Polinom Kavramı: Derece, Katsayı ve Sabit Terim

Hoş geldin! Bu kursta polinomları, ikinci dereceden denklemleri ve parabolü adım adım öğreneceğiz. Kural ezberlemeyeceğiz, her kuralın neden öyle olduğunu konuşacağız. İlk dersimiz bütün kursun temelini oluşturuyor: Polinom nedir? Derecesi, katsayıları ve sabit terimi nasıl bulunur? Hazırsan başlayalım.

Günlük hayattan giriş

Bir kırtasiyeden defter aldığını düşün. Bir defter 30 lira, çantaya koymak için bir de 5 liralık poşet alıyorsun. x tane defter alırsan ödeyeceğin tutar 30x + 5 olur. Bu ifade, x yerine hangi sayıyı koyarsan koy sana ödenecek parayı söyler. x = 2 için 30 · 2 + 5 = 65 lira ödersin. İşte bu tür ifadeler polinomların en basit hâlidir.

Biraz daha karmaşık bir durum düşünelim. Kenar uzunluğu x cm olan kare şeklinde bir kartonun her köşesinden küçük kareler kesip kutu yaptığımızda kutunun hacmi x², x³ gibi terimler içeren bir ifadeyle hesaplanır. Mühendisler bir köprünün eğimini, ekonomistler maliyeti, oyun tasarımcıları bir topun izlediği yolu çoğu zaman bu tür ifadelerle modeller. Bu ifadelerin ortak özelliği şudur: Değişkenin yalnızca doğal sayı kuvvetleri vardır; sayılarla çarpılır, toplanır, çıkarılır.

Bu tür ifadeleri tanımak önemlidir, çünkü polinomlarla hesap yapmak çok kolaydır: Değişken yerine sayı koyarsın, sadece çarpma ve toplama yaparsın. Paydada x olan ya da kök içinde x bulunan ifadelerde ise bazı sayılar tanımsız sonuç verebilir. Bu yüzden önce bir ifadenin polinom olup olmadığını ayırt etmeyi öğreneceğiz.

Tanım ve kural

Tanım: n bir doğal sayı ve a₀, a₁, a₂, …, aₙ gerçek sayılar olmak üzere

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀

biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı gerçek katsayılı polinom denir. Buradaki her bir parçaya (örneğin a₂x²) terim, x'in önündeki sayılara katsayı denir.

Polinom olma şartı: x'in bütün üsleri doğal sayı olmalıdır, yani 0, 1, 2, 3, … Bu şart neden var? Çünkü negatif üs aslında bölme demektir: x⁻¹ = 1/x. x = 0 için 1/0 tanımsızdır. Kesirli üs ise kök demektir: x üzeri 1/2 = √x. x negatif olduğunda √x gerçek sayı değildir. Polinomların her gerçek sayıda sorunsuz hesaplanabilmesini istediğimiz için yalnızca doğal sayı üslerine izin veriyoruz. Katsayılar ise herhangi bir gerçek sayı olabilir: √2, −3, 1/5, π gibi. Çünkü katsayı x ile ilgili bir işlem yapmaz, sadece çarpandır.

Derece: Polinomdaki x'in en büyük üssüne polinomun derecesi denir ve der[P(x)] ile gösterilir. Baş katsayı: En büyük dereceli terimin katsayısıdır. Dikkat: Baş katsayı, yazılışta en başta duran sayı değil, en büyük üslü terimin katsayısıdır. Sabit terim: İçinde x bulunmayan terimdir (a₀). Aslında a₀ = a₀x⁰ olduğu için o da bir terimdir.

Özel durumlar: P(x) = 7 gibi sıfırdan farklı sabit polinomun derecesi 0'dır, çünkü 7 = 7x⁰ yazılabilir. P(x) = 0 polinomuna sıfır polinomu denir ve derecesi tanımsızdır, çünkü 0 = 0x⁵ = 0x¹⁰⁰ diye yazılabilir; tek bir en büyük üs belirlenemez.

P(a) değeri: P(a), polinomda x gördüğümüz her yere a yazıp işlemi yapmak demektir.

Katsayılar toplamı = P(1). Neden? 1'in her kuvveti 1'dir: 1² = 1, 1⁵ = 1. x yerine 1 yazınca her terim sadece kendi katsayısına dönüşür: P(1) = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₁ + a₀. Bu da tam olarak katsayıların toplamıdır.

