Temel Kavramlar: Sayı Kümeleri, Tek-Çift ve Pozitif-Negatif Sayılar

Tahmini süre: 14 dk

Hoş geldin! Bu kursta TYT matematiğinin temelini adım adım kuracağız. Amacımız kuralları ezberlemek değil, her kuralın neden öyle olduğunu anlamak. Nedenini bilen, sınavda sıkıştığında kuralı kendisi yeniden bulabilir. İlk dersimizde bütün konuların dayandığı sayı kümelerini, tek-çift sayıları ve pozitif-negatif sayıları çalışacağız.

Günlük hayattan giriş

Bir sınıftaki öğrenci sayısını sayarken 0, 1, 2, 3 gibi sayılar kullanırız. Kimse “sınıfta 2,5 öğrenci var” demez. Hava sıcaklığından söz ederken ise −4 °C gibi negatif sayılar gerekir. Bir pizzanın 3/8'ini yediğini söylerken kesirler, bir dairenin çevresini hesaplarken de π gibi kesir olarak yazılamayan sayılar işin içine girer. Yani her durum için farklı bir sayı ailesine ihtiyaç duyarız. Matematikte bu ailelere sayı kümeleri denir.

Tek-çift fikri de hayatın içindedir. 14 kişilik bir grubu ikişerli eşleştirirsen herkesin bir eşi olur. 15 kişilik grupta ise bir kişi açıkta kalır. “Çift” kelimesinin asıl anlamı budur: sayıyı ikişerli gruplara ayırınca artan kalmaz. Bu basit fikir, TYT'deki pek çok “kesinlikle tek/çifttir” sorusunun anahtarıdır.

Pozitif ve negatif sayılar da banka hesabındaki para girişi ve borç, deniz seviyesinin üstü ve altı, bir asansörün yukarı ve aşağı hareketi gibi günlük durumları anlatır. Bu derste işaret kurallarının, özellikle “eksi çarpı eksi neden artı?” sorusunun cevabını birlikte bulacağız.

Tanım ve kural

1. Sayı kümeleri

• Sayma sayıları: {1, 2, 3, 4, ...}. Nesneleri sayarken kullandıklarımız.
• Doğal sayılar (N): {0, 1, 2, 3, ...}. Sayma sayılarına 0 eklenmiş hâlidir.
• Tam sayılar (Z): {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. Doğal sayılara negatif karşılıkları eklenir. 0 ne pozitif ne negatiftir.
• Rasyonel sayılar (Q): a ve b tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen sayılar. Örnek: 3/4, −2, 0,5 = 1/2, 1,25 = 5/4. Her tam sayı rasyoneldir, çünkü −2 = −2/1 yazılabilir. Paydanın 0 olamamasının nedeni, 0'a bölmenin tanımsız olmasıdır.
• İrrasyonel sayılar: a/b biçiminde yazılamayan sayılar. Örnek: √2, √7, π. Ondalık gösterimleri sonsuza kadar tekrarsız devam eder.
• Reel (gerçek) sayılar (R): Rasyonel ve irrasyonel sayıların hepsi. Sayı doğrusundaki her nokta bir reel sayıdır.

Kümeler iç içedir: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Yani her doğal sayı aynı zamanda tam sayı, rasyonel sayı ve reel sayıdır. Dikkat: √9 bir kök gibi görünse de √9 = 3 olduğu için doğal sayıdır. Bir sayının hangi kümeye ait olduğuna, sadeleştirilmiş hâline bakarak karar veririz.

2. Tek ve çift sayılar

Tek-çift kavramı tam sayılar için tanımlıdır. 2 ile tam bölünen tam sayıya çift, bölünmeyene tek denir. k bir tam sayı olmak üzere çift sayı 2k, tek sayı 2k + 1 biçiminde yazılır. Buna göre 0 = 2·0 olduğundan 0 çift sayıdır. Negatif sayılar da tek veya çifttir: −6 çift, −7 tektir.

