Sayı Problemleri: Kesir, Oran ve Paylaştırma Soruları

Tahmini süre: 15 dk

Önceki derslerde bilinmeyene harf vererek denklem kurmayı, EKOK bulmayı ve sözel ifadeyi matematik diline çevirmeyi çalıştık. Bu derste aynı becerileri kesir ve oran içeren sorularda kullanacağız. TYT'de “kalanın 2/3'ü”, “2:3:4 oranında paylaştırılıyor”, “yaşlarıyla ters orantılı” gibi ifadeler sık geçer. Bu dersin sonunda bu ifadeleri hızlı ve hatasız çözebileceksin.

Günlük hayattan giriş

Ay başında harçlığını aldığını düşün. Önce bir kısmını yol kartına yüklüyorsun, sonra kalan paranın bir kısmıyla kitap alıyorsun. Ay sonunda cebinde ne kadar kaldığını bilmek istiyorsun. İşte burada iki farklı “parça” var: ilki bütünün parçası, ikincisi kalanın parçası. Bu ikisini karıştırmak, kesir problemlerindeki hataların en büyük sebebidir.

Başka bir örnek: Üç arkadaş bir iş için farklı sürelerde çalışıyor ve kazandıkları parayı emekleriyle orantılı paylaşmak istiyor. Ya da bir tarifte un, şeker ve yağ 4:2:1 oranında kullanılıyor ve elindeki una göre diğerlerini ayarlaman gerekiyor. Bunların hepsi oranla paylaştırma problemidir.

Bu tür soruların ortak sırrı şudur: Bütünü, hesabı kolaylaştıracak “akıllı” bir sayı olarak seçmek. Paydaların EKOK'u kadar parça alırsak hiç kesirle uğraşmadan tam sayılarla ilerleriz. Sonunda bir parçanın değerini bulup her şeyi hesaplarız.

Tanım ve kural

1) Bütünün kesri: Bir bütünün a/b'si demek, bütünü b eşit parçaya bölüp a tanesini almak demektir. Bu yüzden bütünü b'nin katı olarak (b·k gibi) seçmek kesirden kurtarır.

2) Kalanın kesri: “Kalanın 2/3'ü” ifadesinde bütün artık başlangıçtaki miktar değil, o anda elde kalan miktardır. Neden? Çünkü ikinci işlem, ilk işlemden sonra geriye kalan şey üzerinde yapılır. Bu nedenle bütünü seçerken sadece ilk paydaya değil, kalanın da bölünebilmesine dikkat ederiz. En güvenli yol: paydaların çarpımına ya da EKOK'una uygun bir katsayı seçip her adımda kalanın tam bölündüğünü kontrol etmek.

3) Doğru orantılı paylaştırma: Bir miktar a:b:c oranında paylaştırılırsa paylar a·k, b·k, c·k olur. Toplam (a+b+c)·k olduğu için bir parça k = toplam ÷ (a+b+c) bulunur. Neden toplama? Çünkü oran, herkesin kaç “eşit parça” aldığını söyler; toplam parça sayısını bilmeden bir parçanın değerini bulamayız.

4) Ters orantılı paylaştırma: Bir miktar a, b, c ile ters orantılı paylaştırılırsa paylar 1/a, 1/b, 1/c ile doğru orantılıdır. Neden? Ters orantıda sayı büyüdükçe pay küçülür; 1/a da a büyüdükçe küçülür. Bu kesirleri paydaların EKOK'u ile çarparak tam sayı oranına çeviririz.

5) Oranları birleştirme: A:B ve B:C oranları verildiyse ortak harf olan B'yi iki oranda da aynı sayıya getiririz. Neden? Çünkü B tek bir miktardır; iki oranda farklı sayıyla gösterilirse aynı şeyi iki farklı ölçekle anlatmış oluruz.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

Bir kitabın 2/5'i okunduğunda okunmamış 36 sayfa kalıyor. Kitap kaç sayfadır?

Çözüm:

Kitabı 5k sayfa alalım. Okunan kısım 2k sayfadır.

Kalan kısım 5k − 2k = 3k sayfadır.

3k = 36 olduğundan k = 12 bulunur.

Kitap 5k = 5 · 12 = 60 sayfadır. (Kontrol: 60'ın 2/5'i 24, kalan 36 ✓)

Cevap: 60 sayfa

Örnek 2 (kolay)

720 TL, üç kardeş arasında 2:3:4 oranında paylaştırılıyor. Her birinin payı kaç TL'dir?

Çözüm:

Toplam parça sayısı 2 + 3 + 4 = 9'dur.

Bir parça 720 ÷ 9 = 80 TL'dir.

Paylar: 2 · 80 = 160, 3 · 80 = 240, 4 · 80 = 320.

Kontrol: 160 + 240 + 320 = 720 ✓

Cevap: 160 TL, 240 TL, 320 TL

Örnek 3 (orta)

Bir kişi parasının 1/3'ünü harcıyor, sonra kalan parasının 1/4'ünü harcıyor ve geriye 90 TL kalıyor. Başlangıçta kaç TL'si vardı?

