İkinci Dereceden Denklemler: Çarpanlara Ayırarak Çözüm

Tahmini süre: 15 dk

Önceki derslerde polinomları çarpanlara ayırmayı öğrendik: ortak çarpan parantezine almayı, iki kare farkını ve x² + bx + c biçimindeki üç terimlileri. Bu derste o becerinin asıl işe yaradığı yeri göreceğiz: denklem çözmek. Bir sonraki derste de çarpanlarına kolayca ayrılamayan denklemler için diskriminant ve kök formülünü inceleyeceğiz.

Günlük hayattan giriş

Bir bahçıvan, alanı 10 m² olan dikdörtgen bir çiçek tarhı yapmak istiyor. Tarhın uzunluğu, genişliğinden 3 metre fazla olacak. Genişliğe x dersek uzunluk x + 3 olur ve alan için x·(x + 3) = 10 yazarız. Bu eşitliği düzenlersek x² + 3x − 10 = 0 elde ederiz. Karşımıza bir ikinci dereceden denklem çıktı. Bu tür sorular alan, hız, fiyat ve kâr hesaplarında çok sık görülür.

Bir topun havaya atılıp tekrar yere düştüğü anı bulmak, bir ürünün fiyatını belirli bir kazanç elde edecek şekilde ayarlamak ya da bir kareden kesilen parçaların boyutunu hesaplamak da bizi aynı tür denklemlere götürür. Hepsinin ortak noktası, bilinmeyenin karesinin (x²) denklemde yer almasıdır.

Bu denklemleri çözmenin en hızlı ve en anlaşılır yolu, önceki derslerde öğrendiğimiz çarpanlara ayırmayı kullanmaktır. Çünkü çarpanlara ayrılmış bir ifadenin hangi x değerlerinde sıfır olduğunu görmek çok kolaydır. Bahçıvanın sorusunu da bu dersin sonunda çözmüş olacağız.

Tanım ve kural

Tanım: a, b, c gerçek sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere ax² + bx + c = 0 biçimindeki denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Neden a ≠ 0? Eğer a = 0 olsaydı x² terimi ortadan kalkar, denklem bx + c = 0 olurdu. Bu da birinci dereceden bir denklemdir. Yani denklemi "ikinci dereceden" yapan şey x² teriminin gerçekten var olmasıdır.

Kök: Denklemde x yerine yazıldığında eşitliği sağlayan sayıya denklemin kökü denir. Örneğin x² − 4 = 0 denkleminde x = 2 yazarsak 4 − 4 = 0 olur; o hâlde 2 bir köktür.

Çözüm kümesi: Denklemin bütün köklerinden oluşan kümedir ve genellikle ÇK ile gösterilir. x² − 4 = 0 için ÇK = {−2, 2} olur. İkinci dereceden bir denklemin gerçek sayılarda en fazla iki farklı kökü vardır.

Temel kural (sıfır çarpım kuralı): İki sayının çarpımı sıfırsa bu sayılardan en az biri sıfırdır. Yani A · B = 0 ise A = 0 veya B = 0 olur.

Bu kural neden doğru? Sıfırdan farklı iki sayıyı çarptığımızda sonuç asla sıfır çıkmaz: 3 · 5 = 15, (−2) · 7 = −14, (1/2) · 4 = 2. Çarpımın sıfır olabilmesi için çarpanlardan birinin mutlaka sıfır olması gerekir. Dikkat: Bu özellik yalnızca sıfır için geçerlidir. A · B = 6 ise A = 6 veya B = 6 diyemeyiz; çünkü 2 · 3 = 6 gibi sonsuz farklı ihtimal vardır.

Çözüm adımları:

1. Bütün terimleri eşitliğin bir tarafına toplayıp diğer tarafı 0 yap.

2. Sol tarafı çarpanlarına ayır.

3. Her çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitle.

4. Ortaya çıkan birinci dereceden denklemleri çöz.

5. Bulduğun kökleri denklemde yerine yazarak kontrol et ve çözüm kümesini yaz.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

x² − 9 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

9 = 3² olduğundan ifade iki kare farkıdır.

x² − 9 = (x − 3)(x + 3) olarak yazılır.

