Polinomlarda Toplama, Çıkarma ve Çarpma

Tahmini süre: 15 dk

Önceki derste polinomun ne olduğunu, terimlerini, katsayılarını ve derecesini tanıdık. Bu derste polinomlarla işlem yapmaya başlıyoruz: toplama, çıkarma ve çarpma. Bu üç işlemi sağlam öğrenirsen sıradaki derslerde bölme, çarpanlara ayırma ve ikinci dereceden denklemler çok daha kolay gelecek.

Günlük hayattan giriş

Bir kırtasiyede kalem, defter ve silgi satıldığını düşün. Pazartesi 3 defter, 2 kalem ve 5 silgi, salı günü 1 defter, 4 kalem ve 2 silgi satılmış. İki günün toplamını bulurken defterleri defterlerle, kalemleri kalemlerle toplarsın: 4 defter, 6 kalem, 7 silgi. Kimse “3 defter + 2 kalem = 5 defkalem” demez, çünkü farklı türden şeyler tek bir sayıda birleşmez. Polinomlarda da durum aynıdır: x² terimleri x² terimleriyle, x terimleri x terimleriyle, sabitler sabitlerle toplanır.

Çarpmanın da günlük hayatta karşılığı var. Kenarları (x + 3) metre ve (x + 2) metre olan dikdörtgen bir bahçenin alanını düşün. Bahçeyi dört parçaya bölebilirsin: x·x, x·2, 3·x ve 3·2. Bu parçaların alanlarının toplamı bütün bahçenin alanıdır: x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6. İşte polinom çarpmasının kalbindeki dağılma özelliği tam olarak budur: her parçayı diğer kenarın her parçasıyla çarpıp toplamak.

Aslında bunu ilkokuldan beri yapıyorsun. 23 × 14 işleminde 23 = 20 + 3 ve 14 = 10 + 4 diye düşünürsen 20·10 + 20·4 + 3·10 + 3·4 = 200 + 80 + 30 + 12 = 322 bulursun. Polinom çarpması, bu fikrin sayıların yerine x içeren terimlerle yapılan hâlidir.

Tanım ve kural

Benzer terim: Değişkeni ve değişkenin kuvveti aynı olan terimlerdir. Örneğin 3x² ile −7x² benzerdir; 3x² ile 3x benzer değildir.

Toplama kuralı: Benzer terimlerin katsayıları toplanır, değişken kısmı aynen yazılır. Örneğin 3x² + 5x² = 8x².

Neden? 3x² + 5x² ifadesi “3 tane x² ile 5 tane x²” demektir. Bu da 8 tane x² eder. Ortak çarpan paranteze alınarak da görülür: 3x² + 5x² = (3 + 5)x² = 8x². Fakat 3x² + 5x ifadesinde ortak bir “birim” yoktur; x = 10 alırsan 3x² = 300, 5x = 50 olur ve bunlar tıpkı yüzler ile onlar basamağı gibi ayrı kalır.

Çıkarma kuralı: P(x) − Q(x) işleminde Q(x) polinomunun bütün terimlerinin işareti değiştirilir, sonra toplama yapılır.

Neden? Parantezin önündeki eksi, aslında −1 ile çarpmadır: −(x² − 4x + 1) = −1·x² + (−1)·(−4x) + (−1)·1 = −x² + 4x − 1. Eksi yalnız ilk terime değil, parantezin içindeki her terime dağılır.

Çarpma kuralı: Birinci polinomun her terimi, ikinci polinomun her terimiyle çarpılır; sonra benzer terimler toplanır. Terimleri çarparken katsayılar çarpılır, aynı tabanlı kuvvetlerin üsleri toplanır: xᵃ · xᵇ = xᵃ⁺ᵇ.

Neden üsler toplanır? x² · x³ = (x·x)·(x·x·x) = x·x·x·x·x = x⁵. Toplam 2 + 3 = 5 tane x çarpılmış olur.

Derece nasıl değişir? İki sıfırdan farklı polinom çarpıldığında en büyük dereceli terimlerin çarpımı, sonuçtaki en büyük dereceli terimi verir. Baş katsayılar sıfırdan farklı olduğu için çarpımları da sıfırdan farklıdır, yani bu terim kaybolmaz. Bu yüzden der(P·Q) = der(P) + der(Q). Toplamada ise en büyük dereceli terimler birbirini yok edebilir; bu yüzden toplamın derecesi en fazla büyük olanın derecesi kadardır.

