Çarpanlar, Katlar ve Asal Çarpanlara Ayırma

LGS Matematik kursuna hoş geldin! Sekiz derste çarpanlar ve katlar, olasılık, veri analizi ve yeni nesil sorular üzerine çalışacağız. İlk dersimiz bütün ünitenin temeli: çarpanlar, katlar ve asal çarpanlara ayırma. Kuralları ezberlemeyeceğiz, her birinin neden öyle olduğunu birlikte göreceğiz.

Günlük hayattan giriş

Elinde 24 tane kurabiye olduğunu ve bunları tabaklara eşit olarak, hiç artmayacak şekilde dağıtmak istediğini düşün. 2 tabağa 12'şer, 3 tabağa 8'er, 4 tabağa 6'şar kurabiye koyabilirsin. Ama 5 tabağa eşit dağıtamazsın, çünkü kurabiye artar. Kalansız dağıtabildiğin tabak sayıları, yani 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24, aslında 24'ün çarpanlarıdır.

Şimdi de bir otobüsün duraktan her 15 dakikada bir kalktığını düşün. İlk sefer 15. dakikada, sonra 30., 45., 60. dakikada kalkar. Bu sayılar 15'in katlarıdır. Katlar hiç bitmez; otobüs çalıştığı sürece yeni bir kat gelir.

Bir kutuya kare fayansları dikdörtgen biçiminde dizmek, sınıfı eşit gruplara ayırmak, iki olayın aynı anda ne zaman tekrarlanacağını bulmak gibi durumların hepsi çarpan ve kat bilgisine dayanır. LGS'deki yeni nesil sorular da genellikle bu tür günlük hayat durumlarıyla karşımıza çıkar.

Tanım ve kural

Çarpan (bölen): Bir sayıyı kalansız bölen doğal sayılara o sayının çarpanları denir. Örneğin 12 ÷ 4 = 3 ve kalan 0 olduğu için 4, 12'nin bir çarpanıdır. Bunun nedeni 4 × 3 = 12 yazılabilmesidir. Yani çarpanlar her zaman çiftler hâlinde bulunur: 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4.

Kat: Bir sayının 1, 2, 3, 4, ... ile çarpılmasıyla elde edilen sayılara o sayının pozitif katları denir. 6'nın pozitif katları 6, 12, 18, 24, ... şeklinde sonsuza kadar gider. Çarpanlar ise sınırlıdır ve sayının kendisinden büyük olamaz.

Asal sayı: 1'den büyük olan ve yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen doğal sayılardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... 1 asal değildir, çünkü tek bir çarpanı vardır; asal sayının ise tam olarak iki farklı çarpanı olmalıdır. 2, tek çift asal sayıdır, çünkü diğer bütün çift sayılar 2'ye de bölünür.

Asal çarpanlara ayırma: Her 1'den büyük doğal sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Bunu bulmak için bölen ağacı ya da bölme yöntemi kullanırız. Sayıyı iki çarpana ayırır, asal olmayan dalları asal sayılara ulaşana kadar ayırmaya devam ederiz. Hangi çarpanlarla başlarsan başla, sonuçta aynı asal çarpanları bulursun.

Pozitif bölen sayısı: Sayı asal çarpanlarına ayrıldığında üslerin her birine 1 eklenir ve bu sayılar çarpılır. Örneğin 72 = 2³ × 3² ise bölen sayısı (3 + 1) × (2 + 1) = 12 olur.

Neden böyle? 72'nin her böleni 2ᵃ × 3ᵇ biçimindedir. 2'nin üssü 0, 1, 2 ya da 3 olabilir; yani 4 seçenek vardır. 3'ün üssü 0, 1 ya da 2 olabilir; yani 3 seçenek vardır. Her seçimi birbiriyle eşleştirdiğimizde 4 × 3 = 12 farklı bölen elde ederiz. Üssün 0 olabileceğini unutmamak için üslere 1 ekleriz.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 24'ün pozitif çarpanlarını bulunuz.

Çözüm:

Çarpımı 24 olan sayı çiftlerini küçükten başlayarak yazalım.

1 × 24, 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6

5, 24'ü kalansız bölmez. Sıradaki 6 zaten 4 × 6 çiftinde var, bu yüzden durabiliriz.

