Trigonometrik Fonksiyonların İşaretleri ve Dönüşüm Formülleri

Tahmini süre: 15 dk

Önceki derste birim çemberi kurduk ve bir açının kosinüsünün çember üzerindeki noktanın x koordinatı, sinüsünün ise y koordinatı olduğunu gördük. Bu derste aynı çemberi kullanarak iki soruya cevap arayacağız: Bir trigonometrik değer hangi bölgede pozitif, hangi bölgede negatiftir? 150°, 240° ya da 1110° gibi açıların değerlerini, ezberimizdeki 30°, 45°, 60° değerlerine nasıl indiririz? Son olarak da trigonometrinin en önemli özdeşliği olan sin²x + cos²x = 1 eşitliğinin Pitagoras teoreminden nasıl çıktığını göreceğiz.

Günlük hayattan giriş

Bir lunaparktaki dönme dolabı düşünün. Merkezin tam hizasında bir yükseklik çizgisi olsun. Kabininiz dönerken bazen bu çizginin üstünde, bazen altında; bazen merkezin sağında, bazen solunda olur. Kabinin merkeze göre yatay konumu kosinüse, düşey konumu sinüse karşılık gelir. Kabin merkezin altına indiğinde düşey konum negatif olur; işte sinüsün negatif olması tam olarak bu demektir. Yani işaret, ezberlenecek bir kural değil, noktanın çemberin hangi tarafında olduğunun bilgisidir.

Aynı dolapta, merkezin sağ üstünde 30° konumundaki bir kabin ile sol üstünde 150° konumundaki kabin aynı yükseklikte durur. Çünkü bu iki kabin, merkezden geçen düşey çizgiye göre birbirinin aynadaki görüntüsüdür. Yükseklikleri aynı, yatay konumları ise zıt işaretlidir. Bu gözlem bize şunu söyler: 150°'nin sinüsünü bulmak için yeni bir hesap yapmaya gerek yok; 30°'nin sinüsü yeterli.

Dolap tam bir tur attığında (360°) kabin başladığı yere döner. Bu yüzden 1110° gibi büyük bir açı, aslında birkaç tam tur ve üstüne küçük bir açıdır. Bu dersin bütün mantığı bu üç fikre dayanır: konum işareti belirler, simetri değeri korur, tam tur hiçbir şeyi değiştirmez.

Tanım ve kural

1. Bölgelere göre işaretler

Birim çember üzerindeki P noktasının koordinatları (cos x, sin x) biçimindedir. Ayrıca tan x = sin x / cos x ve cot x = cos x / sin x olduğunu biliyoruz. Koordinat eksenleri planı dört bölgeye ayırır; bölgeler saat yönünün tersine numaralanır.

• I. bölge (0° ile 90° arası): x ve y pozitif. Hepsi pozitiftir.
• II. bölge (90° ile 180° arası): x negatif, y pozitif. sin pozitif; cos negatif; tan ve cot, pozitif bölü negatif olduğu için negatiftir.
• III. bölge (180° ile 270° arası): x ve y negatif. sin ve cos negatif; tan ve cot, negatif bölü negatif olduğu için pozitiftir.
• IV. bölge (270° ile 360° arası): x pozitif, y negatif. cos pozitif; sin, tan ve cot negatiftir.

Kısa hatırlatma: saat yönünün tersine giderken pozitif olanlar sırasıyla hepsi, sin, tan, cos şeklindedir. Ama unutursanız ezbere değil, koordinatların işaretine bakın.

2. İndirgeme (dönüşüm) formülleri ve nedeni

x dar bir açı ve P noktası (cos x, sin x) olsun. Bu noktanın simetrilerine bakalım:

• 180° − x: P noktasının y eksenine göre simetriği (−cos x, sin x) noktasıdır. Bu yüzden sin(180° − x) = sin x ve cos(180° − x) = −cos x olur.
• 180° + x: P noktasının orijine göre simetriği (−cos x, −sin x) noktasıdır. Bu yüzden sin(180° + x) = −sin x ve cos(180° + x) = −cos x olur. İkisi de negatif olduğundan tan(180° + x) = tan x olur.
• 360° − x (ya da −x): P noktasının x eksenine göre simetriği (cos x, −sin x) noktasıdır. Bu yüzden sin(−x) = −sin x ve cos(−x) = cos x olur.
• 90° − x: P noktasının y = x doğrusuna göre simetriği (sin x, cos x) noktasıdır. Koordinatların yer değiştirmesi, sin ile cos'un yer değiştirmesi demektir: sin(90° − x) = cos x ve cos(90° − x) = sin x.

