Aralarında Asal Sayılar ve EBOB-EKOK Günlük Hayat Problemleri

Günlük hayattan giriş

Önceki derste bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmayı, iki ya da üç sayının EBOB'unu (en büyük ortak bölen) ve EKOK'unu (en küçük ortak kat) hesaplamayı öğrendik. Hesap yapmayı artık biliyoruz. Ama LGS'de soru bize doğrudan "EBOB'u bulun" demez. Karşımıza bir fayans ustası, bir terzi ya da otobüs durağında bekleyen biri çıkar. Hangi hesabı yapacağımıza bizim karar vermemiz gerekir. Bu dersin asıl amacı da bu: soruyu okuyunca EBOB mu EKOK mu gerektiğini anlamak.

Şöyle düşünün: Odanızın zeminine hiç kesmeden, olabildiğince büyük kare fayanslar döşemek istiyorsunuz. Fayansın kenarı hem odanın eninde hem boyunda tam sayıda sığmalı. Yani fayansın kenarı, iki uzunluğun da ortak böleni olmalı. En büyüğü istendiği için EBOB'u alırız. Bu tür problemlerde büyük bir şey küçük, eş parçalara bölünür.

Şimdi başka bir durum: İki otobüs aynı duraktan birlikte kalkıyor. Biri 12 dakikada bir, öteki 18 dakikada bir kalkıyor. Tekrar ne zaman birlikte kalkarlar? Geçen süre hem 12'nin hem 18'in katı olmalı. İlk buluşma sorulduğu için en küçük ortak katı, yani EKOK'u alırız. Bu tür problemlerde zaman ilerler ya da küçük parçalar birleşip büyük bir bütün oluşturur. Başlamadan önce bir kavrama daha bakalım: aralarında asal sayılar. Bu kavram hem tek başına soruluyor hem de EKOK hesabını kısaltıyor.

Tanım ve kural

Aralarında asal sayılar: 1'den başka ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir. Başka bir deyişle, EBOB'u 1 olan sayılar aralarında asaldır.

Örneğin 8 = 2³ ve 15 = 3 × 5. Bu iki sayının asal çarpanları arasında ortak olan yok. Bu yüzden EBOB(8, 15) = 1'dir ve 8 ile 15 aralarında asaldır. Dikkat edin: 8 de 15 de asal sayı değildir. Bir sayı tek başına asal olabilir ya da olmayabilir. "Aralarında asal" ise iki sayının birbiriyle ilişkisini anlatır.

Neden işimize yarar? İki sayının ortak asal çarpanı yoksa EKOK hesaplanırken hiçbir çarpan "ortak" diye bir kez sayılmaz. Bütün çarpanlar alınır. Bu yüzden aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir. Örneğin EKOK(8, 15) = 8 × 15 = 120.

Her iki sayı için geçerli bir kural: EBOB(a, b) × EKOK(a, b) = a × b. Nedeni şu: EBOB ortak çarpanları, EKOK ise tüm çarpanları bir kez içerir. İkisi çarpılınca her asal çarpan, iki sayıdaki toplam sayısı kadar kullanılmış olur. Bu da tam olarak a × b'yi verir. Dikkat: Bu kural yalnızca iki sayı için geçerlidir.

EBOB mu, EKOK mu? Karar verirken aşağıdaki tablo yol gösterir. En güvenli kontrol şudur: EBOB, verilen sayıların en küçüğünden büyük olamaz. EKOK ise en büyüğünden küçük olamaz.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 8 ile 15 ve 12 ile 18 sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?

Çözüm:

8 = 2³ ve 15 = 3 × 5. Ortak asal çarpan yoktur, yani EBOB(8, 15) = 1.

12 = 2² × 3 ve 18 = 2 × 3². Ortak çarpanlar 2 ve 3'tür, yani EBOB(12, 18) = 2 × 3 = 6.

EBOB'u 1 olan çift aralarında asaldır.

Sonuç: 8 ile 15 aralarında asaldır. 12 ile 18 aralarında asal değildir.