Sonuç: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (8 tane)

Örnek 2: 7'nin 40'tan küçük pozitif katlarını yazınız.

Çözüm:

7 × 1 = 7, 7 × 2 = 14, 7 × 3 = 21, 7 × 4 = 28, 7 × 5 = 35

7 × 6 = 42, bu sayı 40'tan büyük olduğu için duruyoruz.

Sonuç: 7, 14, 21, 28, 35

Örnek 3: 60 sayısını bölen ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

60'ı 2 ve 30 olarak ayır. 2 asaldır, bu dal biter.

30'u 2 ve 15 olarak ayır. 2 asaldır, bu dal biter.

15'i 3 ve 5 olarak ayır. İkisi de asaldır.

Dalların ucundaki asal sayılar: 2, 2, 3, 5

Sağlama: 2 × 2 × 3 × 5 = 4 × 15 = 60

Sonuç: 60 = 2² × 3 × 5

Örnek 4: 72 sayısının kaç tane pozitif böleni vardır?

Çözüm:

72 = 2 × 36 = 2 × 2 × 18 = 2 × 2 × 2 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

Üslü yazım: 72 = 2³ × 3²

Üslere 1 ekle: 3 + 1 = 4 ve 2 + 1 = 3

Çarp: 4 × 3 = 12

Kontrol: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72, yani 12 tane.

Sonuç: 12 pozitif böleni vardır.

Örnek 5: 180 sayısının pozitif bölen sayısını bulunuz.

Çözüm:

180 = 2 × 90 = 2 × 2 × 45 = 2 × 2 × 3 × 15 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5

Üslü yazım: 180 = 2² × 3² × 5¹

Üslere 1 ekle: 3, 3 ve 2

Çarp: 3 × 3 × 2 = 18

Sonuç: 18 pozitif böleni vardır.

Örnek 6 (yeni nesil): Bir öğrenci 36 adet eş kare kartonu boşluk bırakmadan ve hepsini kullanarak dikdörtgen şeklinde dizecektir. Kenar uzunluklarının yer değiştirmesi aynı dikdörtgen sayılırsa kaç farklı dikdörtgen oluşturabilir? (Kare de bir dikdörtgendir.)

Çözüm:

Dikdörtgenin satır sayısı × sütun sayısı = 36 olmalıdır.

Çarpımı 36 olan çiftler: 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9, 6 × 6

Örneğin 4 × 9 ile 9 × 4 aynı dikdörtgen sayıldığı için her çifti bir kez sayarız.

Sonuç: 5 farklı dikdörtgen

Örnek 7 (LGS tipi): 2ᵃ × 3² şeklinde yazılan bir sayının 12 tane pozitif böleni vardır. Buna göre a kaçtır?

Çözüm:

Bölen sayısı: (a + 1) × (2 + 1) = 12

(a + 1) × 3 = 12

a + 1 = 4

a = 3 (Sayı 2³ × 3² = 72 olur; Örnek 4'te bunun 12 böleni olduğunu görmüştük.)

Sonuç: a = 3

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: "1 en küçük asal sayıdır." Doğrusu: 1 asal değildir, çünkü yalnızca bir çarpanı vardır. En küçük asal sayı 2'dir.
• Yanlış: 72 = 2³ × 3² için bölen sayısı 3 × 2 = 6. Doğrusu: Üsler doğrudan çarpılmaz, önce her üsse 1 eklenir: (3 + 1) × (2 + 1) = 12.
• Yanlış: 36 = 4 × 9 yazıp asal çarpanlara ayırmayı bitirmek. Doğrusu: 4 ve 9 asal değildir. Ayırmaya devam et: 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3².
• Yanlış: 12'nin çarpanlarını 1, 2, 3, 4, 6 diye yazmak. Doğrusu: Sayının kendisi de çarpanıdır: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Yanlış: Çarpan ile katı karıştırmak ("24, 6'nın çarpanıdır"). Doğrusu: 24, 6'nın katıdır; 6 ise 24'ün çarpanıdır. Küçük sayı büyüğün çarpanı, büyük sayı küçüğün katıdır.

