Ardışık Sayılar, Rakam ve Basamak Kavramı

Tahmini süre: 13 dk

Önceki derste sayılarla ilgili temel kavramları tanıdık. Bu derste sayıların içine giriyoruz. Önce belli bir düzenle ilerleyen sayıları, yani ardışık sayıları ele alacağız. Sonra bir sayının hangi rakamlardan oluştuğuna ve bu rakamların nerede durduğuna bakacağız. Basamak çözümlemesi (ab = 10a + b) sonraki derslerde de sık sık karşımıza çıkacak. Bölünebilme kuralları ve sayı problemleri bu fikri kullanır. Burada iyi oturtursak sonraki konular çok daha kolay gelir.

Günlük hayattan giriş

Bir apartmanın kapılarına bakın: 1, 2, 3, 4… diye sırayla gider. Sokağın bir yanında evler çoğu zaman 1, 3, 5, 7 diye tek numaralı, öbür yanında 2, 4, 6, 8 diye çift numaralı olur. Takvimde günler de birer birer ilerler. Otobüs 15 dakikada bir kalkıyorsa kalkış saatleri de hep aynı farkla artar. Bu düzenli dizilere ardışık sayılar diyoruz. Şöyle sorular da sık sık akla gelir: "Ayın 12'sinden 28'ine kadar kaç gün var?", "Her gün bir önceki günden 3 sayfa fazla okursam toplam kaç sayfa okurum?" Bunları tek tek sayarak değil, kısa bir kuralla çözeceğiz.

Şimdi cüzdanınızda 347 TL olduğunu düşünün. Bu parayı 3 tane 100 TL, 4 tane 10 TL ve 7 tane 1 TL olarak ayırabilirsiniz. Yani "347" yazısındaki 3, aslında 3 değil 300 değerindedir. Rakamın değeri, durduğu yere göre değişir. Bir kilidin şifresi 0 ile 9 arasındaki sembollerle kurulur. Bu sembollerin her birine rakam, onlarla yazılan her şeye sayı denir.

TYT'de bu konu iki şekilde çıkar. Bazen doğrudan "şu toplam kaçtır" diye sorulur. Bazen de bir problemin içine gizlenir: "İki basamaklı bir sayının rakamlarının yeri değişirse…" gibi. İki durumda da işin sırrı aynıdır: sayıyı parçalarına ayırıp neden öyle olduğunu görmek.

Tanım ve kural

1) Ardışık sayılar: Belli bir sayıdan başlayıp hep aynı miktarda artan sayılardır. Ardışık tam sayılar n, n + 1, n + 2 diye 1'er artar. Ardışık çift sayılar 2n, 2n + 2, 2n + 4 diye 2'şer artar. Ardışık tek sayılar 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5 diye yine 2'şer artar. Dikkat: Tek sayılar da 2'şer artar, 1'er değil.

2) Terim sayısı: Terim sayısı = (son terim − ilk terim) ÷ artış miktarı + 1

Neden +1? Bir çit düşünün. 3. direkten 7. direğe kadar 7 − 3 = 4 aralık vardır. Ama direk sayısı 5'tir (3, 4, 5, 6, 7). Çıkarma işlemi aralıkları sayar. Baştaki terimi de saymak için 1 ekleriz. Artış 1 değilse, aralıkların sayısını bulmak için farkı artış miktarına böleriz.

3) Toplam: Toplam = (ilk terim + son terim) ÷ 2 × terim sayısı

Neden? 1 + 2 + 3 + … + 10 toplamına bakalım. İlk ile sonu eşleştirelim: 1 + 10 = 11, 2 + 9 = 11, 3 + 8 = 11… Her çiftin toplamı aynıdır. 10 sayıdan 5 çift çıkar, toplam 5 × 11 = 55 olur. Kısacası (ilk + son) ÷ 2 bu sayıların ortalamasıdır. Ortalama ile terim sayısını çarpınca toplamı buluruz. Terim sayısı tek ise bu ortalama, tam ortadaki terime eşittir.

4) Rakam ve sayı: Rakamlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olmak üzere 10 tanedir. Sayı ise bu rakamlarla yazılan ifadedir. Her rakam aynı zamanda bir sayıdır (7 hem rakam hem sayıdır). Ama 23 bir sayıdır, rakam değildir. En büyük rakam 9, en küçük rakam 0'dır.

5) Basamak ve çözümleme: Sayımızda her basamak, sağındaki basamağın 10 katı değerdedir. Bu yüzden iki basamaklı ab sayısı ab = 10a + b olarak yazılır. Burada a ≠ 0 olmalıdır, yoksa sayı iki basamaklı olmaz. Üç basamaklı abc sayısı abc = 100a + 10b + c olarak yazılır. Uyarı: ab, a × b demek değildir. Örneğin a = 3, b = 5 ise ab = 35 olur, 15 değil.

6) Basamak değeri ve sayı değeri: 4725 sayısında 7'nin sayı değeri 7'dir. Basamak değeri ise yüzler basamağında durduğu için 700'dür.