Kontrol taktiği: Sonucunu doğrulamak için x yerine küçük bir sayı (1 veya 2 gibi) koy. İşlemden önceki ifade ile senin bulduğun sonuç aynı değeri vermelidir. Değerler farklıysa bir yerde hata vardır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (Toplama)

P(x) = 3x² + 2x − 5 ve Q(x) = x² − 4x + 1 ise P(x) + Q(x) nedir?

Çözüm:

1. Benzer terimleri alt alta düşün: x² terimleri 3x² ve x²; x terimleri 2x ve −4x; sabitler −5 ve 1.

2. x² terimleri: 3 + 1 = 4, yani 4x².

3. x terimleri: 2 + (−4) = −2, yani −2x.

4. Sabitler: −5 + 1 = −4.

5. Kontrol (x = 1): P(1) = 0, Q(1) = −2, toplam −2; 4 − 2 − 4 = −2. Tutuyor.

Sonuç: P(x) + Q(x) = 4x² − 2x − 4

Örnek 2 (Çıkarma)

Aynı polinomlar için P(x) − Q(x) nedir?

Çözüm:

1. Q(x)'in bütün işaretlerini değiştir: −(x² − 4x + 1) = −x² + 4x − 1.

2. Şimdi topla: 3x² + 2x − 5 − x² + 4x − 1.

3. x² terimleri: 3 − 1 = 2, yani 2x².

4. x terimleri: 2 + 4 = 6, yani 6x.

5. Sabitler: −5 − 1 = −6.

Sonuç: P(x) − Q(x) = 2x² + 6x − 6

Örnek 3 (İki terimli ile iki terimli çarpma)

(2x − 3)(x + 4) çarpımını bulunuz.

Çözüm:

1. 2x terimini ikinci parantezin her terimiyle çarp: 2x · x = 2x², 2x · 4 = 8x.

2. −3 terimini ikinci parantezin her terimiyle çarp: −3 · x = −3x, −3 · 4 = −12.

3. Hepsini yaz: 2x² + 8x − 3x − 12.

4. Benzer terimleri birleştir: 8x − 3x = 5x.

5. Kontrol (x = 1): (−1)(5) = −5; 2 + 5 − 12 = −5. Tutuyor.

Sonuç: 2x² + 5x − 12

Örnek 4 (Üç terimli ile iki terimli çarpma)

(x² + 2x − 1)(x − 3) çarpımını bulunuz ve derecesini söyleyiniz.

Çözüm:

1. x² ile çarp: x² · x = x³, x² · (−3) = −3x².

2. 2x ile çarp: 2x · x = 2x², 2x · (−3) = −6x.

3. −1 ile çarp: −1 · x = −x, −1 · (−3) = 3.

4. Topla: x³ − 3x² + 2x² − 6x − x + 3.

5. Benzerleri birleştir: −3x² + 2x² = −x²; −6x − x = −7x.

6. Kontrol (x = 2): (4 + 4 − 1)(2 − 3) = 7 · (−1) = −7; 8 − 4 − 14 + 3 = −7. Tutuyor.

7. Derece: 2 + 1 = 3, sonuçtaki en büyük kuvvet de x³.

Sonuç: x³ − x² − 7x + 3, derecesi 3

Örnek 5 (Derecenin düşmesi)

P(x) = x³ + 2x − 1 ve Q(x) = −x³ + 4x² + 5 ise P(x) + Q(x) polinomunun ve P(x) · Q(x) polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:

1. Toplama: x³ + (−x³) = 0, yani x³ terimleri birbirini yok eder.

2. Kalan terimler: 4x² + 2x + (−1 + 5) = 4x² + 2x + 4.

3. Toplamın derecesi 2 olur; her iki polinom 3. dereceden olduğu hâlde derece düştü.

4. Çarpma: En büyük dereceli terimlerin çarpımı x³ · (−x³) = −x⁶ olur ve sıfır olmadığı için kaybolmaz.

5. Yani der(P · Q) = 3 + 3 = 6.

Sonuç: der(P + Q) = 2, der(P · Q) = 6

Örnek 6 (Çarpımın tamamını açmadan katsayı bulma)

(2x² − x + 3)(x² + 4x − 2) çarpımında x² teriminin katsayısı kaçtır?

Çözüm:

1. Bütün çarpımı açmak gerekmez; yalnızca x² veren eşleşmeleri bul. Üslerin toplamı 2 olmalı.

2. x² · sabit: 2x² · (−2) = −4x².

3. x · x: (−x) · 4x = −4x².

4. sabit · x²: 3 · x² = 3x².