LGS için taktikler

• Soru tipi: Bu konuda genellikle bölen sayısı, asal çarpan bulma, kare fayans ya da eşit gruplama gibi günlük hayat durumları sorulur. LGS'nin sayısal oturumunda matematik ve fen soruları için toplam 80 dakika vardır. Bu tür bir soruya yaklaşık 2 dakika ayırmayı hedefle.
• Tek-çift eleme: Bir sayı tam kare değilse bölenleri çiftler hâlinde gelir, bu yüzden bölen sayısı çifttir. Tam kare sayılarda ise ortadaki çarpan kendisiyle eşleşir, bu yüzden bölen sayısı tektir (36 → 9, 100 → 9). Şıklarda uymayanları hemen ele.
• Asallık testi: Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için yalnızca karekökünden küçük veya ona eşit asallara bölmeyi dene. Örneğin 91 için √91 yaklaşık 9,5 olduğundan 2, 3, 5 ve 7'yi denemen yeterlidir.
• Sağlama: Asal çarpanlarını bulduktan sonra çarpıp asıl sayıyı elde ettiğini kontrol et. Bu kontrol 10 saniye sürer, puan kaybını önler.

Alıştırma

1) 18'in pozitif çarpanlarını yazınız.

2) 9'un 50'den küçük pozitif katları kaç tanedir?

3) 1 ile 30 arasında kaç tane asal sayı vardır?

4) 84 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

5) 48 sayısının kaç pozitif böleni vardır?

6) 100 sayısının kaç pozitif böleni vardır?

7) 2³ × 5 sayısı kaçtır ve kaç pozitif böleni vardır?

8) 91 asal sayı mıdır? Açıklayınız.

9) 3ⁿ × 5 şeklindeki bir sayının 8 pozitif böleni vardır. n kaçtır?

10) 48 adet eş kare fayans, hepsi kullanılarak dikdörtgen şeklinde dizilecektir. Kenarların yer değiştirmesi aynı sayılırsa kaç farklı dikdörtgen elde edilir?

Cevap Anahtarı

• 1) 1, 2, 3, 6, 9, 18. İpucu: 1 × 18, 2 × 9 ve 3 × 6 çiftlerini yaz.
• 2) 5 tane. İpucu: 9, 18, 27, 36, 45 yazılır; 54 ise 50'den büyüktür.
• 3) 10 tane. İpucu: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 sayılır.
• 4) 84 = 2² × 3 × 7. İpucu: 84 → 2 × 42 → 2 × 2 × 21 → 2 × 2 × 3 × 7.
• 5) 10. İpucu: 48 = 2⁴ × 3 olduğundan (4 + 1) × (1 + 1) = 10.
• 6) 9. İpucu: 100 = 2² × 5² olduğundan 3 × 3 = 9; tam kare olduğu için sonuç tektir.
• 7) Sayı 40'tır, 8 pozitif böleni vardır. İpucu: 8 × 5 = 40 ve (3 + 1) × (1 + 1) = 8.
• 8) Hayır, asal değildir. İpucu: 91 = 7 × 13 olduğundan 7'ye kalansız bölünür.
• 9) n = 3. İpucu: (n + 1) × 2 = 8 denkleminden n + 1 = 4 bulunur; sayı 135'tir.
• 10) 5 farklı dikdörtgen. İpucu: 1 × 48, 2 × 24, 3 × 16, 4 × 12 ve 6 × 8 çiftleri vardır.

Dersin özeti

• Bir sayıyı kalansız bölen doğal sayılar o sayının çarpanlarıdır; çarpanlar sınırlıdır ve çiftler hâlinde bulunur. Katlar ise sonsuza kadar gider.
• Asal sayılar yalnızca 1'e ve kendisine bölünür. 1 asal değildir, 2 tek çift asal sayıdır.
• Bölen ağacıyla sayıyı asal çarpanlarına ayır, sonucu üslü yaz ve çarparak sağlamasını yap.
• Bölen sayısı: Her üsse 1 ekle ve çarp. Bunun nedeni, her asalın üssünün 0'dan başlayarak seçilebilmesidir.
• Tam kare sayıların bölen sayısı tek, diğer sayılarınki çifttir. LGS'de şık elerken bu bilgiyi kullan.