Üstel ve Logaritmik Denklemler ile Eşitsizlikler

Tahmini süre: 16 dk

Önceki derste logaritmanın tanımını, logaritma fonksiyonunu ve toplama, çıkarma, kuvvet kurallarını öğrendik. Bu derste bu bilgileri denklem ve eşitsizlik çözerken kullanacağız. Kursun son dersinde dizilere geçeceğiz. Orada karşımıza çıkacak "kaçıncı adımda şu değer aşılır?" türündeki soruları da bugün öğreneceğimiz üstel eşitsizliklerle çözeceğiz.

Günlük hayattan giriş

Bir laboratuvarda bakteri sayısının her saat iki katına çıktığını düşünelim. Başta 1 birim bakteri varsa t saat sonra 2^t birim bakteri olur. Araştırmacı şunu merak ediyor: Bakteri sayısı kaçıncı saatte ilk kez 1000 birimi aşar? Bu soru bizden 2^t > 1000 eşitsizliğini çözmemizi istiyor. 2^9 = 512 ve 2^10 = 1024 olduğu için cevap 10. saattir. Sayılar büyüdükçe deneme yanılma yorucu olur. Bu yüzden bilinmeyenin üste olduğu ifadeleri çözmek için düzenli bir yönteme ihtiyaç duyarız.

Aynı yapı pek çok yerde karşımıza çıkar. Bileşik faizle büyüyen bir birikimin belli bir tutarı ne zaman geçeceği, radyoaktif bir maddenin ne zaman yarısına ineceği ya da ses şiddeti ve pH gibi logaritmik ölçeklerde bir değerin hangi aralıkta kalacağı bu türden sorulardır. Hepsinde ya bilinmeyen üstte durur ya da logaritmanın içindedir.

Bu derste iki temel fikir öğreneceğiz. Birincisi, logaritmanın içi her zaman pozitif olmalıdır, yani tanım kümesini kontrol etmeden bulunan cevap güvenilir değildir. İkincisi, taban 1'den küçükse eşitsizliğin yönü değişir. Bu ikinci kuralı ezberlemek yerine nedenini anlayacağız.

Tanım ve kural

1) Üstel denklemler: a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere a^f(x) = a^g(x) ise f(x) = g(x) olur. Neden? Üstel fonksiyon birebirdir. Farklı üsler aynı tabanda farklı sonuçlar verir, yani iki kuvvet eşitse üsleri de eşittir. Tabanlar aynı yapılamıyorsa iki tarafın logaritması alınır: a^x = b ise x = logₐ b olur.

2) Logaritmik denklemler: logₐ f(x) = c ise f(x) = a^c olur. logₐ f(x) = logₐ g(x) ise f(x) = g(x) olur. Şart: f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır. Neden? Logaritma "a'nın kaçıncı kuvveti bu sayıyı verir?" sorusunun cevabıdır. Pozitif bir tabanın hiçbir kuvveti 0 ya da negatif bir sayı vermez. Bu yüzden negatif sayının ya da sıfırın logaritması tanımlı değildir.

3) Tanım kümesi kontrolü: Logaritmalı her soruda işe başlamadan önce logaritmanın içinin 0'dan büyük olduğu aralığı yazarız. Çözümden sonra bulduğumuz değerleri bu aralıkla karşılaştırırız.

4) Eşitsizlikler ve tabanın rolü: a > 1 ise y = a^x ve y = logₐ x fonksiyonları artandır. Artan fonksiyon büyüklük sırasını korur, bu yüzden eşitsizliğin yönü aynı kalır. 0 < a < 1 ise bu fonksiyonlar azalandır. Azalan fonksiyon sırayı tersine çevirir, bu yüzden yön değişir. Küçük bir deneme yapalım: 1 < 3 doğrudur. (1/2)^1 = 1/2 ve (1/2)^3 = 1/8 olur. 1/2 > 1/8 olduğu için sıra ters dönmüştür. Tabanı 1/2 olan logaritmayı bu derste log₁/₂ diye yazacağız.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 3^(x+1) = 81 denklemini çözünüz.

Çözüm:

81 sayısını 3'ün kuvveti olarak yazarız: 81 = 3^4.