Çözüm:

Paydalar 3 ve 4 olduğu için bütünü 12k alalım.

Önce 12k'nin 1/3'ü olan 4k harcanır, kalan 12k − 4k = 8k olur.

Sonra kalanın, yani 8k'nin 1/4'ü olan 2k harcanır, kalan 8k − 2k = 6k olur.

6k = 90 olduğundan k = 15 bulunur.

Başlangıçtaki para 12k = 12 · 15 = 180 TL'dir.

Kontrol: 180'in 1/3'ü 60, kalan 120; 120'nin 1/4'ü 30, kalan 90 ✓

Cevap: 180 TL

Örnek 4 (orta)

270 bilye, yaşları 3, 4 ve 6 olan üç çocuğa yaşlarıyla ters orantılı olarak paylaştırılıyor. Her çocuk kaç bilye alır?

Çözüm:

Ters orantı olduğu için paylar 1/3 : 1/4 : 1/6 ile orantılıdır.

Paydaların EKOK'u 12'dir. Her kesri 12 ile çarpalım: 4 : 3 : 2.

Toplam parça 4 + 3 + 2 = 9, bir parça 270 ÷ 9 = 30'dur.

3 yaşındaki 4 · 30 = 120, 4 yaşındaki 3 · 30 = 90, 6 yaşındaki 2 · 30 = 60 bilye alır.

Kontrol: 120 + 90 + 60 = 270 ✓ ve en küçük çocuk en çok bilyeyi almış ✓

Cevap: 120, 90 ve 60 bilye

Örnek 5 (orta-zor)

A/B = 2/3, B/C = 4/5 ve A + B + C = 105 olduğuna göre A, B ve C kaçtır?

Çözüm:

B, birinci oranda 3, ikinci oranda 4 parçadır. 3 ile 4'ün EKOK'u 12'dir.

A:B = 2:3 oranını 4 ile genişletelim: A:B = 8:12.

B:C = 4:5 oranını 3 ile genişletelim: B:C = 12:15.

Böylece A:B:C = 8:12:15 olur. Toplam parça 8 + 12 + 15 = 35.

Bir parça 105 ÷ 35 = 3'tür.

A = 8 · 3 = 24, B = 12 · 3 = 36, C = 15 · 3 = 45.

Kontrol: 24/36 = 2/3 ✓, 36/45 = 4/5 ✓, 24 + 36 + 45 = 105 ✓

Cevap: A = 24, B = 36, C = 45

Örnek 6 (zor, TYT tarzı)

Bir depodaki suyun önce 1/4'ü kullanılıyor. Sonra kalan suyun 2/3'ü kullanılıyor. Ardından depoya 30 litre su ekleniyor ve depodaki su, başlangıçtaki miktarın yarısı oluyor. Başlangıçta depoda kaç litre su vardı?

A) 90   B) 100   C) 120   D) 135   E) 150

Çözüm:

Paydalar 4 ve 3 olduğundan bütünü 12k alalım.

12k'nin 1/4'ü olan 3k kullanılır, kalan 9k olur.

9k'nin 2/3'ü olan 6k kullanılır, kalan 3k olur.

30 litre eklenince su 3k + 30 olur. Bu miktar başlangıcın yarısına, yani 6k'ye eşittir.

3k + 30 = 6k, buradan 3k = 30 ve k = 10 bulunur.

Başlangıç 12k = 120 litredir.

Kontrol: 120 → 30 kullanılır, 90 kalır → 60 kullanılır, 30 kalır → 30 eklenir, 60 olur; 60, 120'nin yarısıdır ✓

Cevap: 120 litre (C)

Şık eleme taktiği: Başlangıç miktarı 12k olduğu için cevap 12'nin katı olmalıdır. Şıklardan yalnızca 120 bu şartı sağlar. Sınavda bu fikir, işlem yapmadan cevaba birkaç saniyede ulaşmanı sağlar.

TYT için soru tipi ve süre

• Bu konu TYT'de genellikle sözel problem olarak gelir; hedef süre soru başına yaklaşık 1–1,5 dakikadır.
• Bütünü EKOK'a göre seçtiysen cevap o sayının katı olmalıdır; kat olmayan şıkları hemen ele.
• Paylaştırma sorularında cevap, parça sayısı toplamının katı olan toplamdan gelir; şıkları “bir parça tam sayı mı?” diye kontrol et.
• Ters orantıda büyük sayıya küçük pay düşer; bu mantığa ters düşen şıkları ele.
• Şüphedeysen şıkkı soruya yerleştirip geriye doğru kontrol et.