Sabit terim = P(0). Neden? 0'ın pozitif kuvvetleri 0'dır. x yerine 0 yazınca x içeren bütün terimler sıfırlanır, geriye yalnızca a₀ kalır. Bu iki yöntem özellikle polinom açılmamış hâlde verildiğinde, örneğin (2x − 1)³ gibi, çok zaman kazandırır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Aşağıdaki ifadelerden hangileri polinomdur? A) 3x⁴ − 2x + 7 B) x² + 1/x C) √x + 5 D) √2 · x³ − 1 E) 5

Çözüm:

A) Üsler 4, 1 ve 0. Hepsi doğal sayı → polinomdur.

B) 1/x = x⁻¹. Üs −1 doğal sayı değil → polinom değildir.

C) √x = x üzeri 1/2. Üs 1/2 doğal sayı değil → polinom değildir.

D) √2 bir katsayıdır, x'in kökü alınmamıştır. Üsler 3 ve 0 → polinomdur.

E) 5 = 5x⁰ → sabit polinomdur.

Polinom olanlar: A, D ve E.

Örnek 2

P(x) = 4x − 7 + 2x³ − x⁶ polinomunun derecesini, baş katsayısını ve sabit terimini bulunuz.

Çözüm:

Önce terimleri üslere göre büyükten küçüğe sıralayalım: P(x) = −x⁶ + 2x³ + 4x − 7.

En büyük üs 6 → derece 6.

−x⁶ aslında (−1) · x⁶ demektir → baş katsayı −1.

x içermeyen terim −7 → sabit terim −7.

Derece 6, baş katsayı −1, sabit terim −7.

Örnek 3

P(x) = x³ − 2x² + 4 polinomu için P(2) ve P(−1) değerlerini bulunuz.

Çözüm:

P(2) = 2³ − 2 · 2² + 4

P(2) = 8 − 2 · 4 + 4 = 8 − 8 + 4 = 4

P(−1) = (−1)³ − 2 · (−1)² + 4

(−1)³ = −1 ve (−1)² = 1 olduğundan P(−1) = −1 − 2 · 1 + 4 = −1 − 2 + 4 = 1

P(2) = 4 ve P(−1) = 1.

Örnek 4

P(x) = (2x − 1)³ + x² − 5 polinomunun katsayılar toplamını ve sabit terimini bulunuz.

Çözüm:

Parantezi açmaya gerek yok. Katsayılar toplamı P(1)'dir.

P(1) = (2 · 1 − 1)³ + 1² − 5 = 1³ + 1 − 5 = 1 + 1 − 5 = −3

Sabit terim P(0)'dır.

P(0) = (2 · 0 − 1)³ + 0² − 5 = (−1)³ − 5 = −1 − 5 = −6

Kontrol: (2x − 1)³ = 8x³ − 12x² + 6x − 1 olduğundan P(x) = 8x³ − 11x² + 6x − 6. Katsayılar toplamı 8 − 11 + 6 − 6 = −3, sabit terim −6. Sonuçlar tutuyor.

Katsayılar toplamı −3, sabit terim −6.

Örnek 5

P(x) = 3x^(n − 2) + x^(8/n) − 4 ifadesi bir polinom olduğuna göre n'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? (^ işareti üs anlamındadır.)

Çözüm:

Her iki üs de doğal sayı olmalı.

Birinci şart: n − 2 doğal sayı → n − 2 ≥ 0 → n ∈ {2, 3, 4, 5, …}.

İkinci şart: 8/n doğal sayı → n, 8'in pozitif böleni olmalı → n ∈ {1, 2, 4, 8}.

İki şartı birlikte sağlayanlar: n ∈ {2, 4, 8}. (n = 1 birinci şartı sağlamaz, çünkü 1 − 2 = −1.)

Toplam: 2 + 4 + 8 = 14

Cevap: 14.

Örnek 6

P(x) = x² − 3x + 5 olduğuna göre P(x + 2) polinomunun katsayılar toplamını ve sabit terimini bulunuz.

Çözüm:

Q(x) = P(x + 2) diyelim. Q'nun katsayılar toplamı Q(1)'dir.

Q(1) = P(1 + 2) = P(3) = 3² − 3 · 3 + 5 = 9 − 9 + 5 = 5

Q'nun sabit terimi Q(0)'dır.

