Kesirleri Karşılaştırma, Sıralama ve Sayı Doğrusunda Gösterme

Tahmini süre: 13 dk

Önceki derste denk kesirleri öğrendik: bir kesrin payını ve paydasını aynı sayıyla çarpınca (genişletme) ya da aynı sayıya bölünce (sadeleştirme) kesrin değeri değişmez. Örneğin 1/2 = 2/4 = 4/8. Bu derste bu bilgiyi bir araç gibi kullanacağız. Kesirleri denk kesirlere çevirip hangisinin büyük olduğunu bulacağız, kesirleri sıraya dizeceğiz ve sayı doğrusundaki yerlerini göstereceğiz.

Günlük hayattan giriş

Aynı büyüklükte iki pizza düşün. Birinci pizza 4 eşit dilime, ikinci pizza 8 eşit dilime bölünmüş olsun. Birinci pizzadan 1 dilim almak mı daha çok doyurur, ikinciden 1 dilim almak mı? Pizzayı ne kadar çok parçaya bölersen her parça o kadar küçülür. Bu yüzden 1/4, 1/8'den büyüktür. Kesirleri karşılaştırmak işte böyle günlük bir soruya cevap vermektir: Hangisi daha çok?

Bir tarifte 3/4 kilo un, başka bir tarifte 2/3 kilo un isteniyor olabilir. Hangi tarif daha çok un ister? Bir koşu yolunun 5/8'ini koşan mı, 3/5'ini koşan mı daha uzun yol koşmuştur? Bir şişenin 7/10'u mu dolu, başka bir şişenin 3/4'ü mü? Bu soruların hepsinde iki kesri karşılaştırmamız gerekir.

Cetvele baktığında da kesirlerle karşılaşırsın. Cetveldeki küçük çizgiler aslında sayı doğrusunun parçalarıdır. Bir kesri sayı doğrusunda gösterebilmek, o kesrin ne kadar büyük olduğunu gözünle görmeni sağlar. Sayı doğrusunda sağa gittikçe sayılar büyür. Bu yüzden sayı doğrusu, kesirleri sıralamanın en kolay görülen yoludur.

Tanım ve kural

İki kesri karşılaştırırken bir kesrin küçük mü, büyük mü, yoksa ötekine eşit mi olduğunu buluruz. Bunun için < (küçüktür), > (büyüktür) ve = (eşittir) işaretlerini kullanırız. İşaretin açık (geniş) tarafı her zaman büyük sayıya bakar.

Kural 1: Paydaları eşit olan kesirlerde payı büyük olan kesir büyüktür.

Neden? Payda, bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü söyler. Paydalar eşitse parçaların büyüklüğü de eşittir. O zaman daha çok parça alan, yani payı büyük olan daha çok almış olur. Örneğin 5/7 > 3/7, çünkü aynı büyüklükteki parçalardan 5 tane, 3 taneden fazladır.

Kural 2: Payları eşit olan kesirlerde paydası küçük olan kesir büyüktür.

Neden? Paylar eşitse aynı sayıda parça alıyoruz. Ama bütünü az parçaya bölersek her parça büyük olur. Örneğin 3/4 ile 3/10'da 3'er parça alıyoruz. Dörtte birlik parçalar, onda birlik parçalardan büyüktür. Bu yüzden 3/4 > 3/10.

Kural 3: Payları da paydaları da farklı olan kesirleri önce ortak paydaya getiririz, sonra paylarına bakarız.

Neden? Parçaların büyüklüğü farklıyken parça sayılarını karşılaştırmak adil olmaz. Genişletme ile iki kesri de aynı büyüklükteki parçalarla yazarız. Genişletme kesrin değerini değiştirmediği için bu karşılaştırma doğru sonuç verir. Ortak payda olarak genellikle paydaların en küçük ortak katını seçeriz. Böylece sayılar küçük kalır.

Kural 4: Sayı doğrusunda sağdaki kesir, soldakinden büyüktür. Bir kesri sayı doğrusunda göstermek için iki tam sayı arasını paydadaki sayı kadar eşit parçaya böleriz. Sonra 0'dan başlayarak pay kadar parça sayarız. Payı paydasından büyük olan bileşik kesirler 1'in sağında yer alır.

İki pratik ipucu:

• 1/2 ile karşılaştır: Payı, paydasının yarısından küçükse kesir 1/2'den küçüktür. Örneğin 3/8'de 3, 8'in yarısı olan 4'ten küçük olduğu için 3/8 < 1/2. 4/7'de ise 4, 7'nin yarısı olan 3,5'ten büyük olduğu için 4/7 > 1/2. Buradan hemen 3/8 < 4/7 sonucuna ulaşırız.
• 1'e ne kadar eksik? 5/6 ile 7/8'i karşılaştıralım. 5/6'nın 1 olması için 1/6 eksik, 7/8'in 1 olması için 1/8 eksik. 1/8, 1/6'dan küçüktür, yani 7/8 bütüne daha yakındır. O hâlde 7/8 > 5/6. Kontrol edelim: 5/6 = 20/24, 7/8 = 21/24. Sonuç doğru.