(x − 3)(x + 3) = 0 ise x − 3 = 0 veya x + 3 = 0 olur.

Buradan x = 3 veya x = −3 bulunur.

Kontrol: 3² − 9 = 0 ✓ ve (−3)² − 9 = 9 − 9 = 0 ✓

ÇK = {−3, 3}

Örnek 2

3x² = 12x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

Önce her şeyi bir tarafa toplayalım: 3x² − 12x = 0.

İki terimde de 3x ortak: 3x(x − 4) = 0.

3x = 0 veya x − 4 = 0 olur.

Buradan x = 0 veya x = 4 bulunur.

Kontrol: x = 4 için 3 · 16 = 48 ve 12 · 4 = 48 ✓; x = 0 için 0 = 0 ✓

ÇK = {0, 4}

Not: Her iki tarafı x'e bölseydik x = 0 kökünü kaybederdik. Bu yüzden bilinmeyene bölmek yerine ortak çarpan parantezine alıyoruz.

Örnek 3

x² + 2x − 15 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

Çarpımı −15, toplamı +2 olan iki sayı arıyoruz.

Çarpım negatif olduğundan sayılardan biri pozitif, biri negatiftir. Toplam pozitif olduğundan büyük olan pozitiftir.

+5 ve −3: çarpım (+5)·(−3) = −15 ✓, toplam 5 + (−3) = 2 ✓

Denklem (x + 5)(x − 3) = 0 olur.

x + 5 = 0 ise x = −5; x − 3 = 0 ise x = 3.

Kontrol: x = 3 için 9 + 6 − 15 = 0 ✓; x = −5 için 25 − 10 − 15 = 0 ✓

ÇK = {−5, 3}

Örnek 4

x² − 6x + 9 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

x² = x·x, 9 = 3·3 ve orta terim 2·x·3 = 6x olduğundan ifade tam karedir.

x² − 6x + 9 = (x − 3)² yazılır.

(x − 3)(x − 3) = 0 ise iki çarpan da aynı sonucu verir: x = 3.

Aynı kök iki kez geldiği için buna çift katlı kök denir. Kümede tekrar eden eleman bir kez yazılır.

ÇK = {3}

Örnek 5

2x² − 7x + 3 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

Baş katsayı 1 olmadığı için çarpanlar (2x ...)(x ...) biçiminde olur.

Sabit terim +3 ve orta terim negatif olduğundan iki çarpanda da eksi işareti vardır: (2x − 1)(x − 3).

Açarak kontrol edelim: 2x·x − 2x·3 − 1·x + 3 = 2x² − 6x − x + 3 = 2x² − 7x + 3 ✓

2x − 1 = 0 ise 2x = 1, yani x = 1/2.

x − 3 = 0 ise x = 3.

ÇK = {1/2, 3}

Örnek 6

x = 2 sayısı x² + mx − 10 = 0 denkleminin bir kökü ise m kaçtır? Denklemin diğer kökünü bulunuz.

Çözüm:

Kök, denklemi sağlayan sayıdır; o hâlde x yerine 2 yazabiliriz.

2² + m·2 − 10 = 0 → 4 + 2m − 10 = 0 → 2m − 6 = 0 → m = 3.

Denklem x² + 3x − 10 = 0 olur.

Çarpımı −10, toplamı 3 olan sayılar +5 ve −2'dir: (x + 5)(x − 2) = 0.

Kökler x = −5 ve x = 2. Verilen kök 2 olduğuna göre diğer kök −5'tir.

m = 3, diğer kök −5

Örnek 7 (günlük hayat)

Bahçıvanın tarhı: Genişliği x metre, uzunluğu x + 3 metre olan dikdörtgenin alanı 10 m² ise genişlik kaç metredir?

Çözüm:

Alan = genişlik × uzunluk: x(x + 3) = 10.

Parantezi açalım: x² + 3x = 10.

Her şeyi bir tarafa alalım: x² + 3x − 10 = 0.

Örnek 6'daki gibi (x + 5)(x − 2) = 0 olur; x = −5 veya x = 2.

Uzunluk negatif olamayacağından x = −5 değeri problemin koşuluna uymaz.

