Kesirlerle Toplama ve Çıkarma

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde bir bütünün eş parçalarını kesirle göstermeyi, denk kesirleri, genişletmeyi ve sadeleştirmeyi öğrendik. Örneğin 1/2 ile 2/4'ün aynı miktar olduğunu, yani denk kesirler olduğunu gördük. Bu derste o bilgiyi kullanacağız. Çünkü kesirleri toplamanın ve çıkarmanın sırrı, onları aynı büyüklükteki parçalarla yazabilmektir.

Günlük hayatta kesirlerle çok sık toplama ve çıkarma yaparız. Bir pizzanın 3/8'ini sen, 2/8'ini kardeşin yerse ikiniz birlikte pizzanın kaçta kaçını yemiş olursunuz? Bir tarifte 1/2 kg un ve 1/4 kg şeker isteniyorsa toplam kaç kilogram malzeme kullanılır? Bir şişe suyun 3/4'ü doluyken 1/4'ü kadarını içersen şişede ne kadar su kalır? Bu soruların hepsi kesirlerle toplama ya da çıkarma sorusudur.

Şunu düşünelim: 3 elma ile 2 elmayı toplarız ve 5 elma buluruz. Peki 3 elma ile 2 armudu toplayıp «5 elma» diyebilir miyiz? Diyemeyiz. Kesirlerde de durum aynıdır. Payda, parçanın büyüklüğünü (türünü) söyler. Pay ise o parçadan kaç tane olduğunu söyler. Aynı tür parçaları kolayca toplarız. Farklı türdeki parçaları ise önce aynı türe çevirmemiz gerekir. Dersin tamamı bu fikre dayanıyor.

Tanım ve kural

1. Paydaları eşit kesirler: Paydaları eşit olan kesirleri toplarken ya da çıkarırken paylar toplanır ya da çıkarılır, payda aynen yazılır.

Neden? 2/7 demek «yedide birlik parçadan 2 tane» demektir. 3/7 ise «yedide birlik parçadan 3 tane» demektir. İkisini birleştirirsek yedide birlik parçadan 2 + 3 = 5 tane oluyor, yani 5/7. Parçaların büyüklüğü değişmedi, yalnızca sayısı arttı. Bu yüzden payda aynı kalır. Paydaları da toplayıp 5/14 yazsaydık parçaları küçültmüş olurduk. Oysa toplama yapınca miktarın küçülmesi imkânsızdır.

2. Paydaları farklı kesirler: Paydalar farklıysa önce kesirler genişletilerek (ya da sadeleştirilerek) ortak paydaya getirilir, sonra paylarla işlem yapılır.

Neden? 1/2 ile 1/3'ün parçaları farklı büyüklüktedir. Yarım bir parça ile üçte birlik bir parçayı «2 parça» diye sayamayız. Bunun için ikisini de aynı büyüklükte parçalarla ifade ederiz: 1/2 = 3/6 ve 1/3 = 2/6. Artık ikisi de «altıda birlik» parçalardan oluşuyor. 3 parça ile 2 parça 5 parça eder, yani 5/6. Ortak payda bulmak için paydaların ortak katlarından birini seçeriz. En küçük ortak katı seçersek sayılar küçük kalır ve işlem kolaylaşır.

3. Tam sayılı kesirler: Tam kısımlar kendi arasında, kesir kısımları kendi arasında toplanır ya da çıkarılır. Çıkarmada üstteki kesir kısmı alttakinden küçükse tam kısımdan 1 bütün alınıp kesre eklenir. İstersen tam sayılı kesirleri önce bileşik kesre çevirip de işlem yapabilirsin. İki yol da aynı sonucu verir.

4. Sonuç: Bulduğun kesir sadeleşebiliyorsa sadeleştir. Payı paydasından büyükse tam sayılı kesir olarak da yazabilirsin.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

2/7 + 3/7 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

• Paydalar eşit (ikisi de 7), yani parçalar aynı büyüklükte.
• Payları toplarız: 2 + 3 = 5.
• Payda aynen kalır: 7.
• Sonuç: 5/7

Örnek 2

5/8 − 1/8 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

• Paydalar eşit (8).
• Payları çıkarırız: 5 − 1 = 4. Kesir 4/8 olur.
• 4/8 sadeleşir: pay ve paydayı 4'e böleriz. 4 ÷ 4 = 1, 8 ÷ 4 = 2.
• Sonuç: 1/2

