Birim Çember ve Trigonometrik Oranlar

Tahmini süre: 15 dk

Önceki derste açıları, yönlü açıları, derece ve radyan ölçülerini konuştuk. Bu derste o açılara bir değer bağlayacağız: her açının sinüsü, kosinüsü, tanjantı ve kotanjantı. Bir sonraki derste bu tanımları kullanarak farklı bölgelerdeki açıları dar açılara indirgeyecek ve aralarındaki bağıntılarla çalışacağız.

Günlük hayattan giriş

Bir lunaparktaki dönme dolabı düşün. Dolap döndükçe kabinin konumu değişir: bazen merkezin sağında, bazen solunda; bazen yukarıda, bazen aşağıda olur. Kabinin ne kadar yükseğe çıktığı ve merkezden ne kadar sağa ya da sola kaydığı, dolabın hangi açıyla döndüğüne bağlıdır. İşte sinüs ve kosinüs tam olarak bu iki bilgiyi verir: sinüs yüksekliği, kosinüs yatay kaymayı.

Aynı fikir saat kolunun ucunda, dönen bir tekerleğin sibobunda ya da bir rampanın eğiminde de karşımıza çıkar. Bir rampanın ne kadar dik olduğunu anlatmak için yükselişi yatay ilerlemeye böleriz. Bu oran, bu derste göreceğimiz tanjanttır.

Dokuzuncu sınıfta sinüs ve kosinüsü dik üçgende kenar oranları olarak görmüştün. Ama dik üçgende açı en fazla 90°'den küçük olabilir. 120°'nin ya da 250°'nin sinüsü ne olacak? Bu sorunun cevabı için daha geniş bir araç gerekiyor: birim çember.

Tanım ve kural

Birim çember, merkezi orijinde (0, 0) olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir. Üzerindeki her (x, y) noktası için Pitagoras'tan x² + y² = 1 sağlanır.

Başlangıç kenarı pozitif x ekseni olan, saat yönünün tersine ölçülen bir θ açısı çiz. Açının bitim kenarı birim çemberi bir P(x, y) noktasında keser. Tanım şudur:

• cos θ = x (P noktasının apsisi)
• sin θ = y (P noktasının ordinatı)
• tan θ = y/x = sin θ / cos θ (x ≠ 0 iken)
• cot θ = x/y = cos θ / sin θ (y ≠ 0 iken)

Neden böyle? P noktasından x eksenine bir dikme indir. Oluşan dik üçgenin hipotenüsü yarıçaptır, yani 1'dir. Dik üçgendeki tanımı hatırla: sin θ = karşı kenar / hipotenüs. Hipotenüs 1 olduğu için sin θ = karşı kenar = y olur. Aynı şekilde cos θ = komşu kenar / 1 = x olur. Yani birim çember, eski tanımı bozmaz; sadece onu bütün açılara genişletir. Üstelik koordinatlar negatif olabildiği için sinüs ve kosinüs de negatif değer alabilir.

Tanjant ise OP doğrusunun eğimidir: dikey değişim / yatay değişim = y/x. Bu yüzden x = 0 olduğunda (90° ve 270°) tanjant tanımsızdır; dikey bir doğrunun eğimi yoktur. Kotanjant da y = 0 olduğunda (0° ve 180°) tanımsızdır. Ayrıca tan θ ile cot θ birbirinin çarpmaya göre tersidir: tan θ · cot θ = 1.

P noktası çember üzerinde olduğundan x² + y² = 1 eşitliği her açı için sin²θ + cos²θ = 1 demektir. Bu eşitliği ezberlemene gerek yok; o sadece birim çemberin denklemidir. Aynı sebeple −1 ≤ sin θ ≤ 1 ve −1 ≤ cos θ ≤ 1 olur, çünkü çember üzerindeki bir noktanın koordinatı 1'i aşamaz.

İşaretler: Hangi bölgede ne pozitif?

İşaretleri ezberlemek yerine koordinatların işaretine bak: I. bölgede x ve y pozitif, II. bölgede x negatif y pozitif, III. bölgede ikisi de negatif, IV. bölgede x pozitif y negatif.