Kontrol: genişlik 2 m, uzunluk 5 m, alan 2 · 5 = 10 m² ✓

Genişlik 2 metredir.

Sık yapılan hatalar

• Bilinmeyene bölmek: x² = 5x → iki tarafı x'e bölüp x = 5 demek yanlıştır. Doğrusu: x² − 5x = 0 → x(x − 5) = 0 → ÇK = {0, 5}.
• Sıfır olmayan bir sayıya kuralı uygulamak: (x − 2)(x − 3) = 2 → x − 2 = 2 veya x − 3 = 2 demek yanlıştır. Doğrusu: Önce açıp sıfıra eşitle: x² − 5x + 6 = 2 → x² − 5x + 4 = 0 → (x − 1)(x − 4) = 0 → ÇK = {1, 4}.
• İşaret hatası: (x + 5)(x − 3) = 0 → x = 5 veya x = −3 demek yanlıştır. Doğrusu: x + 5 = 0 ise x = −5, x − 3 = 0 ise x = 3; ÇK = {−5, 3}.
• Negatif kökü unutmak: x² = 16 → yalnızca x = 4 demek eksiktir. Doğrusu: x² − 16 = 0 → (x − 4)(x + 4) = 0 → ÇK = {−4, 4}.
• Katsayılı çarpanda katsayıyı unutmak: 2x − 1 = 0 → x = 1 veya x = 2 demek yanlıştır. Doğrusu: 2x = 1 → x = 1/2.

Alıştırma

1) x² − 25 = 0

2) x² + 7x = 0

3) x² − 7x + 12 = 0

4) x² + x − 20 = 0

5) x² + 8x + 16 = 0

6) 4x² − 9 = 0

7) 3x² − 5x − 2 = 0

8) 2x² = 8x

9) (x − 1)(x + 4) = 6

10) Bir sayının karesi, o sayının 3 katından 4 fazladır. Bu sayı hangi değerleri alabilir?

Cevap Anahtarı

• 1) ÇK = {−5, 5} — İki kare farkı: (x − 5)(x + 5) = 0.
• 2) ÇK = {−7, 0} — Ortak çarpan x: x(x + 7) = 0.
• 3) ÇK = {3, 4} — Çarpımı 12, toplamı −7 olan sayılar −3 ve −4: (x − 3)(x − 4) = 0.
• 4) ÇK = {−5, 4} — Çarpımı −20, toplamı 1 olan sayılar +5 ve −4: (x + 5)(x − 4) = 0.
• 5) ÇK = {−4} — Tam kare: (x + 4)² = 0, çift katlı kök.
• 6) ÇK = {−3/2, 3/2} — İki kare farkı: (2x − 3)(2x + 3) = 0.
• 7) ÇK = {−1/3, 2} — (3x + 1)(x − 2) = 0; açınca 3x² − 6x + x − 2 elde edilir.
• 8) ÇK = {0, 4} — 2x² − 8x = 0 → 2x(x − 4) = 0; x'e bölmeyin.
• 9) ÇK = {−5, 2} — Açıp düzenleyince x² + 3x − 10 = 0 → (x + 5)(x − 2) = 0.
• 10) −1 veya 4 — x² = 3x + 4 → x² − 3x − 4 = 0 → (x − 4)(x + 1) = 0.

Dersin özeti

• a ≠ 0 olmak üzere ax² + bx + c = 0 biçimindeki denklemler ikinci dereceden denklemlerdir; denklemi sağlayan sayılar kök, köklerin kümesi çözüm kümesidir.
• Sıfır çarpım kuralı: A · B = 0 ise A = 0 veya B = 0. Kural yalnızca sıfır için geçerlidir; bu yüzden önce denklemi sıfıra eşitleriz.
• Yöntem: sıfıra eşitle → çarpanlara ayır → her çarpanı sıfıra eşitle → çöz → yerine yazıp kontrol et.
• Bilinmeyene bölmek kök kaybettirir; tam kare denklemlerde çift katlı kök oluşur ve kümede bir kez yazılır.
• Sonraki derste çarpanlarına kolayca ayrılamayan denklemler için diskriminant ve kök formülünü öğreneceğiz.