Örnek 2: A otobüsü 12 dakikada bir, B otobüsü 18 dakikada bir duraktan kalkıyor. İki otobüs saat 08.00'de birlikte kalktığına göre, ilk kez saat kaçta yine birlikte kalkarlar?

Çözüm:

A otobüsü 12, 24, 36, 48, … dakika sonra kalkar. Bunlar 12'nin katlarıdır.

B otobüsü 18, 36, 54, … dakika sonra kalkar. Bunlar 18'in katlarıdır.

"İlk kez yine birlikte" dendiği için en küçük ortak katı arıyoruz. Bu bir EKOK problemidir.

12 = 2² × 3 ve 18 = 2 × 3². EKOK = 2² × 3² = 4 × 9 = 36.

08.00'dan 36 dakika sonra saat 08.36 olur.

Sonuç: Saat 08.36'da yine birlikte kalkarlar.

Örnek 3: Boyutları 60 cm ve 84 cm olan dikdörtgen bir zemin, hiç kesilmeden ve boşluk kalmadan eş kare fayanslarla kaplanacaktır. Fayansların kenarı en fazla kaç cm olur? Bu durumda kaç fayans kullanılır?

Çözüm:

Fayansın kenarı hem 60'ı hem 84'ü tam bölmelidir. En büyüğü istendiği için EBOB alınır.

60 = 2² × 3 × 5 ve 84 = 2² × 3 × 7.

Ortak çarpanlar 2² ve 3'tür. EBOB = 4 × 3 = 12.

Enine 60 ÷ 12 = 5 fayans sığar. Boyuna 84 ÷ 12 = 7 fayans sığar.

Toplam fayans sayısı 5 × 7 = 35 olur.

Sonuç: Fayansın kenarı en fazla 12 cm olur ve 35 fayans kullanılır.

Örnek 4: Uzunlukları 48 m, 72 m ve 90 m olan üç ip, hiç artmayacak şekilde eşit uzunlukta parçalara ayrılacaktır. Parçalar olabildiğince uzun olacaksa toplam kaç parça elde edilir?

Çözüm:

Eş parçalara bölme ve "en uzun" ifadesi bir EBOB problemi olduğunu gösterir.

48 = 2⁴ × 3, 72 = 2³ × 3² ve 90 = 2 × 3² × 5.

Üçünde de ortak olan çarpanların en küçük üslüleri 2¹ ve 3¹'dir. EBOB = 2 × 3 = 6.

Her parça 6 m olur. Parça sayıları: 48 ÷ 6 = 8, 72 ÷ 6 = 12 ve 90 ÷ 6 = 15.

Toplam parça sayısı 8 + 12 + 15 = 35 olur.

Sonuç: Toplam 35 parça elde edilir.

Örnek 5: Eni 6 cm, boyu 8 cm olan dikdörtgen kartonlar aynı yönde yan yana ve üst üste dizilerek bir kare oluşturulacaktır. Oluşturulabilecek en küçük karenin kenarı kaç cm'dir? Bu kare için kaç karton gerekir?

Çözüm:

Burada küçük parçalar birleşip büyük bir bütün oluşturuyor. Karenin kenarı hem 6'nın hem 8'in katı olmalıdır. En küçüğü istendiği için EKOK alınır.

6 = 2 × 3 ve 8 = 2³. EKOK = 2³ × 3 = 24.

Bir kenara 24 ÷ 6 = 4 karton sığar. Öteki kenara 24 ÷ 8 = 3 karton sığar.

Gereken karton sayısı 4 × 3 = 12 olur.

Sonuç: Karenin kenarı 24 cm'dir ve 12 karton gerekir.

Örnek 6: Bir sepetteki yumurtalar 4'erli, 6'şarlı ve 9'arlı sayıldığında her seferinde 1 yumurta artıyor. Sepette 1'den fazla yumurta olduğuna göre, en az kaç yumurta vardır?

