Olasılığa Giriş: Olası Durumlar ve Olay Çeşitleri

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde çarpanlar ve katlarla çalıştık: bir sayının çarpanlarını bulduk, asal sayıları ayırt ettik, EBOB ve EKOK kullandık. Bu bilgileri şimdi de kullanacağız. Olasılık sorularında sık sık “asal sayı gelmesi”, “3’ün katı gelmesi” ya da “12’nin çarpanı gelmesi” gibi durumlarla karşılaşacaksın. Yani önceki derslerde öğrendiklerin olasılık sorularında da işine yarayacak.

Günlük hayatta “Yarın yağmur yağabilir.”, “Bu maçı bizim takım kazanır herhalde.”, “Kurada benim adım çıkmaz.” gibi cümleleri çok kurarız. Bu cümlelerin hepsi bir şeyin ne kadar mümkün olduğu hakkında tahmindir. Bir oyunda zar attığında 6 gelip gelmeyeceğini önceden bilemezsin. Ama hangi sayıların gelebileceğini bilirsin: 1, 2, 3, 4, 5 veya 6. Hiçbir zaman 7 gelmez. Bunu kesin olarak söyleyebilirsin.

Sınıfta kura çekilirken ya da bir torbadan göz kapalı top seçerken de aynı durum vardır. Torbada çok sayıda mavi top varsa mavi topun gelmesini daha çok bekleriz. Olasılık konusu bu “daha çok bekleriz” düşüncesini sayılarla anlatmamızı sağlar. Bu derste önce kavramları sağlam öğreneceğiz. Bir sonraki derste de bu kavramlarla olasılığı adım adım hesaplayacağız.

Tanım ve kural

Deney: Sonucunu önceden kesin olarak bilemediğimiz ama olabilecek sonuçlarını bildiğimiz işlemdir. Zar atmak, para atmak, torbadan top çekmek birer deneydir.

Çıktı: Deneyin olabilecek sonuçlarının her biridir. Zar atınca “4 gelmesi” bir çıktıdır.

Örnek uzay: Bir deneyin olabilecek bütün çıktılarının oluşturduğu kümedir. Zar için örnek uzay {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesidir ve 6 çıktıdan oluşur.

Olay: Örnek uzayın bir parçasıdır, yani bizim ilgilendiğimiz çıktıların kümesidir. Zar atınca “çift sayı gelmesi” olayı {2, 4, 6} kümesidir. Dikkat et: Tek bir çıktı da bir olay olabilir, birden fazla çıktı da.

Neden “hilesiz” deriz? Zar hilesizse her yüzün gelme şansı aynıdır. Hileli bir zarda örneğin 6 daha sık gelebilir. Bu durumda çıktılar eşit şanslı olmaz. Soru “hilesiz zar”, “özdeş toplar”, “eş dilimlere ayrılmış çark” gibi ifadeler kullanıyorsa her çıktının şansı aynıdır.

Olay çeşitleri:

• Kesin olay: Her durumda gerçekleşen olaydır. Örnek uzayın tamamını kapsar. Zar atınca “6 veya daha küçük bir sayı gelmesi” kesin olaydır.
• İmkânsız olay: Hiçbir durumda gerçekleşmeyen olaydır. İçinde hiç çıktı yoktur. Zar atınca “7 gelmesi” imkânsız olaydır.
• Eşit şanslı olaylar: Çıktılar eşit şanslıysa, çıktı sayısı aynı olan olayların gerçekleşme şansı da aynıdır. Zarda “tek sayı gelmesi” {1, 3, 5} ile “çift sayı gelmesi” {2, 4, 6} olaylarının ikisi de 3 çıktı içerir, bu yüzden eşit şanslıdır.
• Daha olası / daha az olası olay: Çıktılar eşit şanslıysa, daha çok çıktı içeren olay daha olasıdır.

Olasılık neden 0 ile 1 arasındadır? Çıktılar eşit şanslıysa bir olayın olasılığı şöyle bulunur:

Olasılık = (istenen çıktı sayısı) ÷ (tüm çıktı sayısı)

İstenen çıktılar örnek uzayın bir parçası olduğu için sayısı hiçbir zaman tüm çıktı sayısını geçemez. En az 0 olabilir (hiç çıktı yoksa), en çok tüm çıktı sayısı kadar olabilir. Pay en az 0, en çok payda kadar olduğundan sonuç da en az 0, en çok 1 olur. İmkânsız olayda pay 0 olduğu için olasılık 0’dır. Kesin olayda pay paydaya eşit olduğu için olasılık 1’dir. Yani 0 ≤ olasılık ≤ 1.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Hilesiz bir madeni para atılıyor. Deneyin örnek uzayını yazınız. “Yazı gelmesi” olayını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Para atıldığında yalnızca yazı (Y) veya tura (T) gelebilir.

Adım 2: Örnek uzay {Y, T} olur ve 2 çıktı vardır.

