Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Tahmini süre: 18 dk

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde polinomlarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yaptık. Örneğin (x + 3)(x + 4) çarpımını açıp x² + 7x + 12 bulmayı öğrendik. Bu derste yolu tersinden yürüyeceğiz: Elimizde x² + 7x + 12 olacak ve bunun hangi iki ifadenin çarpımı olduğunu bulacağız. Bu işleme çarpanlarına ayırma denir.

Aslında bunu sayılarla çok önce yapmaya başladın. 60 sayısını 2 · 2 · 3 · 5 diye yazmak, 60'ı çarpanlarına ayırmaktır. Sayıyı parçalarına ayırınca sadeleştirme yapmak, ortak bölen bulmak kolaylaşır. Polinomlarda da aynısı geçerlidir: Bir ifadeyi çarpanlarına ayırınca rasyonel ifadeleri sadeleştirebilir, denklemleri çok hızlı çözebiliriz.

Bir örnek düşünelim: Kenarları x metre olan kare bir bahçenin bir kenarını 3 metre uzatıp diğer kenarını 3 metre kısaltırsan alan (x + 3)(x − 3) = x² − 9 olur. Yani yeni bahçe, eski bahçeden tam 9 m² küçüktür. Bu bilgi, özdeşlikler sayesinde tek bakışta görülür. Aynı düşünceyle 99 · 101 çarpımını kâğıt kalem kullanmadan hesaplayabiliriz: (100 − 1)(100 + 1) = 10000 − 1 = 9999.

Tanım ve kural

Bir polinomu, derecesi daha küçük polinomların çarpımı biçiminde yazmaya çarpanlarına ayırma denir. Bir eşitlik, içindeki değişkene hangi değeri verirsek verelim doğru kalıyorsa ona özdeşlik denir. Dört temel yöntemi ve nedenlerini tek tek görelim.

1) Ortak çarpan parantezi: Her terimde ortak olan çarpanı dışarı alırız. Nedeni dağılma özelliğidir: a(b + c) = ab + ac. Biz bu eşitliği sağdan sola okuyoruz: ab + ac = a(b + c).

2) Gruplandırma: Tüm terimlerde ortak çarpan yoksa terimleri ikişer ikişer gruplarız. Her gruptan ortak çarpan alınca aynı parantez ortaya çıkarsa, o parantez de ortak çarpan olur.

3) İki kare farkı: a² − b² = (a − b)(a + b). Neden? Sağ tarafı açalım: (a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b². Ortadaki ab ve −ab birbirini götürür, geriye a² − b² kalır.

4) Tam kare özdeşlikleri: (a + b)² = a² + 2ab + b² ve (a − b)² = a² − 2ab + b². Neden? (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². Geometrik olarak düşünürsen, kenarı a + b olan karenin içinde bir a², bir b² ve iki tane ab dikdörtgeni vardır. Ortadaki 2ab terimini unutmamak bu yüzden çok önemlidir.

5) x² + bx + c üç terimlisi: (x + m)(x + n) çarpımını açalım: x² + nx + mx + mn = x² + (m + n)x + mn. Demek ki x² + bx + c ifadesini ayırmak için çarpımı c, toplamı b olan iki sayı (m ve n) ararız. Bulursak x² + bx + c = (x + m)(x + n) olur.

Altın kural: Çarpanlarına ayırdıktan sonra çarpımı zihninde açarak kontrol et. Başladığın ifadeye ulaşıyorsan doğru yoldasın.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 6x² + 9x ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

6x² = 3x · 2x ve 9x = 3x · 3 olarak yazılabilir.

İki terimde ortak çarpan 3x'tir.

3x'i dışarı alırız: 3x(2x + 3).

Kontrol: 3x · 2x + 3x · 3 = 6x² + 9x. Doğru.

Sonuç: 6x² + 9x = 3x(2x + 3)

Örnek 2: 9x² − 25 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

9x² = (3x)² ve 25 = 5² olduğundan ifade iki kare farkıdır.

a = 3x, b = 5 alırız.

a² − b² = (a − b)(a + b) kuralını uygularız.

Sonuç: 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5)

Örnek 3: x² − 10x + 25 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

Baş terim x² = (x)², son terim 25 = 5².

Ortadaki terim kontrol edilir: 2 · x · 5 = 10x. İşaret eksi olduğu için (a − b)² kalıbına uyar.

a = x, b = 5 alınır.

Sonuç: x² − 10x + 25 = (x − 5)²

Örnek 4: x² + 7x + 12 ve x² − 2x − 15 ifadelerini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm (birinci ifade):

Çarpımı 12, toplamı 7 olan iki sayı aranır.

12'nin çarpan çiftleri: 1 ve 12 (toplam 13), 2 ve 6 (toplam 8), 3 ve 4 (toplam 7).

Aranan sayılar 3 ve 4'tür.

Sonuç: x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

Çözüm (ikinci ifade):

Çarpımı −15, toplamı −2 olan iki sayı aranır.

Çarpım negatif olduğu için sayılardan biri pozitif, biri negatiftir.