Çözüm:

Artan 1 yumurtayı çıkarırsak kalan sayı 4'e, 6'ya ve 9'a tam bölünür. Yani bu sayı bunların ortak katıdır.

4 = 2², 6 = 2 × 3 ve 9 = 3². EKOK = 2² × 3² = 36.

Artan yumurtayı geri ekleriz: 36 + 1 = 37.

Kontrol: 37 = 4 × 9 + 1, 37 = 6 × 6 + 1 ve 37 = 9 × 4 + 1. Her birinde 1 artıyor.

Sonuç: Sepette en az 37 yumurta vardır.

Örnek 7 (yeni nesil): İki doğal sayının EBOB'u 4, EKOK'u 60'tır. Sayılardan biri 12 olduğuna göre diğeri kaçtır?

Çözüm:

İki sayı için EBOB × EKOK = sayıların çarpımı kuralını kullanırız.

4 × 60 = 240 olduğundan 12 × (diğer sayı) = 240 olur.

Diğer sayı 240 ÷ 12 = 20'dir.

Kontrol: 12 = 2² × 3 ve 20 = 2² × 5. EBOB = 4 ve EKOK = 2² × 3 × 5 = 60. Değerler tutuyor.

Sonuç: Diğer sayı 20'dir.

Sık yapılan hatalar

• Aralarında asalı "ikisi de asal" sanmak: "8 ile 9 asal olmadığı için aralarında asal değildir" demek yanlıştır. Doğrusu: EBOB(8, 9) = 1 olduğu için aralarında asaldır. Ayrıca 1 sayısı her doğal sayıyla aralarında asaldır.
• Fayans sorusunda EKOK almak: 60 cm × 84 cm zemin için fayans kenarını EKOK(60, 84) = 420 cm bulmak yanlıştır. Fayans, zeminden büyük olamaz. Doğrusu: EBOB(60, 84) = 12 cm.
• Otobüs sorusunda süreleri çarpmak: 12 × 18 = 216 dakika sonra birlikte kalkarlar demek yanlıştır. Bu bir ortak kattır ama ilk buluşma değildir. Doğrusu: EKOK(12, 18) = 36 dakika. Çarpım, yalnızca sayılar aralarında asalsa EKOK'a eşittir.
• Kalanı unutmak: Örnek 6'da cevabı 36 yazmak yanlıştır. 36 yumurta 4'erli sayılınca hiç artmaz. Doğrusu: 36 + 1 = 37. "Her seferinde 3 eksik kalıyor" denseydi EKOK'tan 3 çıkarılırdı.
• Soruyu tam okumamak: Örnek 4'te "kaç parça?" sorusuna parça uzunluğu olan 6'yı yazmak yanlıştır. Doğrusu: EBOB bir ara adımdır. Cevap 8 + 12 + 15 = 35'tir.

LGS için taktikler

Soru tipi: LGS'de bu konu çoğunlukla bir hikâyenin içinde, tablo ya da şekille birlikte gelir. Soru genellikle iki adımlıdır. Önce EBOB ya da EKOK bulunur, sonra bununla parça sayısı, saat ya da toplam miktar hesaplanır.

Süre: Sayısal bölümde matematik soruları için soru başına ortalama 2 dakika düşünmek iyi bir hedeftir. Önce 20-30 saniyede "bölme mi, birleştirme mi?" kararını verin. Sonra hesaba geçin.

Şık eleme: EBOB sorusunda sayıların en küçüğünden büyük olan şıkları hemen eleyin. EKOK sorusunda sayıların en büyüğünden küçük olan şıkları eleyin. Kalanlı sorularda kalan şıkları tek tek bölerek deneyin. Örneğin 37 ÷ 4 işleminde kalanın 1 olup olmadığına bakmak, uzun hesaptan daha hızlıdır.

Alıştırma

1) 14 ile 25 aralarında asal mıdır?

2) 21 ile 35 aralarında asal mıdır?

3) 9 ile 16 sayılarının EKOK'u kaçtır?