Özel açıları üçgenlerden türetmek

45°: Dik kenarları 1 olan ikizkenar dik üçgen çiz. Açılar 45°, 45°, 90° olur. Hipotenüs √(1² + 1²) = √2. O hâlde sin 45° = 1/√2 = √2/2 ve cos 45° = √2/2. Karşı ve komşu kenar eşit olduğu için tan 45° = 1.

30° ve 60°: Kenarı 2 olan eş kenar üçgen çiz. Bir köşeden karşı kenara yükseklik indir. Yükseklik tabanı ikiye böler: yarım taban 1 olur. Açılar 30°, 60°, 90° olan bir dik üçgen elde ederiz. Yükseklik √(2² − 1²) = √3. 30°'nin karşısında 1, 60°'nin karşısında √3, hipotenüs 2'dir. Buradan sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 30° = 1/√3 = √3/3, tan 60° = √3 bulunur.

Eksen açıları: 0°'de nokta (1, 0), 90°'de (0, 1), 180°'de (−1, 0), 270°'de (0, −1). Kosinüs x'i, sinüs y'yi okuyarak hemen bulunur.

Küçük bir hatırlatıcı: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° sırasıyla sinüs değerleri √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 şeklinde yazılabilir; kosinüs aynı diziyi tersten izler. Bu bir ezber değil, üçgenlerden bulduğumuz sonuçların düzenli görünümüdür.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: P(3/5, 4/5) noktası birim çember üzerindedir ve θ açısının bitim kenarı bu noktadan geçer. sin θ, cos θ, tan θ ve cot θ değerlerini bulunuz.

Çözüm:

Önce kontrol: (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1. Nokta gerçekten çember üzerinde.

cos θ = x = 3/5, sin θ = y = 4/5.

tan θ = y/x = (4/5) ÷ (3/5) = 4/3.

cot θ = x/y = (3/5) ÷ (4/5) = 3/4.

Sonuç: sin θ = 4/5, cos θ = 3/5, tan θ = 4/3, cot θ = 3/4

Örnek 2: sin 30° + cos 60° ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

Eş kenar üçgenin yarısından: sin 30° = 1/2.

Aynı üçgenden: cos 60° = 1/2.

Toplam: 1/2 + 1/2 = 1.

Sonuç: 1

Örnek 3: 2 · sin 45° · cos 45° ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

sin 45° = √2/2 ve cos 45° = √2/2.

Çarpım: (√2/2) · (√2/2) = 2/4 = 1/2.

2 ile çarp: 2 · 1/2 = 1.

Sonuç: 1

Örnek 4: tan 60° · cot 30° − (tan 45°)² ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

tan 60° = √3 ve cot 30° = 1 / tan 30° = √3.

Çarpım: √3 · √3 = 3.

tan 45° = 1, karesi 1.

Fark: 3 − 1 = 2.

Sonuç: 2

Örnek 5: Birim çember üzerindeki P(−√3/2, 1/2) noktası θ açısının bitim kenarı üzerindedir. θ hangi bölgededir? tan θ kaçtır?

Çözüm:

x negatif, y pozitif olduğu için θ II. bölgededir.

cos θ = −√3/2, sin θ = 1/2.

tan θ = (1/2) ÷ (−√3/2) = −1/√3.

Paydayı rasyonel yap: −1/√3 = −√3/3.

Sonuç: II. bölge, tan θ = −√3/3 (bu açı 150°'dir).

Örnek 6: θ açısı II. bölgede ve sin θ = 3/5 ise cos θ, tan θ ve cot θ kaçtır?

Çözüm:

sin²θ + cos²θ = 1 olduğundan cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25.

Buradan cos θ = 4/5 ya da cos θ = −4/5.

II. bölgede x negatiftir, bu yüzden cos θ = −4/5.

tan θ = (3/5) ÷ (−4/5) = −3/4.

cot θ = 1 / tan θ = −4/3.

Sonuç: cos θ = −4/5, tan θ = −3/4, cot θ = −4/3

Örnek 7: sin 200° · cos 300° · tan 100° çarpımının işareti nedir?

Çözüm:

200° III. bölgededir; orada y negatif, yani sin 200° negatif.

300° IV. bölgededir; orada x pozitif, yani cos 300° pozitif.

100° II. bölgededir; orada tanjant negatif.

İşaretler: (−) · (+) · (−) = (+).

Sonuç: Çarpım pozitiftir.