Bu gözlemlerden iki adımlı pratik bir kural çıkar:

• Adım 1 (isim): Açı 180° veya 360° ile yazılmışsa fonksiyonun adı değişmez. Açı 90° veya 270° ile yazılmışsa ad değişir: sin ↔ cos, tan ↔ cot.
• Adım 2 (işaret): x'i dar açı kabul edin. Verilen açı hangi bölgeye düşüyorsa, baştaki (verilen) fonksiyonun o bölgedeki işaretini sonuca yazın.
• Tam turlar: 360°'nin katlarını eklemek veya çıkarmak değeri değiştirmez; önce açıyı 0° ile 360° arasına indirin.

3. Temel özdeşlik: sin²x + cos²x = 1

P(cos x, sin x) noktasından x eksenine bir dikme indirin. Oluşan dik üçgenin dik kenarları |cos x| ve |sin x|, hipotenüsü ise çemberin yarıçapı olan 1'dir. Pitagoras teoremine göre:

|cos x|² + |sin x|² = 1²

Bir sayının mutlak değerinin karesi, sayının karesine eşit olduğundan:

sin²x + cos²x = 1

Kareler işareti yok ettiği için bu eşitlik dört bölgenin hepsinde geçerlidir. Buradaki sin²x yazımı (sin x)² anlamına gelir. Özdeşliğin iki tarafını cos²x'e bölersek (cos x ≠ 0 iken) şunu da elde ederiz: tan²x + 1 = 1 / cos²x.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: sin 130°, cos 250° ve tan 300° değerlerinin işaretlerini bulunuz.

Çözüm:

130°, 90° ile 180° arasındadır; II. bölgede sin pozitiftir.

250°, 180° ile 270° arasındadır; III. bölgede cos negatiftir.

300°, 270° ile 360° arasındadır; IV. bölgede tan negatiftir.

sin 130° > 0, cos 250° < 0, tan 300° < 0

Örnek 2: cos 150° değerini bulunuz.

Çözüm:

150° = 180° − 30° olarak yazılır.

180° kullanıldığı için fonksiyonun adı değişmez: cos kalır.

150° II. bölgededir ve orada cos negatiftir.

cos 150° = −cos 30° = −√3/2

cos 150° = −√3/2

Örnek 3: sin 240° değerini iki farklı yoldan bulunuz.

Çözüm:

1. yol: 240° = 180° + 60°. Ad değişmez. 240° III. bölgededir, orada sin negatiftir.

sin 240° = −sin 60° = −√3/2

2. yol: 240° = 270° − 30°. 270° kullanıldığı için sin, cos olur. Yine III. bölgede sin negatiftir.

sin 240° = −cos 30° = −√3/2

İki yol da aynı sonucu verir; bu, kuralın tutarlı olduğunu gösterir.

sin 240° = −√3/2

Örnek 4: cos 1110° ve tan 855° değerlerini bulunuz.

Çözüm:

1110° içindeki tam turları atalım: 3 × 360° = 1080° ve 1110° − 1080° = 30°.

cos 1110° = cos 30° = √3/2

855° içindeki tam turları atalım: 2 × 360° = 720° ve 855° − 720° = 135°.

135° = 180° − 45°. Ad değişmez; 135° II. bölgede, tan negatif.

tan 855° = tan 135° = −tan 45° = −1

cos 1110° = √3/2, tan 855° = −1

Örnek 5: 90° < x < 180° ve sin x = 3/5 olduğuna göre cos x ve tan x değerlerini bulunuz.

Çözüm:

sin²x + cos²x = 1 olduğundan cos²x = 1 − sin²x.

cos²x = 1 − 9/25 = 16/25

Buradan cos x = 4/5 veya cos x = −4/5.

x, II. bölgede olduğundan cos x negatiftir: cos x = −4/5.

tan x = sin x / cos x = (3/5) ÷ (−4/5) = −3/4

cos x = −4/5, tan x = −3/4

Örnek 6: [sin(180° − x) · cos(90° + x)] / [cos(360° − x) · tan(180° + x)] ifadesini sadeleştiriniz (payda sıfır değil).

Çözüm:

sin(180° − x) = sin x (II. bölge, sin pozitif, ad değişmez).

cos(90° + x) = −sin x (II. bölge, cos negatif, ad değişir).

Pay: sin x · (−sin x) = −sin²x

cos(360° − x) = cos x (IV. bölge, cos pozitif).

tan(180° + x) = tan x (III. bölge, tan pozitif).

Payda: cos x · tan x = cos x · (sin x / cos x) = sin x

Sonuç: −sin²x / sin x = −sin x

İfade −sin x olur.

Örnek 7: sin x + cos x = 7/5 olduğuna göre sin x · cos x çarpımını bulunuz.

Çözüm:

İki tarafın karesini alalım: (sin x + cos x)² = 49/25.

Sol taraf açılır: sin²x + 2 sin x cos x + cos²x.

sin²x + cos²x = 1 olduğundan: 1 + 2 sin x cos x = 49/25.