Örnek 3

1/2 + 1/3 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

• Paydalar farklı (2 ve 3). Ortak payda gerekir.
• 2 ile 3'ün en küçük ortak katı 6'dır.
• 1/2'yi 3 ile genişletiriz: 1/2 = 3/6.
• 1/3'ü 2 ile genişletiriz: 1/3 = 2/6.
• Topla: 3/6 + 2/6 = 5/6.
• Sonuç: 5/6

Örnek 4

3/4 − 1/6 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

• Paydalar farklı (4 ve 6).
• 4'ün katları: 4, 8, 12, … 6'nın katları: 6, 12, … En küçük ortak kat 12'dir.
• 3/4'ü 3 ile genişlet: 3/4 = 9/12.
• 1/6'yı 2 ile genişlet: 1/6 = 2/12.
• Çıkar: 9/12 − 2/12 = 7/12. 7 ile 12'nin 1'den başka ortak böleni yok, sadeleşmez.
• Sonuç: 7/12

Örnek 5

2 1/3 + 1 3/4 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

• Tam kısımları topla: 2 + 1 = 3.
• Kesir kısımlarını ortak paydaya getir (3 ve 4 için 12): 1/3 = 4/12, 3/4 = 9/12.
• Kesirleri topla: 4/12 + 9/12 = 13/12.
• 13/12, bir bütünden fazladır: 13/12 = 1 1/12.
• Tam kısımla birleştir: 3 + 1 1/12 = 4 1/12.
• Kontrol: 2 1/3 = 7/3 = 28/12 ve 1 3/4 = 7/4 = 21/12. 28/12 + 21/12 = 49/12 = 4 1/12. Aynı sonuç.
• Sonuç: 4 1/12

Örnek 6

4 1/5 − 1 2/3 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

• Kesir kısımlarını ortak paydaya getir (5 ve 3 için 15): 1/5 = 3/15, 2/3 = 10/15.
• İşlem 4 3/15 − 1 10/15 oldu. 3/15, 10/15'ten küçük olduğu için doğrudan çıkaramayız.
• 4 tamdan 1 bütün al: 1 bütün = 15/15. Böylece 4 3/15 = 3 18/15 olur.
• Tamları çıkar: 3 − 1 = 2. Kesirleri çıkar: 18/15 − 10/15 = 8/15.
• Kontrol: 21/5 − 5/3 = 63/15 − 25/15 = 38/15 = 2 8/15. Aynı sonuç.
• Sonuç: 2 8/15

Örnek 7 (günlük hayat problemi)

Bir pastacı 2 1/2 kg un almıştır. Bu unun 3/4 kg'ını kek için, 1 1/8 kg'ını kurabiye için kullanmıştır. Geriye kaç kg un kalmıştır?

Çözüm:

• Önce kullanılan unu bulalım: 3/4 + 1 1/8.
• 3/4'ü 8 paydalı yaz: 3/4 = 6/8. Toplam: 6/8 + 1 1/8 = 1 7/8 kg.
• Şimdi kalan unu bulalım: 2 1/2 − 1 7/8.
• 1/2'yi 8 paydalı yaz: 1/2 = 4/8. İşlem 2 4/8 − 1 7/8 olur.
• 4/8, 7/8'den küçük. 2 tamdan 1 bütün (8/8) al: 2 4/8 = 1 12/8.
• Çıkar: 1 12/8 − 1 7/8 = 0 5/8 = 5/8.
• Kontrol: 2 1/2 = 20/8. 20/8 − 6/8 − 9/8 = 5/8.
• Sonuç: Geriye 5/8 kg un kalmıştır.

Sınav ipucu (tahmin ile şık eleme): İşlem yapmadan önce sonucu kabaca tahmin et. Örneğin 1/2 + 1/3 sorusunda sonuç 1/2'den büyük, 1'den küçük olmalıdır. Şıklarda 2/5 varsa hemen ele, çünkü 2/5 zaten 1/2'den küçüktür. Çıkarma sorularında da sonuç, büyük olan sayıdan büyük çıkamaz. Bu kısa kontrol birkaç saniye sürer ama seni birçok yanlış şıktan kurtarır.