Sınav notu: TYT/AYT'de bu tür işaret sorularında hesap yapmana gerek yoktur; yalnızca bölgeleri belirleyip işaretleri çarparak 20-30 saniyede çözebilirsin. Değer sorularında ise şıklarda √2 veya √3 içeren ifadeler varsa, işaret yanlış olanları hemen elemek zaman kazandırır.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: sin 30° = √3/2. Doğrusu: 30°'nin karşısındaki kenar en kısa kenardır (1), bu yüzden sin 30° = 1/2. Küçük açının karşısında küçük kenar olduğunu hatırla.
• Yanlış: II. bölgede sin θ = 3/5 ise cos θ = 4/5. Doğrusu: Karekök alırken iki değer çıkar; II. bölgede x negatif olduğu için cos θ = −4/5.
• Yanlış: tan θ = cos θ / sin θ. Doğrusu: tan θ = sin θ / cos θ, yani y/x. Tanjant eğimdir; eğim dikey değişimin yatay değişime oranıdır.
• Yanlış: tan 90° = 0. Doğrusu: 90°'de nokta (0, 1); tan 90° = 1/0 olur, sıfıra bölme olmadığı için tan 90° tanımsızdır. Değeri 0 olan cot 90°'dir.
• Yanlış: sin 60° = sin(2 · 30°) = 2 · sin 30° = 1. Doğrusu: sinüs açıyla orantılı büyümez; sin 60° = √3/2 ≈ 0,87'dir, 1 değildir.

Alıştırma

1) sin 60° + cos 30° kaçtır?

2) tan 45° + cot 45° kaçtır?

3) sin²30° + cos²30° kaçtır?

4) P(−4/5, −3/5) noktası birim çember üzerindedir ve θ açısının bitim kenarındadır. θ hangi bölgededir, tan θ kaçtır?

5) θ açısı IV. bölgede ve cos θ = 5/13 ise sin θ ve tan θ kaçtır?

6) sin 90° · cos 0° + cos 180° kaçtır?

7) cos 130° · tan 250° çarpımının işareti nedir?

8) tan 30° · tan 60° kaçtır?

9) 4 · sin 30° · cos 60° kaçtır?

10) 0° ile 90° arasında cos θ = √2/2 olan θ açısı kaç derecedir?

Cevap Anahtarı

• 1) √3 — sin 60° = √3/2 ve cos 30° = √3/2 olduğundan toplam 2 · √3/2 = √3.
• 2) 2 — İkizkenar dik üçgende karşı ve komşu kenar eşit, ikisi de 1 olur.
• 3) 1 — 1/4 + 3/4 = 1; zaten sin²θ + cos²θ her açı için 1'dir.
• 4) III. bölge, tan θ = 3/4 — İki koordinat da negatif; (−3/5) ÷ (−4/5) = 3/4.
• 5) sin θ = −12/13, tan θ = −12/5 — sin²θ = 1 − 25/169 = 144/169 ve IV. bölgede y negatif olduğu için eksi işaret seçilir.
• 6) 0 — 1 · 1 + (−1) = 0, çünkü 180°'de nokta (−1, 0).
• 7) Negatif — 130° II. bölgede cos negatif, 250° III. bölgede tan pozitif; (−) · (+) = (−).
• 8) 1 — tan 60° = cot 30° olduğundan çarpım tan 30° · cot 30° = 1.
• 9) 1 — 4 · 1/2 · 1/2 = 1.
• 10) 45° — İkizkenar dik üçgende komşu kenar / hipotenüs = 1/√2 = √2/2.

Dersin özeti

• Birim çemberde θ açısının bitim kenarının kestiği nokta P(x, y) ise cos θ = x, sin θ = y; hipotenüs 1 olduğu için bu, dik üçgen tanımıyla aynıdır.
• tan θ = sin θ / cos θ (OP doğrusunun eğimi) ve cot θ = cos θ / sin θ; payda 0 olduğunda tanımsızdırlar.
• Çemberin denklemi x² + y² = 1 olduğundan her açı için sin²θ + cos²θ = 1 ve değerler −1 ile 1 arasındadır.
• İşaretler koordinatların işaretinden gelir: sinüs y'yi, kosinüs x'i izler.
• 30°, 45°, 60° değerleri ezber değil; ikizkenar dik üçgen ve yarıya bölünmüş eş kenar üçgenden her zaman yeniden türetilebilir.