2 sin x cos x = 49/25 − 25/25 = 24/25

sin x · cos x = 12/25

Sık yapılan hatalar

• İşareti unutmak: cos 120° = cos 60° = 1/2 yazmak yanlıştır. 120° II. bölgededir ve orada cos negatiftir: cos 120° = −1/2.
• Ad değişimini unutmak: sin(90° + x) = sin x yazmak yanlıştır. 90° ile yazıldığı için ad değişir: sin(90° + x) = cos x.
• İşareti yeni fonksiyona göre belirlemek: cos(270° + x) için "sonuç sin, IV. bölgede sin negatif, o hâlde −sin x" demek yanlıştır. İşaret, verilen fonksiyona (cos) göre belirlenir; IV. bölgede cos pozitiftir: cos(270° + x) = sin x.
• Özdeşliği karesiz kullanmak: sin x + cos x = 1 sanmak yanlıştır. Örneğin x = 45° için √2/2 + √2/2 = √2 ≠ 1 olur. Doğrusu: sin²x + cos²x = 1.
• Kök alırken ± işaretini atlamak: cos²x = 16/25 ise hemen cos x = 4/5 demek yanlıştır. Önce ± yazılır, sonra açının bölgesine göre doğru işaret seçilir.

Alıştırma

• 1) sin 200° pozitif mi, negatif mi?
• 2) cos 135° değerini bulunuz.
• 3) tan 120° değerini bulunuz.
• 4) sin 330° değerini bulunuz.
• 5) cos 240° değerini bulunuz.
• 6) sin 780° değerini bulunuz.
• 7) cos(−45°) değerini bulunuz.
• 8) 180° < x < 270° ve cos x = −5/13 olduğuna göre sin x ve tan x değerlerini bulunuz.
• 9) sin(90° − x) / cos(180° + x) ifadesini sadeleştiriniz (cos x ≠ 0).
• 10) sin⁴x − cos⁴x ifadesini sadeleştiriniz.

Cevap Anahtarı

• 1) Negatif. 200° III. bölgededir ve orada sin negatiftir.
• 2) −√2/2. 135° = 180° − 45° ve II. bölgede cos negatif olduğundan −cos 45° olur.
• 3) −√3. 120° = 180° − 60° ve II. bölgede tan negatif olduğundan −tan 60° olur.
• 4) −1/2. 330° = 360° − 30° ve IV. bölgede sin negatif olduğundan −sin 30° olur.
• 5) −1/2. 240° = 180° + 60° ve III. bölgede cos negatif olduğundan −cos 60° olur.
• 6) √3/2. 780° − 720° = 60° olduğundan sin 780° = sin 60° olur.
• 7) √2/2. cos(−x) = cos x olduğundan cos 45° değeri alınır.
• 8) sin x = −12/13, tan x = 12/5. sin²x = 1 − 25/169 = 144/169, III. bölgede sin negatif; tan x = (−12/13) ÷ (−5/13) = 12/5.
• 9) −1. Pay cos x, payda −cos x olduğundan oran −1 olur.
• 10) sin²x − cos²x (yani 1 − 2cos²x). İki kare farkından (sin²x − cos²x)(sin²x + cos²x) yazılır ve ikinci çarpan 1'dir.

Sınav notu: Çoktan seçmeli sorularda önce sonucun işaretini belirleyin. Örneğin açı III. bölgedeyse ve soru cos soruyorsa pozitif şıkları hemen eleyebilirsiniz; bu, çoğu zaman şıkları yarıya indirir.

Dersin özeti

• Birim çemberde cos x yatay, sin x düşey koordinattır; işaretler noktanın hangi bölgede olduğundan gelir. Saat yönünün tersine pozitif olanlar: hepsi, sin, tan, cos.
• 180° ve 360° ile yazılan açılarda fonksiyonun adı değişmez; 90° ve 270° ile yazılanlarda sin ↔ cos, tan ↔ cot olur.
• İşaret, x dar açı kabul edilerek verilen fonksiyonun o bölgedeki işaretine göre konur; bu kurallar çemberdeki eksen, orijin ve y = x simetrilerinden gelir.
• 360°'nin katları değeri değiştirmez; büyük açılar önce 0° ile 360° arasına indirilir.
• sin²x + cos²x = 1 özdeşliği, birim çemberdeki dik üçgene Pitagoras teoremi uygulanarak elde edilir ve her bölgede geçerlidir.

Bir sonraki adımda bu indirgeme kurallarını ve temel özdeşliği araç olarak kullanacağız: daha karmaşık trigonometrik ifadeleri sadeleştirirken ve trigonometrik fonksiyonların davranışını yorumlarken bu dersteki simetri fikrine sık sık döneceğiz.