Adım 3: “Yazı gelmesi” olayı yalnızca Y çıktısını içerir.

Sonuç: Örnek uzay {Y, T}, olay {Y}

Örnek 2: Hilesiz bir zar atılıyor. “Asal sayı gelmesi” olayının çıktılarını yazınız.

Çözüm:

Adım 1: Örnek uzay {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Adım 2: Asal sayılar yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen, 1’den büyük sayılardır. 1 asal değildir.

Adım 3: 2, 3 ve 5 asaldır. 4 = 2 × 2 ve 6 = 2 × 3 olduğu için asal değildir.

Sonuç: {2, 3, 5}, yani 3 çıktı

Örnek 3: Hilesiz bir zar atılıyor. Aşağıdaki olayların kesin mi, imkânsız mı olduğunu belirleyiniz: a) 7 gelmesi b) 7’den küçük bir sayı gelmesi.

Çözüm:

Adım 1: Zarda en büyük sayı 6’dır, bu yüzden 7 hiç gelemez. a) olayı hiç çıktı içermez.

Adım 2: 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayılarının hepsi 7’den küçüktür. b) olayı örnek uzayın tamamıdır.

Sonuç: a) imkânsız olay (olasılık 0), b) kesin olay (olasılık 1)

Örnek 4: Bir torbada 3 kırmızı, 5 mavi ve 2 yeşil özdeş bilye var. Göz kapalı bir bilye çekiliyor. Hangi rengin gelmesi en olasıdır? Renklerin gelme olasılıklarını yazınız.

Çözüm:

Adım 1: Toplam bilye sayısı 3 + 5 + 2 = 10. Her bilyenin çekilme şansı eşittir.

Adım 2: Kırmızı için istenen çıktı 3, mavi için 5, yeşil için 2.

Adım 3: Olasılıklar: kırmızı 3/10, mavi 5/10, yeşil 2/10.

Adım 4: Çıktı sayısı en fazla olan mavidir.

Sonuç: En olası renk mavi; olasılıklar 3/10, 5/10 = 1/2 ve 2/10 = 1/5

Kontrol: 3/10 + 5/10 + 2/10 = 10/10 = 1. Bütün renkleri toplayınca kesin olay elde edilir, bu yüzden toplam 1 çıkar.

Örnek 5: 8 eş dilime ayrılmış ve dilimleri 1’den 8’e kadar numaralanmış bir çark çevriliyor. “Çift sayı gelmesi” ile “tek sayı gelmesi” eşit şanslı mıdır? “3’ün katı gelmesi” olayı bunlardan daha mı az olasıdır?

Çözüm:

Adım 1: Örnek uzay {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, toplam 8 çıktı.

Adım 2: Çift sayılar {2, 4, 6, 8}, yani 4 çıktı. Tek sayılar {1, 3, 5, 7}, yani 4 çıktı.

Adım 3: Çıktı sayıları eşit olduğu için bu iki olay eşit şanslıdır. Olasılıkları 4/8 = 1/2.

Adım 4: 3’ün katları {3, 6}, yani 2 çıktı. Olasılığı 2/8 = 1/4.

Sonuç: Tek ve çift eşit şanslıdır; “3’ün katı gelmesi” daha az olasıdır.

Örnek 6 (LGS tarzı): 1’den 12’ye kadar numaralanmış 12 özdeş kart bir kutuda. Rastgele bir kart çekiliyor. Aşağıdaki olaylardan hangi ikisi eşit şanslıdır?
A) 4’ün katı gelmesi B) Asal sayı gelmesi C) 12’nin çarpanı gelmesi D) 9’dan büyük sayı gelmesi

Çözüm:

Adım 1: A olayı: 4’ün katları {4, 8, 12}, yani 3 çıktı.

Adım 2: B olayı: asal sayılar {2, 3, 5, 7, 11}, yani 5 çıktı.

Adım 3: C olayı: 12’nin çarpanları {1, 2, 3, 4, 6, 12}, yani 6 çıktı.

Adım 4: D olayı: 9’dan büyük sayılar {10, 11, 12}, yani 3 çıktı.

Adım 5: Çıktı sayısı aynı olan olaylar A ve D’dir (ikisi de 3/12 = 1/4).

Sonuç: A ve D eşit şanslıdır.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: “Torbada kırmızı ve mavi bilye var, iki renk olduğu için gelme şansları eşittir.” Doğrusu: Renk sayısına değil, bilye sayısına bakılır. 2 kırmızı ve 7 mavi bilye varsa mavinin gelmesi daha olasıdır.
• Yanlış: “Bu olayın olasılığı 5/4 çıktı.” Doğrusu: İstenen çıktı sayısı tüm çıktı sayısını geçemez. Olasılık 1’den büyük çıkıyorsa hesapta hata vardır.
• Yanlış: “Zarda 0 gelmesi çok az olası bir olaydır.” Doğrusu: Zarda 0 yoktur, bu olay imkânsızdır. Olasılığı “çok az” değil, tam olarak 0’dır.
• Yanlış: “Zarda asal sayılar {1, 2, 3, 5}.” Doğrusu: 1 asal sayı değildir. Doğru küme {2, 3, 5}’tir.
• Yanlış: “Çift sayı gelmesi bir çıktıdır.” Doğrusu: “Çift sayı gelmesi” bir olaydır ve 2, 4, 6 olmak üzere üç çıktıdan oluşur. Çıktı ise deneyin tek bir sonucudur.