LGS ipucu: Sıralama sorularında şıkları tek tek hesaplamak zaman alır. Önce 1'den büyük olan kesirleri, sonra 1/2'den küçük olanları ayır. Şıkların çoğu bu adımda elenir. Kalan şıkları ortak paydayla kontrol et.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 3/7 ile 5/7 kesirlerini karşılaştıralım.

Çözüm:

1. Paydalar eşit (ikisi de 7). Parçalar aynı büyüklükte.

2. Paylara bakarız: 5 > 3.

3. Payı büyük olan kesir büyüktür.

Sonuç: 5/7 > 3/7

Örnek 2: 4/5 ile 4/9 kesirlerini karşılaştıralım.

Çözüm:

1. Paylar eşit (ikisi de 4). İkisinde de 4 parça alınmış.

2. Paydalara bakarız: 5 < 9. Bütünü 5 parçaya bölersek parçalar, 9 parçaya bölmekten daha büyük olur.

3. Paydası küçük olan kesir büyüktür.

Sonuç: 4/5 > 4/9

Örnek 3: 2/3 ile 3/4 kesirlerini karşılaştıralım.

Çözüm:

1. Paylar da paydalar da farklı. Ortak payda bulmalıyız.

2. 3 ve 4'ün en küçük ortak katı 12'dir.

3. 2/3'ü 4 ile genişletiriz: (2 × 4)/(3 × 4) = 8/12.

4. 3/4'ü 3 ile genişletiriz: (3 × 3)/(4 × 3) = 9/12.

5. Paylara bakarız: 9 > 8, yani 9/12 > 8/12.

Sonuç: 3/4 > 2/3

Örnek 4: 1/2, 3/8 ve 3/4 kesirlerini küçükten büyüğe sıralayalım.

Çözüm:

1. Paydalar 2, 8 ve 4. En küçük ortak katları 8'dir.

2. 1/2 = (1 × 4)/(2 × 4) = 4/8.

3. 3/8 zaten paydası 8 olan bir kesirdir: 3/8.

4. 3/4 = (3 × 2)/(4 × 2) = 6/8.

5. Payları küçükten büyüğe dizeriz: 3 < 4 < 6.

6. Kesirlerin ilk hâllerine geri döneriz.

Sonuç: 3/8 < 1/2 < 3/4

Örnek 5: 5/6, 7/12, 2/3 ve 3/4 kesirlerini büyükten küçüğe sıralayalım.

Çözüm:

1. Paydalar 6, 12, 3 ve 4. Hepsinin en küçük ortak katı 12'dir.

2. 5/6 = (5 × 2)/(6 × 2) = 10/12.

3. 7/12 olduğu gibi kalır.

4. 2/3 = (2 × 4)/(3 × 4) = 8/12.

5. 3/4 = (3 × 3)/(4 × 3) = 9/12.

6. Payları büyükten küçüğe dizeriz: 10 > 9 > 8 > 7.

Sonuç: 5/6 > 3/4 > 2/3 > 7/12

Örnek 6: 3/5 ve 7/5 kesirlerini sayı doğrusunda gösterelim.

Çözüm:

1. Paydalar 5 olduğu için 0 ile 1 arasını ve 1 ile 2 arasını 5'er eşit parçaya böleriz. Her parça 1/5'tir.

2. 3/5 için 0'dan başlayıp sağa doğru 3 parça sayarız. 3/5, 0 ile 1 arasındaki 3. çizgidedir.

3. 7/5 bileşik kesirdir. 7 ÷ 5 işleminde bölüm 1, kalan 2 olduğu için 7/5 = 1 2/5.

4. Bu yüzden 7/5, 1'den sonra 2 parça sağdadır, yani 1 ile 2 arasındaki 2. çizgidedir.

5. 7/5, 3/5'in sağında kaldığı için daha büyüktür.

Sonuç: 3/5, 0 ile 1 arasında; 7/5 ise 1 ile 2 arasındadır ve 7/5 > 3/5

Örnek 7: 2 1/3 ile 9/4 sayılarını karşılaştıralım.

Çözüm:

1. Tam sayılı kesri bileşik kesre çeviririz: 2 1/3 = (2 × 3 + 1)/3 = 7/3.

2. 3 ve 4'ün en küçük ortak katı 12'dir.

3. 7/3 = (7 × 4)/(3 × 4) = 28/12.

4. 9/4 = (9 × 3)/(4 × 3) = 27/12.

5. 28 > 27 olduğu için 28/12 > 27/12.