Sık yapılan hatalar

• Kalanın kesrini bütünden almak. Yanlış: 12k'nin 1/3'ü harcandı, sonra “kalanın 1/4'ü” için 12k'nin 1/4'ü = 3k almak. Doğrusu: Kalan 8k'dir, 8k'nin 1/4'ü = 2k.
• Verilen sayıyı yanlış kesre eşitlemek. Yanlış: “2/5'i okundu, 36 sayfa kaldı” sorusunda 2/5 = 36 yazmak. Doğrusu: Kalan kısım 3/5'tir, 3/5 = 36 yazılır.
• Oranla paylaştırmada toplam parçayı kullanmamak. Yanlış: 100 TL'yi 2:3 oranında paylaştırırken 100 ÷ 2 = 50 ve 100 ÷ 3 demek. Doğrusu: Toplam 5 parça, bir parça 20; paylar 40 ve 60.
• Ters orantıda sayıları doğrudan kullanmak. Yanlış: 3, 4, 6 ile ters orantıyı 3:4:6 almak. Doğrusu: 1/3 : 1/4 : 1/6 = 4:3:2.
• Oranları birleştirirken ortak terimi eşitlememek. Yanlış: A:B = 2:3 ve B:C = 4:5 için A:B:C = 2:3:5 yazmak. Doğrusu: B'yi 12'ye eşitle, A:B:C = 8:12:15.

Alıştırma

1) Bir sayının 3/4'ü 45'tir. Bu sayı kaçtır?

2) Bir öğrenci harçlığının 2/7'sini harcadığında 50 TL'si kalıyor. Harçlığı kaç TL'dir?

3) 540 TL, 4:5 oranında iki kişiye paylaştırılıyor. Büyük pay kaç TL'dir?

4) Bir kişi parasının 1/2'sini, sonra kalan parasının 1/3'ünü harcıyor ve 40 TL'si kalıyor. Başlangıçta kaç TL'si vardı?

5) İki sayının oranı 3/8, farkı 35'tir. Küçük sayı kaçtır?

6) A/B = 3/4, B/C = 2/5 ve A + B + C = 85 ise C kaçtır?

7) 1300 TL, 2, 3 ve 4 sayılarıyla ters orantılı paylaştırılıyor. En küçük pay kaç TL'dir?

8) Bir kitabın ilk gün 1/3'ü, ikinci gün kalanın 3/8'i okunuyor ve 75 sayfa kalıyor. Kitap kaç sayfadır?

9) Bir sınıftaki öğrencilerin 3/5'i kızdır. Kızların 1/3'ü, erkeklerin 1/4'ü gözlüklüdür. Gözlüklü öğrenci sayısı 18 ise sınıf mevcudu kaçtır?

10) Bir depodaki suyun 2/5'i kullanılıyor, sonra depoya 24 litre su ekleniyor ve depodaki su başlangıçtakinin 3/4'ü oluyor. Başlangıçta kaç litre su vardı?

Cevap Anahtarı

• 1) 60 — Sayıyı 4k al: 3k = 45 ise k = 15, sayı 60.
• 2) 70 TL — Kalan 5/7'dir: 5k = 50 ise k = 10, harçlık 7k = 70.
• 3) 300 TL — 9 parça, bir parça 540 ÷ 9 = 60, büyük pay 5 · 60 = 300.
• 4) 120 TL — Bütün 6k: 3k harcanır, 3k kalır; 1k harcanır, 2k = 40 ise k = 20, bütün 120.
• 5) 21 — Fark 8 − 3 = 5 parça = 35, bir parça 7, küçük sayı 3 · 7 = 21.
• 6) 50 — B'yi 4'e eşitle: A:B:C = 3:4:10, 17 parça, bir parça 5, C = 10 · 5 = 50.
• 7) 300 TL — 1/2 : 1/3 : 1/4 = 6:4:3, 13 parça, bir parça 100, en küçük pay 3 · 100 = 300.
• 8) 180 — Bütün 24k: 8k okunur, 16k kalır; 16k'nin 3/8'i 6k okunur, 10k = 75 ise bütün 180.
• 9) 60 — Mevcut 20k: kız 12k (4k gözlüklü), erkek 8k (2k gözlüklü); 6k = 18 ise k = 3, mevcut 60.
• 10) 160 litre — Bütün 20k: 8k kullanılır, 12k kalır; 12k + 24 = 15k ise k = 8, başlangıç 160.

Dersin özeti

• Kesirli sorularda bütünü paydaların EKOK'una göre (12k, 20k gibi) seçmek hesabı tam sayılarla yapmayı sağlar.
• “Kalanın a/b'si” her zaman o anda kalan miktar üzerinden hesaplanır, başlangıçtaki bütün üzerinden değil.
• a:b:c oranında paylaştırmada bir parça = toplam ÷ (a + b + c); her pay kendi parça sayısıyla çarpılır.
• Ters orantılı paylaştırmada 1/a : 1/b : 1/c yazılır ve EKOK ile çarpılarak tam sayı oranına çevrilir; A:B ve B:C birleştirilirken ortak terim eşitlenir.
• TYT'de cevabın bütünün katsayısına ya da parça sayısına uygun olması gerektiğini kullanarak şıkları hızla eleyebilirsin. Bir sonraki derste bu kesir ve oran becerisini yeni problem türlerinde de kullanacağız.