Neden tek + tek = çift? İki tek sayı (2a + 1) ve (2b + 1) olsun. Toplamları 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1) olur. Bu, 2 ile çarpılmış bir sayıdır; yani çifttir. Günlük dille: iki grupta da birer kişi açıkta kalıyorsa, bu iki kişi birbiriyle eşleşir ve kimse açıkta kalmaz.

Neden tek × tek = tek? (2a + 1)(2b + 1) = 4ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1. Sonuç “bir çift sayı artı 1” biçimindedir, yani tektir.

Neden çarpımda bir çift varsa sonuç çift? Çarpanlardan biri 2k ise çarpım 2·(k·diğer sayı) olur, yani 2 çarpanı sonuca taşınır.

Çıkarma, toplama gibi davranır: tek − tek = çift, tek − çift = tek. Ayrıca bir sayıyı 2 ile çarpmak onu her zaman çift yapar; bu yüzden ifadelerde 2x, 4y gibi terimleri tek-çift incelemesinde “çift” diye işaretleyip geçebilirsin.

3. Pozitif ve negatif sayılar

0'dan büyük sayılar pozitif, 0'dan küçük sayılar negatiftir. 0 ne pozitif ne negatiftir.

Neden (−) × (−) = (+)? Aşağıdaki diziye bak; her satırda ilk çarpan 1 azalıyor:

3 × (−2) = −6

2 × (−2) = −4

1 × (−2) = −2

0 × (−2) = 0

Sonuçlar her adımda 2 artıyor. Düzen bozulmasın diye bir sonraki adım (−1) × (−2) = 2 olmalıdır. İşte negatif çarpı negatifin pozitif olmasının nedeni, çarpmanın bu düzenli yapısını korumaktır.

Negatifin çift kuvveti pozitiftir, çünkü eksiler ikişer ikişer eşleşip artıya döner. Tek kuvvette ise bir eksi eşsiz kalır. Önemli ayrıntı: −2⁴ ile (−2)⁴ aynı değildir. −2⁴ ifadesinde üs yalnızca 2'ye aittir: −2⁴ = −(2⁴) = −16. (−2)⁴ ifadesinde ise parantezin tamamının kuvveti alınır: (−2)⁴ = 16.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

−3, 0, 2/5, √9, √7, π ve 1,25 sayılarını kümelerine göre ayırınız.

Çözüm:

Önce kökleri sadeleştiririz: √9 = 3. √7 ise tam kare olmayan bir sayının kökü olduğundan sadeleşmez.

0 ve √9 = 3 doğal sayıdır (dolayısıyla tam, rasyonel ve reeldir).

−3 tam sayıdır ama doğal sayı değildir.

2/5 ve 1,25 = 125/100 = 5/4 rasyoneldir ama tam sayı değildir.

√7 ve π irrasyoneldir.

Sonuç: Doğal: 0, √9 · Tam (doğal olmayan): −3 · Rasyonel (tam olmayan): 2/5, 1,25 · İrrasyonel: √7, π. Hepsi reel sayıdır.

Örnek 2

a tek, b çift tam sayı ise 3a + 2b + 1 tek midir, çift midir?

Çözüm:

3a: tek × tek = tek.

2b: 2 ile çarpıldığı için çift.

3a + 2b: tek + çift = tek.

3a + 2b + 1: tek + tek = çift.

Deneme ile kontrol: a = 1, b = 2 için 3 + 4 + 1 = 8, çift.

Sonuç: 3a + 2b + 1 çifttir.

Örnek 3

(−2)⁴ − 2⁴ + (−1)⁷ + (−3)² işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

(−2)⁴ = 16 (negatifin çift kuvveti pozitif).

2⁴ = 16, önündeki eksiyle −16.

(−1)⁷ = −1 (negatifin tek kuvveti negatif).

(−3)² = 9.

Topla: 16 − 16 − 1 + 9 = 8.