Alıştırma

LGS ipucu: LGS sayısal oturumunda 20 matematik ve 20 fen sorusu için toplam 80 dakika vardır. Yani soru başına ortalama 2 dakikan olur. Olasılık kavram soruları genellikle 1 dakikada çözülebilir. Artan zamanı yeni nesil sorulara ayır. Şıkları elerken önce 1’den büyük ve negatif olasılıkları çiz. Sonra olayların çıktılarını tek tek yazıp say. Kafadan tahmin etme.

1) Hilesiz bir madeni para atılıyor. Örnek uzayı ve çıktı sayısını yazınız.

2) Hilesiz bir zar atılıyor. “4’ten büyük sayı gelmesi” olayının çıktılarını yazınız.

3) Hilesiz bir zar atılıyor. “8’in çarpanı gelmesi” olayının çıktılarını yazınız.

4) Bir torbada 4 sarı ve 4 yeşil özdeş top var. Sarı top çekilmesi ile yeşil top çekilmesi eşit şanslı mıdır?

5) Hilesiz bir zar atılıyor. “6 veya 6’dan küçük sayı gelmesi” olayı hangi olay çeşididir?

6) 1’den 10’a kadar numaralanmış kartlardan biri çekiliyor. “11 gelmesi” olayının olasılığı kaçtır?

7) Bir torbada 2 kırmızı, 6 beyaz ve 4 siyah özdeş bilye var. Çekilen bilyenin hangi renkte olması en olası, hangi renkte olması en az olasıdır?

8) 10 eş dilime ayrılmış ve 1’den 10’a kadar numaralanmış bir çark çevriliyor. “Tek sayı gelmesi” ve “çift sayı gelmesi” olaylarının çıktı sayıları kaçtır? Bu olaylar eşit şanslı mıdır?

9) 1’den 20’ye kadar numaralanmış kartlardan biri çekiliyor. “5’in katı gelmesi” olayı kaç çıktı içerir?

10) 0,3 ; 7/5 ; 1 ; −1/2 sayılarından hangileri bir olayın olasılığı olamaz?

Cevap Anahtarı

• 1) {Y, T}, 2 çıktı: Para atınca yalnızca yazı ya da tura gelebilir.
• 2) {5, 6}: Zardaki sayılardan yalnızca 5 ve 6, 4’ten büyüktür.
• 3) {1, 2, 4}: 8’in çarpanları 1, 2, 4, 8’dir ama zarda 8 olmadığı için 8 alınmaz.
• 4) Evet: İki rengin de top sayısı 4 olduğu için olasılıkları eşittir (4/8 = 1/2).
• 5) Kesin olay: Zardaki bütün sayılar 6 veya 6’dan küçüktür, olasılığı 1’dir.
• 6) 0: Kartlarda 11 olmadığı için olay imkânsızdır.
• 7) En olası beyaz, en az olası kırmızı: 12 bilyenin 6’sı beyaz, 2’si kırmızıdır.
• 8) 5 ve 5, eşit şanslı: Tekler {1, 3, 5, 7, 9}, çiftler {2, 4, 6, 8, 10} olup ikisi de 5 çıktıdır.
• 9) 4 çıktı: 5’in katları {5, 10, 15, 20} kümesidir.
• 10) 7/5 ve −1/2: Olasılık 0 ile 1 arasında olmalıdır; 7/5 değeri 1’den büyük, −1/2 ise 0’dan küçüktür.

Dersin özeti

• Deney, sonucu önceden bilinmeyen işlemdir; çıktı deneyin tek bir sonucudur; örnek uzay bütün çıktıların kümesidir; olay ise örnek uzayın bir parçasıdır.
• Kesin olay her zaman gerçekleşir ve olasılığı 1’dir; imkânsız olay hiç gerçekleşmez ve olasılığı 0’dır.
• Çıktılar eşit şanslıysa aynı sayıda çıktı içeren olaylar eşit şanslıdır; daha çok çıktı içeren olay daha olasıdır.
• İstenen çıktı sayısı tüm çıktı sayısını geçemediği için olasılık her zaman 0 ile 1 arasındadır.
• Asal sayı, çarpan ve kat bilgisi olay çıktılarını bulurken sık kullanılır. Bir sonraki derste bu kavramlarla basit olayların olasılığını adım adım hesaplayacağız.