Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Günlük hayattan giriş

Elinde 17 kalem olduğunu ve bunları 5 arkadaşına eşit dağıtmak istediğini düşün. Her arkadaşına 3 kalem verirsin, elinde 2 kalem kalır. Bu durumu tek satırda şöyle yazabiliriz: 17 = 5 × 3 + 2. Burada 17 bölünen, 5 bölen, 3 bölüm, 2 ise kalandır. Kalanın bölenden küçük olması da çok doğaldır. Elinde 5 veya daha fazla kalem kalsaydı herkese bir kalem daha verebilirdin.

Önceki derste polinomlarda toplama, çıkarma ve çarpma yaptık. Çarpmada iki polinomdan yeni bir polinom elde ettik. Bu derste ise ters yönde gideceğiz: bir polinomu başka bir polinoma bölüp hangi bölümün ve hangi kalanın çıktığını bulacağız. Mantık kalem dağıtmakla aynıdır. Tek fark, sayılar yerine x içeren ifadeleri paylaştırmamızdır.

Polinom bölmesi, bir ifadenin başka bir ifadenin "tam katı" olup olmadığını anlamamızı sağlar. Örneğin bir dikdörtgenin alanı x² + 5x + 6 ve bir kenarı x + 2 ise diğer kenarı bölme ile buluruz. Ayrıca bu derste öğreneceğimiz kısa yol (kalan teoremi), uzun bölme yapmadan kalanı birkaç saniyede bulmamızı sağlar. Bu fikir, sonraki derslerde çarpanlara ayırma ve denklemlerin köklerini bulma konularının da temelidir.

Tanım ve kural

Bölme eşitliği: P(x) polinomu, B(x) polinomuna bölündüğünde bölüm Q(x), kalan K(x) ise

P(x) = B(x) · Q(x) + K(x)

eşitliği her x için doğrudur. Bu, 17 = 5 × 3 + 2 eşitliğinin polinomlardaki karşılığıdır.

Kalanın derecesi neden küçüktür? Bölmeye, kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olana kadar devam ederiz. Kalanın derecesi bölenin derecesine eşit veya daha büyük olsaydı, bölüme bir terim daha ekleyip bölmeyi sürdürebilirdik. Tıpkı elinde 5 kalem kaldığında dağıtmaya devam edebileceğin gibi. Bu yüzden:

• der[K(x)] < der[B(x)] olur (kalan sıfır da olabilir).
• der[P(x)] = der[B(x)] + der[Q(x)] olur. Çünkü çarpmada en büyük dereceli terimlerin dereceleri toplanır.

Uzun bölmenin adımları:

• Bölüneni ve böleni x'in azalan kuvvetlerine göre sırala. Eksik terim varsa 0 katsayısıyla yaz (örneğin x³ + 5 yerine x³ + 0x² + 0x + 5).
• Bölünenin en büyük dereceli terimini, bölenin en büyük dereceli terimine böl. Sonucu bölüme yaz.
• Bu terimi bölenle çarp, sonucu bölünenin altına yaz ve çıkar. Çıkarırken tüm işaretleri değiştirmeyi unutma.
• Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olana kadar tekrarla.

Kalan teoremi: P(x) polinomunun (x − a) ile bölümünden kalan P(a)'dır.

Neden? Bölen (x − a) birinci dereceden olduğu için kalanın derecesi 0 olmalıdır. Yani kalan sabit bir sayıdır, ona K diyelim. Bölme eşitliği şöyle olur:

P(x) = (x − a) · Q(x) + K

Bu eşitlik her x için doğru olduğundan x = a yazabiliriz:

P(a) = (a − a) · Q(a) + K = 0 · Q(a) + K = K

Yani x = a yazınca bölen sıfır olur ve geriye sadece kalan kalır. Kural ezber değil, bölme eşitliğinin doğal bir sonucudur.

Aynı fikirle, bölen (mx + n) ise bölen sıfır olduğunda x = −n/m olur. Bu durumda kalan P(−n/m)'dir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

P(x) polinomu (x − 4) ile bölündüğünde bölüm x + 1, kalan 3 oluyor. P(x) nedir?

Çözüm:

Bölme eşitliğini yazalım: P(x) = (x − 4)(x + 1) + 3

Çarpımı açalım: (x − 4)(x + 1) = x² + x − 4x − 4 = x² − 3x − 4

Kalanı ekleyelim: x² − 3x − 4 + 3 = x² − 3x − 1

Kontrol: P(4) = 16 − 12 − 1 = 3. Bu da kalana eşit, sonuç doğru.

P(x) = x² − 3x − 1

Örnek 2

(x² + 5x + 6) polinomunu (x + 2) polinomuna bölünüz.