Sonuç: 8

Örnek 4

x ve y tam sayı ve x · y tek sayıdır. Buna göre hangisi kesinlikle çifttir? A) x + y + 1 B) x² + y C) x · y + 2 D) 2x + y E) x³

Çözüm:

Çarpım tek ise çarpanlarda hiç çift olamaz (bir çift olsaydı çarpım çift olurdu). O hâlde x ve y ikisi de tektir.

Sayı deneme taktiği: x = 1, y = 3 seçelim (ikisi de tek, çarpım 3 tek).

A) 1 + 3 + 1 = 5 tek, elenir.

B) 1 + 3 = 4 çift.

C) 3 + 2 = 5 tek, elenir.

D) 2 + 3 = 5 tek, elenir.

E) 1³ = 1 tek, elenir.

Kural ile doğrulama: x² tek, y tek; tek + tek = çift.

Sonuç: B

Örnek 5

a < 0 < b olmak üzere hangisi kesinlikle pozitiftir? A) a + b B) a · b C) b − a D) a² · (−b) E) a/b

Çözüm:

Koşula uyan sayılar seçelim: a = −5, b = 1.

A) −5 + 1 = −4, negatif, elenir.

B) (−5) · 1 = −5, elenir.

C) 1 − (−5) = 6, pozitif.

D) 25 · (−1) = −25, elenir.

E) −5/1 = −5, elenir.

Neden C her zaman pozitif? b − a = b + (−a) ve a negatif olduğundan −a pozitiftir. Pozitif + pozitif = pozitif.

Sonuç: C

Örnek 6

a · c > 0, a · b < 0 ve c < 0 ise a · b² · c ve a − b ifadelerinin işaretleri nedir?

Çözüm:

a · c pozitif ve c negatif ise a da negatif olmalıdır: a < 0.

a · b negatif ve a negatif ise b pozitif olmalıdır: b > 0.

a · b² · c: b² pozitif; (−) · (+) · (−) = (+).

a − b: negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarılırsa sonuç daha da küçülür, negatif olur.

Deneme: a = −1, b = 2, c = −3 için a · b² · c = (−1) · 4 · (−3) = 12, a − b = −3.

Sonuç: a · b² · c pozitif, a − b negatiftir.

Örnek 7 (TYT tarzı)

x, y, z tam sayılar; x + y tek ve y + z çifttir. Buna göre hangisi kesinlikle tektir? A) x + z B) x · z C) y · z D) x + y + z E) x · y

Çözüm:

1. deneme: x = 1, y = 2, z = 4 (x + y = 3 tek, y + z = 6 çift).

A) 5 tek · B) 4 çift, elenir · C) 8 çift, elenir · D) 7 tek · E) 2 çift, elenir.

İki şık (A ve D) kaldı; ikinci bir deneme gerekir.

2. deneme: x = 2, y = 1, z = 3 (x + y = 3 tek, y + z = 4 çift).

A) 5 tek · D) 6 çift, elenir.

Kural ile doğrulama: (x + y) + (y + z) = x + z + 2y. Sol taraf tek + çift = tek. 2y çift olduğundan x + z tek olmalıdır.

Sonuç: A

TYT taktiği: soru tipi, süre ve şık eleme

• Soru tipi: “Hangisi kesinlikle tektir/çifttir/pozitiftir/negatiftir?” veya “Hangisi daima doğrudur?” biçimindeki sorular.
• Sayı deneme: Koşula uyan küçük ve kolay sayılar seç (1, 2, 3, −1, −2). 0'ı ve aynı değerleri (x = y gibi) seçmekten kaçın; çünkü bunlar yanıltıcı sonuç verebilir.
• Eleme: “Kesinlikle” sorusunda bir örnekte bile koşulu sağlamayan şık elenir. Birden fazla şık kalırsa farklı tek-çift veya işaret düzeniyle ikinci deneme yap.
• Süre: Bu tip temel sorulara 1-1,5 dakikadan fazla ayırmamayı hedefle. Deneme yöntemi çoğu zaman kural yazmaktan hızlıdır.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: “0 pozitif bir sayıdır.” → Doğrusu: 0 ne pozitif ne negatiftir.
• Yanlış: “0 tek de değil, çift de değil.” → Doğrusu: 0 = 2 · 0 olduğundan 0 çift sayıdır.
• Yanlış: −3² = 9 → Doğrusu: Üs yalnızca 3'e aittir: −3² = −(3²) = −9. Sonucun 9 olması için (−3)² yazılmalıdır.
• Yanlış: “√4 köklü olduğu için irrasyoneldir.” → Doğrusu: √4 = 2 olduğundan doğal sayıdır. Önce sadeleştir, sonra karar ver.
• Yanlış: “Kesinlikle” sorusunda tek deneme yapıp kalan ilk şıkkı işaretlemek. → Doğrusu: Birden fazla şık kaldıysa farklı sayılarla ikinci deneme yap.