4) Uzunlukları 45 cm ve 75 cm olan iki çubuk, artmayacak şekilde eşit ve olabildiğince uzun parçalara bölünecektir. Bir parçanın uzunluğu kaç cm olur? Toplam kaç parça elde edilir?

5) Bir lamba 10 saniyede bir, diğer lamba 15 saniyede bir yanıyor. İki lamba birlikte yandıktan en az kaç saniye sonra yine birlikte yanar?

6) Boyutları 36 m ve 48 m olan dikdörtgen bir bahçe, eş ve olabildiğince büyük kare parsellere ayrılacaktır. Kaç parsel oluşur?

7) Bir sınıftaki öğrenciler 5'erli ve 6'şarlı gruplara ayrıldığında her seferinde 2 öğrenci artıyor. Sınıf mevcudu 40'tan az olduğuna göre, sınıfta en fazla kaç öğrenci vardır?

8) Bir miktar kalem 8'erli ve 12'şerli paketlenmek istendiğinde her seferinde son pakete 3 kalem eksik kalıyor. En az kaç kalem vardır?

9) İki doğal sayının EBOB'u 6, EKOK'u 72'dir. Sayılardan biri 18 ise diğeri kaçtır?

10) Üç koşucu bir pisti sırasıyla 4, 6 ve 10 dakikada tamamlıyor. Başlangıç noktasından birlikte yola çıktıklarına göre, en az kaç dakika sonra başlangıç noktasında yine birlikte olurlar?

Cevap Anahtarı

• 1) Evet. 14 = 2 × 7 ve 25 = 5² olduğundan ortak çarpan yoktur, EBOB = 1'dir.
• 2) Hayır. İki sayı da 7'ye bölündüğü için EBOB(21, 35) = 7'dir.
• 3) 144. 9 ile 16 aralarında asal olduğundan EKOK = 9 × 16 = 144'tür.
• 4) 15 cm, 8 parça. EBOB(45, 75) = 15 olduğundan 45 ÷ 15 + 75 ÷ 15 = 3 + 5 = 8 parça çıkar.
• 5) 30 saniye. Birlikte yanma bir EKOK problemidir ve EKOK(10, 15) = 30'dur.
• 6) 12 parsel. EBOB(36, 48) = 12 olduğundan (36 ÷ 12) × (48 ÷ 12) = 3 × 4 = 12 parsel oluşur.
• 7) 32. EKOK(5, 6) = 30'dur. 30 + 2 = 32 olur, bir sonraki uygun sayı olan 62 ise 40'ı aşar.
• 8) 21. 3 kalem daha olsaydı sayı hem 8'e hem 12'ye bölünürdü. EKOK(8, 12) = 24 olduğundan 24 − 3 = 21'dir.
• 9) 24. 6 × 72 = 432 olduğundan diğer sayı 432 ÷ 18 = 24'tür.
• 10) 60 dakika. 4 = 2², 6 = 2 × 3 ve 10 = 2 × 5 olduğundan EKOK = 2² × 3 × 5 = 60'tır.

Dersin özeti

• EBOB'u 1 olan sayılar aralarında asaldır. Bu sayıların kendilerinin asal olması gerekmez: 8 ile 9 aralarında asaldır.
• Aralarında asal iki sayının EKOK'u çarpımlarına eşittir. Her iki sayı için EBOB × EKOK = sayıların çarpımı kuralı geçerlidir.
• Bir bütünü eş parçalara bölerken, kesmeden döşerken ya da "en büyük" parça sorulduğunda EBOB kullanılır.
• Parçaları birleştirirken, "yeniden birlikte" gibi zaman sorularında ya da "en az" miktar sorulduğunda EKOK kullanılır. Kalanlı sorularda kalan EKOK'a eklenir, eksik varsa çıkarılır.
• Sonucu kontrol edin: EBOB en küçük sayıdan büyük, EKOK en büyük sayıdan küçük olamaz. Bir sonraki derste bu karar verme becerisini daha uzun ve çok adımlı yeni nesil sorularda kullanacağız.