Çözüm:

1. adım: x² ÷ x = x. Bölüme x yazılır.

2. adım: x · (x + 2) = x² + 2x

3. adım: (x² + 5x + 6) − (x² + 2x) = 3x + 6

4. adım: 3x ÷ x = 3. Bölüme +3 yazılır.

5. adım: 3 · (x + 2) = 3x + 6

6. adım: (3x + 6) − (3x + 6) = 0

Kontrol: (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6

Bölüm: x + 3, Kalan: 0. Kalan 0 olduğu için x² + 5x + 6, (x + 2) ile tam bölünür.

Örnek 3

(2x² + 3x − 4) polinomunu (x − 1) polinomuna bölünüz.

Çözüm:

1. adım: 2x² ÷ x = 2x. Bölüme 2x yazılır.

2. adım: 2x · (x − 1) = 2x² − 2x

3. adım: (2x² + 3x − 4) − (2x² − 2x) = 5x − 4. Dikkat: 3x − (−2x) = 5x olur.

4. adım: 5x ÷ x = 5. Bölüme +5 yazılır.

5. adım: 5 · (x − 1) = 5x − 5

6. adım: (5x − 4) − (5x − 5) = −4 + 5 = 1

Kalan teoremiyle kontrol: P(1) = 2 + 3 − 4 = 1

Bölüm: 2x + 5, Kalan: 1

Örnek 4 (eksik terimli)

(x³ − 3x + 5) polinomunu (x − 2) polinomuna bölünüz.

Çözüm:

Eksik x² terimini 0 ile yazalım: x³ + 0x² − 3x + 5

1. adım: x³ ÷ x = x². Bölüme x² yazılır.

2. adım: x² · (x − 2) = x³ − 2x². Çıkarınca: 0x² − (−2x²) = 2x². Aşağı −3x indirilir: 2x² − 3x

3. adım: 2x² ÷ x = 2x. Bölüme +2x yazılır.

4. adım: 2x · (x − 2) = 2x² − 4x. Çıkarınca: −3x − (−4x) = x. Aşağı +5 indirilir: x + 5

5. adım: x ÷ x = 1. Bölüme +1 yazılır.

6. adım: 1 · (x − 2) = x − 2. Çıkarınca: 5 − (−2) = 7

Kalan teoremiyle kontrol: P(2) = 8 − 6 + 5 = 7

Bölüm: x² + 2x + 1, Kalan: 7

Örnek 5

P(x) = x³ − 4x² + 2x − 7 polinomunun (x − 3) ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

Böleni sıfır yapan değer: x − 3 = 0 ise x = 3

Kalan P(3)'tür: P(3) = 27 − 4 · 9 + 2 · 3 − 7

P(3) = 27 − 36 + 6 − 7

Kalan: −10

Örnek 6

P(x) = 4x² − 2x + 5 polinomunun (2x + 1) ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

Böleni sıfır yapan değer: 2x + 1 = 0 ise x = −1/2

4 · (−1/2)² = 4 · 1/4 = 1

−2 · (−1/2) = 1

P(−1/2) = 1 + 1 + 5

Kalan: 7

Örnek 7

P(x) = x³ + ax² − 5x + 6 polinomu (x − 1) ile tam bölünebiliyorsa a kaçtır?

Çözüm:

Tam bölünme, kalanın 0 olması demektir. Kalan P(1) olduğundan P(1) = 0 olmalıdır.

P(1) = 1 + a − 5 + 6 = a + 2

a + 2 = 0 ise a = −2

Kontrol: x³ − 2x² − 5x + 6 için P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0

a = −2

Örnek 8 (zor)

P(x) polinomunun (x − 1) ile bölümünden kalan 3, (x + 2) ile bölümünden kalan −3'tür. P(x)'in (x² + x − 2) ile bölümünden kalan nedir?

Çözüm:

Önce böleni çarpanlarına ayıralım: x² + x − 2 = (x − 1)(x + 2)

Bölen ikinci dereceden olduğu için kalan en çok birinci derecedendir. Kalana mx + n diyelim.