7) İki kullanışlı sonuç: ab + ba = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b). ab − ba = (10a + b) − (10b + a) = 9a − 9b = 9(a − b).

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay): 17'den 53'e kadar (ikisi de dahil) kaç tam sayı vardır? Bu sayıların toplamı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Terim sayısı = (53 − 17) ÷ 1 + 1 = 36 + 1 = 37.

Adım 2: İlk ve son terimin ortalaması = (17 + 53) ÷ 2 = 70 ÷ 2 = 35.

Adım 3: Toplam = 35 × 37 = 1295.

Sonuç: 37 tane sayı vardır, toplamları 1295'tir.

Örnek 2: 12 + 15 + 18 + … + 96 toplamı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Sayılar 3'er artıyor, yani artış miktarı 3.

Adım 2: Terim sayısı = (96 − 12) ÷ 3 + 1 = 84 ÷ 3 + 1 = 28 + 1 = 29.

Adım 3: Ortalama = (12 + 96) ÷ 2 = 108 ÷ 2 = 54.

Adım 4: Toplam = 54 × 29 = 54 × 30 − 54 = 1620 − 54 = 1566.

Sonuç: 1566

Örnek 3: Ardışık 5 çift sayının toplamı 130'dur. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Terim sayısı tek (5) olduğu için ortalama, tam ortadaki sayıya eşittir.

Adım 2: Ortadaki sayı = 130 ÷ 5 = 26.

Adım 3: Çift sayılar 2'şer artar. Sayılar 22, 24, 26, 28, 30 olur.

Adım 4: Kontrol: 22 + 24 + 26 + 28 + 30 = 130. Doğru.

Sonuç: En büyük sayı 30'dur.

Örnek 4 (orta): ab ve ba iki basamaklı sayılardır. ab + ba = 121 ve ab − ba = 27 ise ab kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: ab + ba = 11(a + b) = 121 olduğundan a + b = 11.

Adım 2: ab − ba = 9(a − b) = 27 olduğundan a − b = 3.

Adım 3: İki eşitliği taraf tarafa toplarsak 2a = 14 olur, buradan a = 7.

Adım 4: b = 11 − 7 = 4.

Adım 5: Kontrol: 74 + 47 = 121 ve 74 − 47 = 27. Doğru.

Sonuç: ab = 74

Örnek 5 (orta): Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı en büyük çift sayı ile rakamları birbirinden farklı üç basamaklı en küçük tek sayının farkı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Sayının büyük olması için soldaki basamaklara en büyük rakamları koyarız: yüzler 9, onlar 8. Birler basamağı çift olmalı ve 9 ile 8'den farklı olmalı. En büyük seçenek 6'dır. Sayı 986 olur.

Adım 2: Sayının küçük olması için yüzler basamağına 1 koyarız, çünkü 0 konamaz. Onlar basamağına 0 koyarız. Birler basamağı tek olmalı ve 1'den farklı olmalı. En küçük seçenek 3'tür. Sayı 103 olur.

Adım 3: Fark = 986 − 103 = 883.

Sonuç: 883

Örnek 6 (zor): İki basamaklı AB sayısı, rakamları toplamının 7 katına eşittir. Bu koşula uyan kaç tane AB sayısı vardır?

Çözüm:

Adım 1: Çözümleyelim: 10A + B = 7(A + B).

Adım 2: Sağ tarafı açalım: 10A + B = 7A + 7B.

Adım 3: A'ları bir yana, B'leri öbür yana toplayalım: 3A = 6B. Buradan A = 2B.

Adım 4: A bir rakam olduğu ve 0 olamadığı için B = 1, 2, 3, 4 olabilir. Sayılar 21, 42, 63, 84 olur.

Adım 5: Kontrol: 21 = 7 × 3, 42 = 7 × 6, 63 = 7 × 9, 84 = 7 × 12. Hepsi uyuyor.

Sonuç: 4 tane

Örnek 7 (zor): Üç basamaklı bir sayının onlar basamağındaki rakam 3 artırılıyor, birler basamağındaki rakam 5 azaltılıyor. Sayı nasıl değişir?

Çözüm:

Adım 1: Onlar basamağındaki 1 birimlik değişiklik sayıya 10 birim etki eder. 3 artış, sayıyı 3 × 10 = 30 artırır.

Adım 2: Birler basamağındaki 5 azalış, sayıyı 5 azaltır.

Adım 3: Toplam değişim = +30 − 5 = +25.

Adım 4: Örnekle kontrol: 418 sayısında onlar 1 → 4, birler 8 → 3 olunca 443 elde ederiz. 443 − 418 = 25. Doğru.

Sonuç: Sayı 25 artar.

