Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar ve EBOB-EKOK

Önceki derste sayılarla temel işlemleri ve tek-çift, pozitif-negatif gibi temel kavramları çalıştık. Bu derste o işlemlerin en çok soru çıkaranına, bölmeye odaklanıyoruz. Bölme işlemini, bölünebilme kurallarını ve asal çarpanlara ayırmayı öğrenip sonunda EBOB ile EKOK'a ulaşacağız. Bu araçlar sonraki derslerde de sık sık karşımıza çıkacak. Örneğin kesirlerde paydaları eşitlemek aslında bir EKOK bulma işidir.

Günlük hayattan giriş

Elinde 89 tane kurabiye olduğunu, bunları 7 kutuya eşit dağıtmak istediğini düşün. Her kutuya 12 kurabiye koyarsın ve 5 kurabiye artar. Burada 89 bölünen, 7 bölen, 12 bölüm, 5 ise kalandır. Kalanın 7'den küçük olması şart. 7 ya da daha fazla kurabiye artsaydı her kutuya bir tane daha koyabilirdin.

Bir marangoz 84 cm ve 126 cm uzunluğundaki iki tahtayı, hiç parça artmayacak şekilde eşit uzunlukta ve olabildiğince uzun parçalara kesmek istiyor. Bu, iki sayıyı birlikte tam bölen en büyük sayıyı aramaktır. Buna EBOB diyoruz. Bir durakta ise farklı hatların otobüsleri 12, 18 ve 30 dakikada bir kalkıyor. Hepsi 08:00'de birlikte kalktıysa bir sonraki ortak kalkışı bulmak için üç sayının da tam katı olan en küçük sayıyı ararız. Buna da EKOK diyoruz.

Kısacası büyük bir şeyi eşit ve en büyük parçalara ayırıyorsak EBOB'a bakarız. Tekrar eden olayların ne zaman yeniden çakışacağını ya da küçük parçalarla en küçük ortak bütünü soruyorsak EKOK'a bakarız. TYT'de bu iki kavram çoğunlukla bu tür hikâyelerin içine gizlenir. Bu yüzden asıl beceri, hangisinin sorulduğunu ayırt edebilmektir.

Tanım ve kural

1. Bölme işlemi

A sayısı B'ye bölündüğünde bölüm C, kalan K ise: A = B × C + K ve 0 ≤ K < B olur.

Neden K < B? Kalan bölene eşit ya da ondan büyük olsaydı, bölen bir kez daha sığardı ve bölüm 1 artardı. Kalan 0 ise A, B'ye tam bölünür.

Kalanlarla ilgili işe yarayan bir özellik şöyle: A'nın B ile bölümünden kalan K ise, A'yı içeren toplama ve çarpma işlemlerinde A yerine K yazıp kalanı bulabiliriz. Nedeni şu: A = B × C + K olduğundan B × C kısmı B'nin katıdır ve kalanı değiştirmez.

2. Bölünebilme kuralları ve nedenleri

Örnek: 715 için sağdan başlarız: 5 − 1 + 7 = 11. Sonuç 11'in katı olduğundan 715 sayısı 11'e tam bölünür (715 = 11 × 65).

3. Asal sayılar ve asal çarpanlara ayırma

1'den büyük olup yalnızca 1'e ve kendisine bölünen sayılara asal sayı denir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... 1 asal değildir, çünkü tek bir böleni vardır. 2, çift olan tek asal sayıdır. 1'den başka ortak pozitif böleni olmayan sayılara aralarında asal denir (örneğin 8 ile 15).

1'den büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek bir şekilde yazılır. Örneğin 360 = 2³ × 3² × 5.

Pozitif bölen sayısı: N = aᵐ × bⁿ × cᵖ biçiminde yazılmışsa bölen sayısı (m + 1)(n + 1)(p + 1) olur. Neden? Bir bölen oluştururken 2'nin üssünü 0, 1, 2 veya 3 seçebiliriz (4 seçenek). Her üs için 0'ı da saydığımızdan her üsse 1 ekleriz ve seçenekleri çarparız.

4. EBOB ve EKOK

İki sayı için çok kullanışlı bir eşitlik vardır: a × b = EBOB(a, b) × EKOK(a, b). Neden? Her asal çarpanın küçük üssü EBOB'a, büyük üssü EKOK'a gider. İki üs toplamda a ile b'deki üslerin toplamına eşittir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

Bir bölme işleminde bölen 7, bölüm 12, kalan 5'tir. Bölünen kaçtır?

Çözüm:

1. Kuralı yazalım: A = B × C + K.

2. Değerleri yerine koyalım: A = 7 × 12 + 5.

3. Çarpma: 7 × 12 = 84.

4. Toplama: 84 + 5 = 89.

5. Kontrol: Kalan 5, bölen 7'den küçük; uygun.

Bölünen 89'dur.

Örnek 2 (kolay)

Dört basamaklı 4a52 sayısı 9 ile tam bölünebildiğine göre a rakamı kaçtır?