Q(0) = P(0 + 2) = P(2) = 2² − 3 · 2 + 5 = 4 − 6 + 5 = 3

Kontrol: P(x + 2) = (x + 2)² − 3(x + 2) + 5 = x² + 4x + 4 − 3x − 6 + 5 = x² + x + 3. Katsayılar toplamı 1 + 1 + 3 = 5, sabit terim 3.

Katsayılar toplamı 5, sabit terim 3.

Sık yapılan hatalar

• Baş katsayıyı en baştaki sayı sanmak. Yanlış: P(x) = 5 + 2x − 3x⁴ için baş katsayı 5. Doğrusu: En büyük üslü terim −3x⁴ olduğundan baş katsayı −3.
• İşareti unutmak. Yanlış: P(x) = x³ − 2x için katsayılar toplamı 1 + 2 = 3. Doğrusu: P(1) = 1 − 2 = −1; katsayı işaretiyle birlikte alınır.
• Parantezli ifadede sabit terimi gözle okumak. Yanlış: P(x) = (x − 2)² + 3 için sabit terim 3. Doğrusu: P(0) = (−2)² + 3 = 4 + 3 = 7.
• Negatif sayının karesinde parantezi unutmak. Yanlış: P(x) = x² için P(−2) = −2² = −4. Doğrusu: P(−2) = (−2)² = 4; x yerine sayı yazarken daima parantez kullan.
• Sabit polinomun derecesini karıştırmak. Yanlış: P(x) = 7 ise derece 1 ya da tanımsız. Doğrusu: 7 = 7x⁰ olduğundan derece 0; derecesi tanımsız olan yalnızca sıfır polinomudur.

Alıştırma

1) 4x³ − x + 2/x ifadesi polinom mudur?

2) P(x) = 7 − 2x + 6x⁴ − x² polinomunun derecesi, baş katsayısı ve sabit terimi nedir?

3) P(x) = 2x² − 5x + 1 ise P(3) kaçtır?

4) P(x) = x³ + x² − 4 ise P(−2) kaçtır?

5) P(x) = (x + 1)⁴ − 3x polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

6) P(x) = (3x − 2)² + x + 5 polinomunun sabit terimi kaçtır?

7) P(x) = (m − 4)x⁵ + 2x³ − x + 1 polinomunun derecesi 3 ise m kaçtır?

8) P(x) = x^(n − 1) + 4x^(6/n) ifadesi polinom olduğuna göre n'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

9) P(x) = x² − 2x + 3 ise P(x − 1) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

10) P(x) = x² − 2x + 3 ise P(x − 1) polinomunun sabit terimi kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) Hayır. 2/x = 2x⁻¹ olduğundan üs −1 doğal sayı değildir.
• 2) Derece 4, baş katsayı 6, sabit terim 7. Sıralayınca 6x⁴ − x² − 2x + 7 elde edilir.
• 3) 4. 2 · 9 − 15 + 1 = 18 − 15 + 1 = 4.
• 4) −8. (−2)³ + (−2)² − 4 = −8 + 4 − 4 = −8.
• 5) 13. P(1) = 2⁴ − 3 = 16 − 3 = 13.
• 6) 9. P(0) = (−2)² + 0 + 5 = 4 + 5 = 9.
• 7) 4. Derecenin 3 olması için x⁵'in katsayısı sıfır olmalı: m − 4 = 0.
• 8) 12. n − 1 ≥ 0 ve n, 6'nın böleni olmalı: n ∈ {1, 2, 3, 6}, toplam 12.
• 9) 3. Katsayılar toplamı P(1 − 1) = P(0) = 3.
• 10) 6. Sabit terim P(0 − 1) = P(−1) = 1 + 2 + 3 = 6.

Dersin özeti

• Bir ifadenin polinom olması için x'in bütün üsleri doğal sayı (0, 1, 2, …) olmalıdır; katsayılar herhangi bir gerçek sayı olabilir.
• Derece en büyük üstür; baş katsayı en büyük üslü terimin katsayısıdır, yazılışta en başta duran sayı değildir.
• Sıfırdan farklı sabit polinomun derecesi 0, sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.
• Katsayılar toplamı P(1)'dir, çünkü 1'in her kuvveti 1'dir; sabit terim P(0)'dır, çünkü x içeren terimler sıfırlanır.
• P(x + a) gibi polinomlarda katsayılar toplamı P(1 + a), sabit terim P(a) ile bulunur; parantezi açmaya gerek yoktur.