Denklem 3^(x+1) = 3^4 olur.

Tabanlar eşit olduğu için üsler de eşittir: x + 1 = 4.

x = 3

Örnek 2: 4^x = 8^(x−1) denklemini çözünüz.

Çözüm:

İki tabanı da 2'nin kuvveti olarak yazarız: 4 = 2² ve 8 = 2³.

Sol taraf 2^(2x), sağ taraf 2^(3x−3) olur.

Üsler eşitlenir: 2x = 3x − 3.

Buradan x = 3 bulunur.

Kontrol: 4³ = 64 ve 8² = 64. Eşitlik sağlanıyor.

x = 3

Örnek 3: log₂(x − 1) = 3 denklemini çözünüz.

Çözüm:

Tanım kümesi: x − 1 > 0, yani x > 1.

Logaritmanın tanımını kullanırız: x − 1 = 2³ = 8.

x = 9 bulunur.

9 > 1 olduğu için bu değer tanım kümesindedir.

x = 9

Örnek 4: log₃ x + log₃(x − 2) = 1 denklemini çözünüz.

Çözüm:

Tanım kümesi: x > 0 ve x − 2 > 0 olmalıdır. İkisi birlikte x > 2 demektir.

Toplama kuralıyla iki logaritmayı birleştiririz: log₃(x(x − 2)) = 1.

Tanımı kullanırız: x² − 2x = 3¹ = 3.

x² − 2x − 3 = 0 olur. Bunu (x − 3)(x + 1) = 0 diye çarpanlarına ayırırız.

x = 3 ya da x = −1 bulunur.

x = −1, x > 2 şartını sağlamaz ve elenir.

Kontrol: log₃ 3 + log₃ 1 = 1 + 0 = 1. Eşitlik sağlanıyor.

Çözüm kümesi = {3}

Örnek 5: 4^x − 3·2^x − 4 = 0 denklemini çözünüz.

Çözüm:

4^x = (2^x)² olduğunu fark ederiz ve 2^x = t deriz. 2'nin her kuvveti pozitif olduğu için t > 0 olmalıdır.

Denklem t² − 3t − 4 = 0 olur.

Çarpanlarına ayırırız: (t − 4)(t + 1) = 0. Buradan t = 4 ya da t = −1 bulunur.

t = −1 olamaz, çünkü t > 0 olmalıdır.

2^x = 4 = 2² olduğundan x = 2 bulunur.

Kontrol: 16 − 3·4 − 4 = 0. Eşitlik sağlanıyor.

x = 2

Örnek 6: 2^(x−3) > 16 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

16 = 2^4 olduğu için eşitsizlik 2^(x−3) > 2^4 olur.

Taban 2 > 1 olduğundan fonksiyon artandır ve yön aynı kalır: x − 3 > 4.

x > 7

Örnek 7: (1/3)^(2x−1) ≥ 1/27 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

1/27 = (1/3)³ olduğu için eşitsizlik (1/3)^(2x−1) ≥ (1/3)³ olur.

Taban 1/3, 1'den küçüktür. Fonksiyon azalan olduğu için yön değişir: 2x − 1 ≤ 3.

2x ≤ 4 olur.

Kontrol: x = 0 için (1/3)^(−1) = 3 ≥ 1/27 doğrudur. x = 3 için (1/3)^5 = 1/243 < 1/27 olur, yani x = 3 çözüm değildir. Bu kontrol yön değişimini doğrular.

x ≤ 2

Örnek 8: log₁/₂(x + 2) ≥ −1 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

Tanım kümesi: x + 2 > 0, yani x > −2.

−1 sayısını aynı tabanda yazarız: (1/2)^(−1) = 2 olduğu için −1 = log₁/₂ 2.

Eşitsizlik log₁/₂(x + 2) ≥ log₁/₂ 2 olur.

Taban 1'den küçük olduğu için yön değişir: x + 2 ≤ 2, yani x ≤ 0.

Tanım kümesiyle kesiştiririz: x > −2 ve x ≤ 0.

Kontrol: x = −1 için log₁/₂ 1 = 0 ≥ −1 doğrudur.