TYT'de soru tipi, süre ve şık eleme

• Soru tipleri: Doğrudan toplam veya terim sayısı, ardışık sayılarla kurulan denklem, ab/abc çözümlemesi, rakamların yeri değişince oluşan fark, en büyük/en küçük sayı yazma.
• Süre: Bu tür sorular genelde kısa sürer. Hedefiniz soru başına 1–1,5 dakika olsun. Uzarsa soruyu işaretleyip sonra dönün.
• Şık eleme 1: ab + ba her zaman 11'in katıdır, ab − ba her zaman 9'un katıdır. Bu kurala uymayan şıkları hemen eleyin.
• Şık eleme 2: Tek sayıda ardışık sayının toplamı, terim sayısının katıdır. Örneğin ardışık 5 sayının toplamı 5'e bölünür.
• Şık eleme 3: "En büyük/en küçük" sorularında şıkları koşula göre tek tek deneyin: rakamlar farklı mı, sayı tek mi çift mi? Bu, yeniden hesaplamaktan daha hızlıdır.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: 20'den 50'ye kadar (dahil) 50 − 20 = 30 sayı vardır. → Doğrusu: 50 − 20 + 1 = 31 sayı vardır, baştaki terim de sayılır.
• Yanlış: a = 4, b = 6 ise ab = 24. → Doğrusu: ab = 10 × 4 + 6 = 46. Yan yana yazmak, çarpmak demek değildir.
• Yanlış: Rakamları farklı üç basamaklı en küçük sayı 123'tür (ya da 012'dir). → Doğrusu: 102'dir. 0 yüzler basamağına gelemez ama onlar basamağında kullanılabilir.
• Yanlış: Ardışık tek sayılar n, n + 1, n + 2 diye yazılır. → Doğrusu: n tek ise ardışık tek sayılar n, n + 2, n + 4 diye yazılır.
• Yanlış: 3582'de 5'in basamak değeri 5'tir. → Doğrusu: 5'in sayı değeri 5, basamak değeri 500'dür.

Alıştırma

1) 1 + 2 + 3 + … + 40 toplamı kaçtır?

2) 25'ten 75'e kadar (ikisi de dahil) kaç tam sayı vardır?

3) 7 + 11 + 15 + … + 83 toplamı kaçtır?

4) Ardışık 3 tek sayının toplamı 87'dir. En küçüğü kaçtır?

5) 1 + 3 + 5 + … + 39 toplamı kaçtır?

6) ab ve ba iki basamaklı sayılardır. ab + ba = 143 ise a + b kaçtır?

7) ab ve ba iki basamaklı sayılardır. ab − ba = 54 ise ab en büyük kaç olabilir?

8) Rakamları farklı iki basamaklı en büyük tek sayı ile en küçük çift sayının toplamı kaçtır?

9) 5723 sayısında 7'nin basamak değeri ile 2'nin basamak değerinin farkı kaçtır?

10) Üç basamaklı bir sayının yüzler basamağındaki rakam 2 azaltılıyor, birler basamağındaki rakam 4 artırılıyor. Sayı nasıl değişir?

Cevap Anahtarı

• 1) 820: n(n + 1) ÷ 2 = 40 × 41 ÷ 2 = 820.
• 2) 51: (75 − 25) + 1 = 51.
• 3) 900: Terim sayısı (83 − 7) ÷ 4 + 1 = 20, toplam (7 + 83) ÷ 2 × 20 = 45 × 20 = 900.
• 4) 27: Ortadaki sayı 87 ÷ 3 = 29, sayılar 27, 29, 31.
• 5) 400: Terim sayısı (39 − 1) ÷ 2 + 1 = 20, ilk n tek sayının toplamı n² = 20² = 400.
• 6) 13: 11(a + b) = 143 olduğundan a + b = 13.
• 7) 93: 9(a − b) = 54 olduğundan a − b = 6, b ≠ 0 olmalı, en büyük a = 9 ve b = 3 (93 − 39 = 54).
• 8) 107: En büyük tek sayı 97 (99'un rakamları aynı), en küçük çift sayı 10, toplam 97 + 10 = 107.
• 9) 680: 7'nin basamak değeri 700, 2'ninki 20, fark 700 − 20 = 680.
• 10) 196 azalır: Yüzlerdeki 2 azalış sayıyı 200 azaltır, birlerdeki 4 artış 4 artırır, −200 + 4 = −196.

Dersin özeti

• Terim sayısı = (son − ilk) ÷ artış + 1. Buradaki +1, baştaki terimi de saymak içindir.
• Toplam = (ilk + son) ÷ 2 × terim sayısı. Tek sayıda terim varsa ortadaki terim, ortalamaya eşittir.
• Rakamlar 0'dan 9'a kadar 10 semboldür. Sayılar bu rakamlarla yazılır. Bir rakamın değeri, durduğu basamağa göre değişir.
• ab = 10a + b ve abc = 100a + 10b + c. Buradan ab + ba = 11(a + b) ve ab − ba = 9(a − b) çıkar.
• En büyük sayı için sol basamaklara büyük rakamlar, en küçük sayı için küçük rakamlar konur. Baştaki basamağa 0 konamaz, tek/çift ve "rakamlar farklı" koşulları en sonda kontrol edilir.