Alıştırma

• 1) 0,4 sayısı hangi sayı kümelerinin elemanıdır?
• 2) √16, √15 ve −√25 sayılarını doğal, tam ve irrasyonel olarak sınıflandırınız.
• 3) a tek sayı ise a² + a + 1 tek midir, çift midir?
• 4) m çift, n tek sayı ise m · n + n² tek midir, çift midir?
• 5) (−1)¹⁰ + (−1)¹¹ − 1¹² işleminin sonucu kaçtır?
• 6) −3² + (−3)² işleminin sonucu kaçtır?
• 7) a < 0 ve b < 0 ise a · b, a + b ve a/b ifadelerinin işaretleri nedir?
• 8) x · y < 0, y · z > 0 ve z > 0 ise x ve y'nin işaretleri nedir? x · z pozitif midir, negatif midir?
• 9) a ve b tam sayı, 5a + 2b tek ise hangisi kesinlikle tektir? A) a + b B) a · b C) a³ D) b + 1 E) 2a + b
• 10) a < b < 0 ise hangisi negatiftir? A) a · b B) b − a C) a² D) a − b E) a/b

Cevap Anahtarı

• 1) Rasyonel ve reel sayılar. 0,4 = 2/5 yazılabilir ama tam sayı değildir.
• 2) √16 = 4 doğal (ve tam), −√25 = −5 tam, √15 irrasyonel. 16 ve 25 tam kare, 15 tam kare değildir.
• 3) Tek. a² tek, a tek; tek + tek = çift, çift + 1 = tek (a = 3 için 13).
• 4) Tek. m · n çift, n² tek; çift + tek = tek (m = 2, n = 3 için 15).
• 5) −1. 1 + (−1) − 1 = −1.
• 6) 0. −3² = −9 ve (−3)² = 9 olduğundan toplam 0'dır.
• 7) a · b pozitif, a + b negatif, a/b pozitif. Eksi ile eksinin çarpımı/bölümü artı, iki negatifin toplamı negatiftir.
• 8) x negatif, y pozitif; x · z negatif. z pozitif ve y · z pozitif olduğundan y pozitif, x · y negatif olduğundan x negatiftir.
• 9) C. 2b çift olduğundan 5a tek, yani a tektir; tekin kuvveti tektir, diğer şıklar b'ye göre değişir.
• 10) D. a, b'den küçük olduğundan a − b negatiftir (a = −5, b = −2 için −3).

Dersin özeti

• N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R: her doğal sayı tam, her tam sayı rasyonel, her rasyonel sayı reeldir; √2 ve π gibi a/b biçiminde yazılamayan sayılar irrasyoneldir.
• Çift sayı 2k, tek sayı 2k + 1 biçimindedir; 0 çifttir ve negatif tam sayılar da tek veya çift olur.
• Toplamada tek sayıların adedi önemlidir; çarpımda tek bir çift çarpan sonucu çift yapar.
• (−) · (−) = (+); negatifin çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir; −2⁴ ile (−2)⁴ farklıdır.
• “Kesinlikle” sorularında koşula uyan küçük sayılar dene, sağlamayan şıkları ele; birden fazla şık kalırsa ikinci deneme yap.