5. Topla: −4 − 4 + 3 = −5.

Sonuç: x² teriminin katsayısı −5

Sık yapılan hatalar

• Farklı terimleri birleştirmek. Yanlış: 2x² + 3x = 5x³. Doğrusu: 2x² ve 3x benzer terim değildir, ifade 2x² + 3x olarak kalır.
• Çıkarmada yalnız ilk terimin işaretini değiştirmek. Yanlış: (3x² + 2x − 5) − (x² − 4x + 1) = 2x² − 2x − 4. Doğrusu: eksi bütün terimlere dağılır, sonuç 2x² + 6x − 6.
• Üsleri çarpmak. Yanlış: x² · x³ = x⁶. Doğrusu: aynı tabanlı kuvvetler çarpılırken üsler toplanır, x⁵.
• Kareyi terimlere dağıtmak. Yanlış: (x + 3)² = x² + 9. Doğrusu: (x + 3)(x + 3) = x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9. Ortadaki terimi unutma.
• Toplamın derecesini her zaman büyük olan sanmak. Yanlış: 3. dereceden iki polinomun toplamı kesinlikle 3. derecedendir. Doğrusu: baş terimler birbirini yok edebilir, derece düşebilir (Örnek 5).

Alıştırma

1. (4x² − 3x + 2) + (−x² + 5x − 7) işlemini yapınız.

2. (5x³ − 2x + 1) − (2x³ + x² − 2x + 4) işlemini yapınız.

3. 3x(2x² − x + 4) çarpımını bulunuz.

4. (x − 5)(x + 2) çarpımını bulunuz.

5. (2x + 1)² ifadesini açınız.

6. (x + 2)(x² − 2x + 4) çarpımını bulunuz.

7. der P(x) = 4 ve der Q(x) = 3 ise der(P · Q) ve der(P + Q) kaçtır?

8. P(x) = 2x³ + x − 1 ve Q(x) = −2x³ + 3x² + 4 ise P(x) + Q(x) polinomunu ve derecesini bulunuz.

9. (3x² − 2x + 1)(x² + x − 4) çarpımında x² teriminin katsayısı kaçtır?

10. (x² + ax + 1)(x − 2) çarpımında x teriminin katsayısı 5 ise a kaçtır?

Cevap Anahtarı

1. 3x² + 2x − 5 — Katsayıları topla: 4 − 1 = 3, −3 + 5 = 2, 2 − 7 = −5.

2. 3x³ − x² − 3 — İkinci polinomun işaretlerini değiştir; −2x + 2x = 0 olduğundan x terimi kaybolur.

3. 6x³ − 3x² + 12x — 3x'i parantezdeki her terimle çarp, üsleri topla.

4. x² − 3x − 10 — x² + 2x − 5x − 10 yazıp 2x − 5x = −3x birleştir.

5. 4x² + 4x + 1 — (2x + 1)(2x + 1) = 4x² + 2x + 2x + 1.

6. x³ + 8 — x³ − 2x² + 4x + 2x² − 4x + 8 yazınca x² ve x terimleri birbirini yok eder.

7. der(P · Q) = 7, der(P + Q) = 4 — Çarpımda dereceler toplanır; toplamda farklı dereceli baş terimler birbirini yok edemez.

8. 3x² + x + 3, derecesi 2 — 2x³ ile −2x³ birbirini yok eder, −1 + 4 = 3.

9. −13 — 3·(−4) + (−2)·1 + 1·1 = −12 − 2 + 1 = −13.

10. a = −2 — x terimleri ax · (−2) ve 1 · x olduğundan −2a + 1 = 5, buradan a = −2.

Dersin özeti

• Toplama ve çıkarmada yalnızca benzer terimler (aynı değişken, aynı kuvvet) birleştirilir; katsayılar toplanır, değişken kısmı aynen kalır.
• Çıkarmada parantezin önündeki eksi, içerideki her terimin işaretini değiştirir.
• Çarpmada dağılma özelliği kullanılır: her terim her terimle çarpılır, xᵃ · xᵇ = xᵃ⁺ᵇ olur, sonra benzer terimler toplanır.
• der(P · Q) = der(P) + der(Q); toplam ve farkta ise derece en fazla büyük olanın derecesi kadardır, baş terimler yok olursa düşer.
• Sonucu kontrol etmek için x yerine 1 veya 2 koyup iki tarafın aynı değeri verdiğine bak. Sıradaki derste polinomlarda bölmeye geçeceğiz ve bugün öğrendiğin çarpma, bölmenin doğruluğunu kontrol etmenin anahtarı olacak.