Sonuç: 2 1/3 > 9/4

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: 1/3 > 1/2, çünkü 3 sayısı 2'den büyük. Doğrusu: Paylar eşitken paydası büyük olan kesrin parçaları küçüktür. Bu yüzden 1/3 < 1/2.
• Yanlış: 3/8 > 2/3, çünkü 3 > 2. Doğrusu: Paydalar farklıyken yalnızca paylara bakılmaz. 3/8 = 9/24, 2/3 = 16/24 olduğu için 3/8 < 2/3.
• Yanlış: Ortak paydaya getirirken yalnızca paydayı çarpmak: 2/3 = 2/12. Doğrusu: Pay da aynı sayıyla çarpılır. 2/3 = (2 × 4)/(3 × 4) = 8/12.
• Yanlış: Sayı doğrusunda 0'daki çizgiyi 1. çizgi saymak ve 3/4'ü 0 ile 1 arasındaki 2. ara çizgiye koymak. Doğrusu: Sayma 0'dan başlar ama 0 sayılmaz. Her atlama bir parçadır, 3/4 üçüncü atlamanın sonundadır.
• Yanlış: 1 3/4 > 2 1/5, çünkü 3/4 > 1/5. Doğrusu: Tam sayılı kesirlerde önce tam kısımlara bakılır. 2 > 1 olduğu için 2 1/5 > 1 3/4.

Alıştırma

1. 5/9 ile 7/9 arasına <, > ya da = işaretlerinden uygun olanı koyunuz.

2. 6/7 ile 6/11 arasına uygun işareti koyunuz.

3. 3/5 ile 2/3 arasına uygun işareti koyunuz.

4. 5/8 ile 7/12 arasına uygun işareti koyunuz.

5. 4/6 ile 6/9 arasına uygun işareti koyunuz.

6. 2/5, 1/2 ve 3/10 kesirlerini küçükten büyüğe sıralayınız.

7. 3/4, 5/8, 7/16 ve 1/2 kesirlerini büyükten küçüğe sıralayınız.

8. 11/4 kesri sayı doğrusunda hangi iki ardışık tam sayı arasındadır? Kaçıncı çizgidedir?

9. 2 2/5 ile 13/6 sayılarından hangisi büyüktür?

10. Aynı büyüklükteki iki pastadan birincisinin 3/8'i, ikincisinin 2/5'i yenmiştir. Hangi pastadan daha çok yenmiştir?

Cevap Anahtarı

• 1. 5/9 < 7/9. İpucu: Paydalar eşit, 5 < 7 olduğu için payı küçük olan küçüktür.
• 2. 6/7 > 6/11. İpucu: Paylar eşit, paydası küçük olan 6/7'nin parçaları daha büyüktür.
• 3. 3/5 < 2/3. İpucu: Ortak payda 15 alınınca 9/15 < 10/15 olur.
• 4. 5/8 > 7/12. İpucu: Ortak payda 24 alınınca 15/24 > 14/24 olur.
• 5. 4/6 = 6/9. İpucu: İki kesir de sadeleşince 2/3 olur, yani denk kesirlerdir.
• 6. 3/10 < 2/5 < 1/2. İpucu: Ortak payda 10 alınınca kesirler 4/10, 5/10 ve 3/10 olur.
• 7. 3/4 > 5/8 > 1/2 > 7/16. İpucu: Ortak payda 16 alınınca paylar 12, 10, 8 ve 7 olur.
• 8. 2 ile 3 arasında, 2'den sonraki 3. çizgidedir. İpucu: 11 ÷ 4 işleminde bölüm 2, kalan 3 olduğu için 11/4 = 2 3/4.
• 9. 2 2/5 daha büyüktür. İpucu: 2 2/5 = 12/5 olur, ortak payda 30 alınınca 72/30 > 65/30.
• 10. İkinci pastadan daha çok yenmiştir. İpucu: Ortak payda 40 alınınca 3/8 = 15/40 ve 2/5 = 16/40 olur.

Dersin özeti

• Paydaları eşit olan kesirlerde payı büyük olan kesir büyüktür, çünkü parçalar aynı büyüklüktedir.
• Payları eşit olan kesirlerde paydası küçük olan kesir büyüktür, çünkü bütün daha az parçaya bölündüğü için parçalar daha büyüktür.
• Payları da paydaları da farklı olan kesirler genişletilerek ortak paydaya getirilir, sonra paylar karşılaştırılır. Tam sayılı kesirlerde önce tam kısımlara bakılır.
• Sayı doğrusunda iki tam sayı arası payda kadar eşit parçaya bölünür. Sağdaki kesir her zaman soldakinden büyüktür.
• 1/2 ile karşılaştırmak ya da kesrin 1'e ne kadar eksik olduğuna bakmak, hesap yapmadan hızlı karar vermeyi sağlar.

Bir sonraki derste bu bilgilerle kesirlerle toplama ve çıkarma yapacağız. Orada da bugün kullandığımız ortak paydaya getirme yöntemi en önemli adım olacak. Çünkü kesirleri toplamak ya da çıkarmak için de parçaların aynı büyüklükte olması gerekir.