Çözüm:

1. Rakamlar toplamı: 4 + a + 5 + 2 = 11 + a.

2. a bir rakam olduğundan 11 + a en az 11, en çok 20 olabilir.

3. Bu aralıktaki tek 9 katı 18'dir: 11 + a = 18.

4. a = 7 bulunur. Kontrol: 4752 = 9 × 528.

a = 7

Örnek 3 (orta)

360 sayısını asal çarpanlarına ayırınız ve pozitif bölen sayısını bulunuz.

Çözüm:

1. 360 = 2 × 180 = 2 × 2 × 90 = 2 × 2 × 2 × 45.

2. 45 = 3 × 15 = 3 × 3 × 5.

3. O hâlde 360 = 2³ × 3² × 5¹.

4. Her üsse 1 ekleyelim: (3 + 1), (2 + 1), (1 + 1).

5. Çarpalım: 4 × 3 × 2 = 24.

360 = 2³ × 3² × 5; pozitif bölen sayısı 24'tür.

Örnek 4 (orta, EBOB)

84 cm ve 126 cm uzunluğundaki iki tel, hiç artmayacak şekilde eşit uzunlukta ve olabildiğince uzun parçalara kesilecektir. Bir parça kaç cm olur, toplam kaç parça elde edilir?

Çözüm:

1. Parçalar teli tam bölmeli ve en uzun olmalı. Bu nedenle EBOB kullanılır.

2. 84 = 2² × 3 × 7 ve 126 = 2 × 3² × 7.

3. Ortak çarpanları küçük üsleriyle alalım: 2¹ × 3¹ × 7 = 42.

4. Parça sayısı: 84 ÷ 42 = 2 ve 126 ÷ 42 = 3.

5. Toplam: 2 + 3 = 5.

Bir parça 42 cm olur, toplam 5 parça elde edilir.

Örnek 5 (orta, EKOK)

Bir duraktan üç otobüs sırasıyla 12, 18 ve 30 dakikada bir kalkıyor. Üçü 08:00'de birlikte kalktığına göre bir sonraki ortak kalkış saat kaçtadır?

Çözüm:

1. Tekrar eden olayların çakışması sorulduğu için EKOK kullanılır.

2. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5.

3. Tüm çarpanları büyük üsleriyle alalım: 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180.

4. 180 dakika = 3 saat.

5. 08:00 + 3 saat = 11:00.

Bir sonraki ortak kalkış saat 11:00'dedir.

Örnek 6 (zor, kalan ile EKOK)

Bir doğal sayı 6'ya bölündüğünde 4, 8'e bölündüğünde 6 kalanını veriyor. Bu koşula uyan en büyük iki basamaklı sayı kaçtır?

Çözüm:

1. Kalanlara bakalım: 6 − 4 = 2 ve 8 − 6 = 2. Her iki durumda da sayıya 2 eklenirse bölme tam olur.

2. Yani sayı + 2, hem 6'nın hem 8'in katıdır.

3. EKOK(6, 8) = 24. Bu yüzden sayı + 2 = 24k, yani sayı = 24k − 2.

4. İki basamaklı değerler: 22, 46, 70, 94. Sonraki değer 118 olduğundan üç basamaklıdır.

5. Kontrol: 94 = 6 × 15 + 4 ve 94 = 8 × 11 + 6.

Cevap 94'tür.

Örnek 7 (zor, EBOB × EKOK)

EBOB(a, b) = 6, EKOK(a, b) = 72 ve a = 18 ise b kaçtır? Ayrıca a'nın 7 ile bölümünden kalan 3 ise 4a + 5 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

1. a × b = EBOB × EKOK olduğundan 18 × b = 6 × 72 = 432.

2. b = 432 ÷ 18 = 24. Kontrol: EBOB(18, 24) = 6 ve EKOK(18, 24) = 72.

3. İkinci soru için a yerine kalanını, yani 3'ü yazalım: 4 × 3 + 5 = 17.

4. 17 = 7 × 2 + 3 olduğundan kalan 3'tür.

b = 24; kalan 3'tür.

Sık yapılan hatalar

• 1'i asal saymak. Yanlış: 1, 2, 3, 5 asaldır. Doğrusu: 1'in tek böleni vardır, bu yüzden asal değildir. En küçük asal sayı 2'dir.
• Kalanı bölenden büyük bırakmak. Yanlış: 50 = 6 × 7 + 8. Doğrusu: Kalan 6'dan küçük olmalı, yani 50 = 6 × 8 + 2.
• Bölünebilmede aralarında asal olmayan sayılara bakmak. Yanlış: 12'ye bölünebilme için 2'ye ve 6'ya bakmak. 18 bu iki sayıya bölünür ama 12'ye bölünmez. Doğrusu: Aralarında asal olan 3'e ve 4'e bakılır.
• Bölen sayısında üsleri doğrudan çarpmak. Yanlış: 360 = 2³ × 3² × 5 için 3 × 2 × 1 = 6. Doğrusu: (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24.
• EBOB ile EKOK'u karıştırmak. Yanlış: Otobüslerin birlikte kalkışı için EBOB almak. Doğrusu: Çakışma ve tekrar sorularında EKOK kullanılır. Kontrol olarak cevabın en büyük sayıdan küçük olmadığına bakılır.