−2 < x ≤ 0

Sık yapılan hatalar

• Tanım kümesini unutmak: Örnek 4'te çözüm kümesini {3, −1} yazmak yanlıştır. −1 için log₃(−1) tanımsızdır. Doğrusu: {3}.
• Taban 1'den küçükken yönü değiştirmemek: (1/2)^x > 1/8 eşitsizliğinden x > 3 sonucunu çıkarmak yanlıştır. Taban azalan bir fonksiyon verdiği için doğrusu x < 3 olur.
• Logaritmalı eşitsizlikte alt sınırı atlamak: log₂(x − 1) < 3 eşitsizliğinden yalnızca x < 9 yazmak eksiktir. İç kısmın pozitif olması da gerekir. Doğrusu: 1 < x < 9.
• Olmayan bir kural uydurmak: log(a + b) = log a + log b sanmak yanlıştır. Doğru kural log(a·b) = log a + log b şeklindedir. Toplamın logaritması parçalanmaz.
• Yardımcı değişkende negatif kökü almak: 2^x = t dönüşümünde t = −1 kökünü kabul etmek yanlıştır. 2^x hiçbir zaman negatif olmaz, bu yüzden bu kök elenir.

Alıştırma

1) 5^(x−2) = 125 denklemini çözünüz.

2) 9^x = 27 denklemini çözünüz.

3) log₃(2x + 1) = 2 denklemini çözünüz.

4) log₅(x + 3) = log₅(2x − 1) denklemini çözünüz.

5) log₂ x + log₂(x + 2) = 3 denklemini çözünüz.

6) 3^(x+1) < 27 eşitsizliğini çözünüz.

7) (1/2)^x > 1/8 eşitsizliğini çözünüz.

8) log₃(x − 2) ≤ 2 eşitsizliğini çözünüz.

9) log₁/₃ x > −2 eşitsizliğini çözünüz.

10) 9^x − 4·3^x + 3 = 0 denklemini çözünüz.

Cevap Anahtarı

• 1) x = 5. 125 = 5³ olduğundan x − 2 = 3 olur.
• 2) x = 3/2. 3^(2x) = 3³ olduğundan 2x = 3 olur.
• 3) x = 4. 2x + 1 = 3² = 9 olur ve x = 4 tanım kümesindedir, çünkü 9 > 0.
• 4) x = 4. x + 3 = 2x − 1 eşitliğinden x = 4 bulunur ve iki iç ifade de 7 olup pozitiftir.
• 5) x = 2. x² + 2x = 8 denkleminin kökleri 2 ve −4'tür, −4 tanım kümesinde olmadığı için elenir.
• 6) x < 2. 27 = 3³ ve taban 1'den büyük olduğundan x + 1 < 3 olur.
• 7) x < 3. 1/8 = (1/2)³ ve taban 1'den küçük olduğundan yön değişir.
• 8) 2 < x ≤ 11. x − 2 ≤ 3² = 9 ile tanım kümesi şartı x > 2 birlikte yazılır.
• 9) 0 < x < 9. −2 = log₁/₃ 9 olur, taban 1'den küçük olduğu için x < 9 bulunur ve x > 0 şartıyla kesiştirilir.
• 10) Çözüm kümesi = {0, 1}. 3^x = t denirse t² − 4t + 3 = 0 denkleminden t = 1 ya da t = 3 bulunur.

Dersin özeti

• Üstel denklemlerde önce tabanları eşitlemeye çalışırız. Tabanlar eşitse üsler de eşittir, çünkü üstel fonksiyon birebirdir.
• Logaritmalı her soruda ilk adım tanım kümesini yazmaktır. Logaritmanın içi 0'dan büyük olmalıdır ve bu şartı sağlamayan kökler elenir.
• Taban 1'den büyükse fonksiyon artandır ve eşitsizliğin yönü korunur. Taban 0 ile 1 arasındaysa fonksiyon azalandır ve yön değişir.
• a^(2x) ve a^x birlikte geçiyorsa a^x = t deriz. t'nin pozitif olması gerektiğini unutmayız.
• Bulunan sonucu bir sayı yerine koyarak kontrol etmek, özellikle yön değişimi ve tanım kümesi hatalarını yakalamanın en kolay yoludur.