Sık yapılan hatalar

• Payları ve paydaları ayrı ayrı toplamak. Yanlış: 1/2 + 1/3 = 2/5. Doğrusu: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. (2/5, 1/2'den bile küçük. İki pozitif sayıyı toplayınca sayılardan birinden küçük sonuç çıkamaz.)
• Paydalar eşitken paydayı da toplamak. Yanlış: 3/5 + 1/5 = 4/10. Doğrusu: 3/5 + 1/5 = 4/5. (Parçaların büyüklüğü değişmez, yalnızca sayısı değişir.)
• Genişletirken yalnızca paydayı çarpmak. Yanlış: 1/4 = 1/12. Doğrusu: 1/4 = 3/12. (Pay ve paydanın ikisi de aynı sayıyla çarpılmalı, yoksa kesrin değeri değişir.)
• Tam sayılı kesirlerde küçükten büyüğü ters çıkarmak. Yanlış: 3 1/4 − 1 3/4 = 2 2/4 (3/4 − 1/4 yapılmış). Doğrusu: 3 1/4 = 2 5/4 yazılır. 2 5/4 − 1 3/4 = 1 2/4 = 1 1/2.
• Tam sayıdan kesir çıkarırken tamı unutmak. Yanlış: 5 − 2/3 = 3/3 veya 5 2/3. Doğrusu: 5 = 4 3/3 yazılır. 4 3/3 − 2/3 = 4 1/3.

Alıştırma

• 1) 3/9 + 4/9 = ?
• 2) 7/10 − 3/10 = ? (Sonucu sadeleştir.)
• 3) 1/4 + 1/2 = ?
• 4) 5/6 − 1/3 = ? (Sonucu sadeleştir.)
• 5) 2/3 + 1/5 = ?
• 6) 7/8 − 5/12 = ?
• 7) 1 2/5 + 2 1/2 = ?
• 8) 3 1/6 − 1 1/2 = ? (Sonucu sadeleştir.)
• 9) 6 − 2 3/8 = ?
• 10) Bir yolun birinci gün 1/3'ü, ikinci gün 2/5'i yapılmıştır. İki günde yolun kaçta kaçı yapılmıştır? Yolun kaçta kaçı kalmıştır?

Cevap Anahtarı

• 1) 7/9: Paydalar eşit olduğu için paylar toplanır: 3 + 4 = 7.
• 2) 2/5: 7 − 3 = 4 olduğundan 4/10 bulunur, 2'ye bölünerek 2/5'e sadeleşir.
• 3) 3/4: 1/2 = 2/4 yazılır ve 1/4 + 2/4 = 3/4 olur.
• 4) 1/2: 1/3 = 2/6 yazılır, 5/6 − 2/6 = 3/6 olur ve 3/6 = 1/2'dir.
• 5) 13/15: Ortak payda 15'tir, 10/15 + 3/15 = 13/15 olur.
• 6) 11/24: Ortak payda 24'tür, 21/24 − 10/24 = 11/24 olur.
• 7) 3 9/10: Tamlar 1 + 2 = 3, kesirler 4/10 + 5/10 = 9/10 olur.
• 8) 1 2/3: 3 1/6 − 1 3/6 işleminde 3 1/6 = 2 7/6 yazılır, sonuç 1 4/6 = 1 2/3 olur.
• 9) 3 5/8: 6 = 5 8/8 yazılır ve 5 8/8 − 2 3/8 = 3 5/8 olur.
• 10) Yapılan 11/15, kalan 4/15: 5/15 + 6/15 = 11/15 bulunur, bütün 15/15 olduğundan 15/15 − 11/15 = 4/15 kalır.

Dersin özeti

• Payda parçanın büyüklüğünü, pay parça sayısını gösterir. Bu yüzden paydalar eşitse yalnızca paylarla işlem yapılır, payda aynen yazılır.
• Paydalar farklıysa kesirler önce genişletilerek ortak paydaya getirilir. En küçük ortak katı seçmek işlemi kolaylaştırır.
• Tam sayılı kesirlerde tamlar ve kesirler ayrı ayrı işleme girer. Çıkarmada kesir kısmı yetmezse tamdan 1 bütün alınır. İstersen bileşik kesre çevirerek de çözebilirsin.
• Sonucu sadeleştir ve tahminle kontrol et: toplama sonucu toplananlardan küçük, çıkarma sonucu da büyük sayıdan büyük olamaz.
• Sıradaki derslerde kesirlerle diğer işlemlere ve ondalık gösterime geçeceğiz. Ortak payda ve genişletme becerisi orada da işimize yarayacak.