TYT sınav taktikleri

• Soru tipleri: bölünen-bölen-kalan ilişkisi, rakam bulmalı bölünebilme soruları, bölen sayısı, EBOB-EKOK problemleri (kesme, fayans, paylaştırma, çakışan olaylar) ve kalanı sabit olan sayılar.
• Süre: Bu konudaki soruların çoğu kısa işlemlerle çözülür. Her soru için yaklaşık 1-1,5 dakika hedefle. İşlem uzuyorsa soruyu işaretleyip geç.
• Şık eleme: EBOB sorusunda en küçük sayıdan büyük şıkları, EKOK sorusunda en büyük sayıdan küçük şıkları hemen ele. Kalan sorusunda bölene eşit ya da bölenden büyük şıklar da elenir.
• Yerine koyma: Rakam veya sayı bulma sorularında şıkları bölünebilme kuralıyla denemek çoğu zaman daha hızlıdır.
• Kalan farkı: Bölen − kalan farkı her bölme için aynıysa (Örnek 6'daki gibi) sayıya bu farkı ekleyip EKOK'u kullan.

Alıştırma

1. Bir bölme işleminde bölen 9, bölüm 15, kalan 7'dir. Bölünen kaçtır?

2. Üç basamaklı 3a8 sayısı 3 ile tam bölünüyor. a'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

3. 72 sayısının pozitif bölen sayısı kaçtır?

4. Üç basamaklı 5b6 sayısı 4 ile tam bölünüyor. b kaç farklı değer alabilir?

5. EBOB(48, 60) ve EKOK(48, 60) değerlerini bulunuz.

6. 45 m ve 75 m uzunluğundaki iki kumaş, hiç artmayacak şekilde eşit ve en uzun parçalara kesilecektir. Toplam kaç parça elde edilir?

7. İki lamba 8 ve 12 saniyede bir yanıyor. Birlikte yandıkları andan sonraki 2 dakika içinde kaç kez daha birlikte yanarlar?

8. Bir sayı 4, 6 ve 9'a bölündüğünde her seferinde 3 kalanını veriyor. Bu koşula uyan en küçük iki basamaklı sayı kaçtır?

9. EBOB(a, b) = 4, EKOK(a, b) = 60 ve a = 12 ise b kaçtır?

10. A sayısının 5 ile bölümünden kalan 3'tür. 3A + 4 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1. 142. 9 × 15 + 7 = 135 + 7 = 142.
• 2. 12. 11 + a sayısı 3'ün katı olmalı, bu yüzden a = 1, 4, 7 ve toplamları 12'dir.
• 3. 12. 72 = 2³ × 3² olduğundan (3 + 1)(2 + 1) = 12.
• 4. 5. Son iki basamak 16, 36, 56, 76 veya 96 olabilir, yani b = 1, 3, 5, 7, 9.
• 5. EBOB = 12, EKOK = 240. 48 = 2⁴ × 3 ve 60 = 2² × 3 × 5 olduğundan EBOB 2² × 3, EKOK 2⁴ × 3 × 5 olur.
• 6. 8. EBOB(45, 75) = 15 olduğundan 45 ÷ 15 + 75 ÷ 15 = 3 + 5 = 8.
• 7. 5. EKOK(8, 12) = 24 saniye ve 120 ÷ 24 = 5.
• 8. 39. EKOK(4, 6, 9) = 36 olduğundan sayı 36k + 3 biçimindedir; iki basamaklı en küçük değer 39'dur.
• 9. 20. 12 × b = 4 × 60 = 240 olduğundan b = 20.
• 10. 3. A yerine 3 yazılırsa 3 × 3 + 4 = 13 olur ve 13'ün 5 ile bölümünden kalan 3'tür.

Dersin özeti

• Bölmede A = B × C + K ve 0 ≤ K < B kuralı geçerlidir. Kalanlı işlemlerde sayının yerine kalanı yazılabilir.
• Bölünebilme kuralları basamak değerlerinden gelir. 100 sayısı 4'ün katıdır, 10 ise 9'un katından 1 fazladır. Birleşik bölenlerde aralarında asal çarpanlara bakılır.
• 1 asal değildir, 2 tek çift asaldır. Pozitif bölen sayısı, asal çarpanların üslerine 1 eklenip çarpılarak bulunur.
• EBOB ortak çarpanların küçük üsleriyle, EKOK tüm çarpanların büyük üsleriyle bulunur. İki sayı için a × b = EBOB × EKOK eşitliği geçerlidir.
• Parçalama ve eşit paylaştırma sorularında EBOB, tekrar eden olayların çakışması sorularında EKOK kullanılır. Bir sonraki derslerde kesirlerde payda eşitlerken de EKOK'tan yararlanacağız.