Toplam negatif olduğu için mutlak değerce büyük olan negatiftir: −5 ve 3.

Kontrol: (−5) · 3 = −15 ve (−5) + 3 = −2.

Sonuç: x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3)

Örnek 5: x³ + 2x² + 3x + 6 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

Dört terimin hepsinde ortak çarpan yoktur, gruplandırma deneriz.

İlk iki terim: x³ + 2x² = x²(x + 2).

Son iki terim: 3x + 6 = 3(x + 2).

İfade x²(x + 2) + 3(x + 2) olur; (x + 2) ortak çarpandır.

Sonuç: x³ + 2x² + 3x + 6 = (x + 2)(x² + 3)

Örnek 6: 2x³ − 18x ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

Önce ortak çarpan: 2x³ − 18x = 2x(x² − 9).

Parantezin içi hâlâ ayrılabilir: x² − 9 = x² − 3² iki kare farkıdır.

x² − 9 = (x − 3)(x + 3).

Sonuç: 2x³ − 18x = 2x(x − 3)(x + 3)

Örnek 7: 101² − 99² işlemini hesap makinesi kullanmadan yapınız.

Çözüm:

İfade iki kare farkıdır: a = 101, b = 99.

(101 − 99)(101 + 99) = 2 · 200.

Sonuç: 400

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: (x + 3)² = x² + 9. Doğrusu: (x + 3)² = x² + 6x + 9. Ortadaki 2ab terimi unutulmamalıdır; x = 1 yazıp dene: 4² = 16, ama 1 + 9 = 10 olur.
• Yanlış: x² + 9 = (x − 3)(x + 3). Doğrusu: (x − 3)(x + 3) = x² − 9'dur. İki kare toplamı olan x² + 9, bu derste öğrendiğimiz yöntemlerle gerçek sayılarda çarpanlarına ayrılmaz.
• Yanlış: 3x² + 3x = 3x · x. Doğrusu: 3x² + 3x = 3x(x + 1). Ortak çarpanı dışarı alınca terimin kendisi yok olmaz, yerinde 1 kalır.
• Yanlış: x² − x − 6 = (x + 3)(x − 2). Doğrusu: (x − 3)(x + 2). Açınca kontrol et: (x + 3)(x − 2) = x² + x − 6 verir, işaret hatası vardır.
• Yanlış: 2x³ − 18x = 2x(x² − 9) deyip bırakmak. Doğrusu: 2x(x − 3)(x + 3). Parantez içi hâlâ ayrılabiliyorsa işlem bitmemiştir.

Alıştırma

1) 5x² − 15x ifadesini çarpanlarına ayırınız.

2) x² − 49 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

3) x² + 6x + 9 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

4) 4x² − 12x + 9 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

5) x² + 5x + 6 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

6) x² − 8x + 15 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

7) x² + x − 20 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

8) ax + ay + 2x + 2y ifadesini çarpanlarına ayırınız.

9) 3x² − 27 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

10) 53² − 47² işleminin sonucunu bulunuz.

Cevap Anahtarı

• 1) 5x(x − 3). İpucu: İki terimde ortak çarpan 5x'tir.
• 2) (x − 7)(x + 7). İpucu: 49 = 7² olduğundan iki kare farkıdır.
• 3) (x + 3)². İpucu: 9 = 3² ve 2 · x · 3 = 6x olduğundan tam karedir.
• 4) (2x − 3)². İpucu: 4x² = (2x)², 9 = 3² ve 2 · 2x · 3 = 12x, işaret eksidir.
• 5) (x + 2)(x + 3). İpucu: Çarpımı 6, toplamı 5 olan sayılar 2 ve 3'tür.
• 6) (x − 3)(x − 5). İpucu: Çarpımı 15, toplamı −8 olan sayılar −3 ve −5'tir.
• 7) (x + 5)(x − 4). İpucu: Çarpımı −20, toplamı 1 olan sayılar 5 ve −4'tür.
• 8) (x + y)(a + 2). İpucu: a(x + y) + 2(x + y) biçiminde gruplandırılır.
• 9) 3(x − 3)(x + 3). İpucu: Önce 3 dışarı alınır, kalan x² − 9 iki kare farkıdır.
• 10) 600. İpucu: (53 − 47)(53 + 47) = 6 · 100 = 600.

Dersin özeti

• Çarpanlarına ayırmaya her zaman önce ortak çarpan arayarak başla; dört terim varsa gruplandırmayı dene.
• a² − b² = (a − b)(a + b): İki kare arasında eksi varsa bu özdeşliği kullan; iki kare toplamı bu yolla ayrılmaz.
• (a ± b)² = a² ± 2ab + b²: Ortadaki 2ab terimini asla unutma.
• x² + bx + c için çarpımı c, toplamı b olan iki sayı bul; işaretlere dikkat et ve sonucu açarak kontrol et.
• Bir sonraki derste bu becerileri kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözeceğiz: Örneğin x² + 7x + 12 = 0 denklemini (x + 3)(x + 4) = 0 yazıp çarpımı sıfır yapan değerleri kolayca bulacağız.