −23π/6 + 24π/6 = π/6.
• 10) 60°, I. bölge — 4 tur çıkarılır: 1500 − 1440 = 60, bu da 0° ile 90° arasındadır.

Dersin özeti

• Saatin dönme yönünün tersi pozitif, saatin dönme yönü negatif yöndür.
• 360°'nin (2π'nin) katları eklenip çıkarılınca bitim kolu değişmez; esas ölçü 0° ≤ α < 360° (0 ≤ α < 2π) aralığındaki ölçüdür.
• Birim çemberin çevresi 2π olduğundan tam tur 2π radyandır; bu yüzden π radyan = 180°.
• Dönüşüm için D/180 = R/π oranını kullan: dereceden radyana π/180 ile çarp, radyandan dereceye π yerine 180° yaz.
• Sınavda esas ölçü sorularında tur sayısını tek tek eklemek yerine, açının içinde kaç tane 360° (veya 2π) olduğunu çarpma tablosuyla hızlıca tahmin et ve sonucu aralıkta mı diye mutlaka kontrol et.