P(x) = (x − 1)(x + 2) · Q(x) + mx + n

x = 1 yazalım: P(1) = m + n. P(1) = 3 olduğundan m + n = 3

x = −2 yazalım: P(−2) = −2m + n. P(−2) = −3 olduğundan −2m + n = −3

İlk denklemden ikinciyi çıkaralım: 3m = 6, yani m = 2

m + n = 3 ise n = 1

Kalan: 2x + 1

Sık yapılan hatalar

• Eksik terimi yazmamak. Yanlış: x³ − 3x + 5 bölünürken terimleri kaydırıp −3x'i x² sütununa yazmak. Doğrusu: x³ + 0x² − 3x + 5 biçiminde yazıp her derecenin kendi sütununda kalmasını sağlamak.
• Çıkarmada işareti unutmak. Yanlış: (5x − 4) − (5x − 5) = −9. Doğrusu: parantezin önündeki eksi her terimin işaretini değiştirir: 5x − 4 − 5x + 5 = 1.
• Kalan teoreminde işareti ters almak. Yanlış: (x − 3) ile bölümde kalan P(−3). Doğrusu: böleni sıfıra eşitleriz, x − 3 = 0 ise x = 3, kalan P(3). Benzer şekilde (x + 2) için kalan P(−2)'dir.
• Başkatsayısı 1 olmayan bölende yanlış değer yazmak. Yanlış: (2x − 1) ile bölümde kalan P(1). Doğrusu: 2x − 1 = 0 ise x = 1/2, kalan P(1/2).
• Bölmeyi erken ya da geç bitirmek. Yanlış: kalan 2x + 6 iken (x − 1) ile bölmeyi durdurmak. Doğrusu: kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olana kadar devam etmek. Birinci dereceden bir bölende kalan mutlaka sabit sayıdır.

Alıştırma

• 1) (x² + 7x + 10) polinomunu (x + 5) polinomuna bölünüz. Bölüm ve kalan nedir?
• 2) (3x² − 5x + 2) polinomunu (x − 2) polinomuna bölünüz. Bölüm ve kalan nedir?
• 3) (x³ + 2x − 1) polinomunu (x − 1) polinomuna bölünüz. Bölüm ve kalan nedir?
• 4) P(x) = x³ − 2x + 4 polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan kaçtır?
• 5) P(x) = 2x³ + x² − 3 polinomunun (x − 2) ile bölümünden kalan kaçtır?
• 6) P(x) = 6x² − x + 1 polinomunun (2x − 1) ile bölümünden kalan kaçtır?
• 7) P(x) = x² + mx − 8 polinomu (x − 2) ile tam bölünebiliyorsa m kaçtır?
• 8) P(x) = x³ + kx + 1 polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan 4 ise k kaçtır?
• 9) P(x) = (x² + 1)(x − 2) + 3x polinomunun (x − 1) ile bölümünden kalan kaçtır?
• 10) P(x) polinomunun (x − 2) ile bölümünden kalan 7, (x + 1) ile bölümünden kalan 1'dir. P(x)'in (x² − x − 2) ile bölümünden kalan nedir?

Cevap Anahtarı

• 1) Bölüm: x + 2, Kalan: 0. İpucu: (x + 5)(x + 2) çarpımı x² + 7x + 10 eder.
• 2) Bölüm: 3x + 1, Kalan: 4. İpucu: kalanı P(2) = 12 − 10 + 2 = 4 ile kontrol edebilirsin.
• 3) Bölüm: x² + x + 3, Kalan: 2. İpucu: eksik terimi x³ + 0x² + 2x − 1 olarak yaz; P(1) = 1 + 2 − 1 = 2.
• 4) Kalan: 0. İpucu: P(−2) = −8 + 4 + 4 = 0.
• 5) Kalan: 17. İpucu: P(2) = 16 + 4 − 3 = 17.
• 6) Kalan: 2. İpucu: P(1/2) = 6/4 − 1/2 + 1 = 3/2 − 1/2 + 1 = 2.
• 7) m = 2. İpucu: P(2) = 4 + 2m − 8 = 0 denklemini çöz.
• 8) k = −4. İpucu: P(−1) = −1 − k + 1 = −k = 4.
• 9) Kalan: 1. İpucu: P(1) = (1 + 1)(1 − 2) + 3 = −2 + 3 = 1.
• 10) Kalan: 2x + 3. İpucu: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1); kalan mx + n için 2m + n = 7 ve −m + n = 1 denklemlerinden m = 2, n = 3 bulunur.

Dersin özeti

• Her polinom bölmesinde P(x) = B(x) · Q(x) + K(x) eşitliği geçerlidir ve kalanın derecesi bölenin derecesinden küçüktür.
• Uzun bölmede terimleri azalan kuvvetlere göre sıralar, eksik terimleri 0 ile yazar, çıkarmada işaretlere dikkat ederiz.
• (x − a) ile bölümden kalan P(a)'dır. Çünkü x = a yazınca bölen sıfır olur ve geriye yalnız kalan kalır.
• Genel olarak böleni sıfır yapan x değerini polinomda yerine yazarız. Kalan 0 ise polinom tam bölünür.
• Tam bölünme fikri, bir sonraki adımda polinomları çarpanlarına ayırırken ve denklemlerin köklerini ararken kullanacağımız temel araçtır.