Doğruda ve Üçgende Açılar

Hoş geldin! TYT Geometri kursunun ilk dersindeyiz. Geometride ezber yerine “neden” sorusunu sorarak ilerleyeceğiz; çünkü bir kuralın nereden geldiğini bilirsen, sınavda unutsan bile birkaç saniyede yeniden kurabilirsin. Bu derste açılarla başlıyoruz, çünkü üçgenler, çokgenler ve çemberlerdeki neredeyse her soru bir yerde açı bilgisine dayanır. Tahmini süre: 14 dk.

Günlük hayattan giriş

Tren raylarını düşün. İki ray birbirine hiç yaklaşmadan, hiç uzaklaşmadan uzanır; matematikte bunlara paralel doğrular diyoruz. Bir araba yolu bu rayları eğik biçimde kestiğinde, yol ile her ray arasında açılar oluşur. İlginç olan şudur: Yol birinci rayı hangi açıyla kesiyorsa, ikinci rayı da aynı açıyla keser. Çünkü raylar aynı yönde uzanır; yol ikisine de “aynı eğiklikle” çarpar.

Bir makası açtığında iki bıçak birbirini keser. Bıçakların arasındaki açıyı büyüttüğünde, karşı taraftaki açı da aynı miktarda büyür. Bu, ters açıların eşitliği dediğimiz özelliğin gündelik hâlidir. Bir çatı iskeletine ya da bir askı kancasına baktığında ise üçgenler görürsün. Mühendisler üçgeni sever, çünkü üçgenin kenar uzunlukları belli olduğunda biçimi değişmez ve açıları arasında her zaman sabit bir ilişki vardır: Toplamları 180°’dir.

Bu derste bu üç fikri birleştireceğiz: paralel doğrular ve kesen, üçgenin iç açıları ve dış açı özelliği. Sonra bunları TYT tarzı sorularda hızlı kullanmayı öğreneceğiz.

Tanım ve kural

1. Doğru açı ve ters açılar

Bir doğru üzerindeki bir noktada oluşan açılar yan yana dizildiğinde toplamları 180° olur. Buna doğru açı denir. Bir noktanın etrafındaki tüm açıların toplamı ise 360°’dir.

İki doğru kesiştiğinde dört açı oluşur. Karşılıklı duran açılara ters açılar denir ve bunlar eşittir. Neden? Birbirine komşu iki açı aynı doğru üzerinde olduğu için toplamı 180°’dir. Diyelim ki bir açı a, komşusu b olsun: a + b = 180°. Bu b açısının öbür komşusu da (a’nın tersi olan açı) c olsun: b + c = 180°. İki eşitlikte de b ile 180°’yi tamamlayan sayılar aynı olmalıdır, yani a = c.

2. Paralel iki doğru ve bir kesen

d₁ ∥ d₂ olsun ve bir kesen doğru bu ikisini kessin. Her kesişim noktasında 4 açı olmak üzere toplam 8 açı oluşur. Bu açılar arasındaki ilişkiler:

• Yöndeş açılar eşittir: Her iki kesişim noktasında “aynı konumdaki” açılar (örneğin ikisi de kesenin sağında ve doğrunun üstünde).
• İç ters açılar eşittir: İki paralel doğrunun arasında, kesenin farklı taraflarında kalan açılar (Z harfinin içindeki açılar gibi).
• Dış ters açılar eşittir: Paralel doğruların dışında, kesenin farklı taraflarında kalan açılar.
• Karşı durumlu açıların toplamı 180°’dir: Paralel doğruların arasında, kesenin aynı tarafında kalan iki açı (U harfinin içindeki açılar gibi).

Neden? d₁ doğrusunu kendine paralel kalacak şekilde kaydırıp d₂’nin üzerine oturttuğunu hayal et. Kesen aynı kaldığı için birinci kesişimdeki dört açı, ikinci kesişimdeki dört açının tam üstüne oturur. Yöndeş açıların eşitliği buradan gelir; diğer ilişkiler de ters açı ve doğru açı bilgisiyle bundan türetilir.

Hızlı fikir: Bu 8 açıda aslında yalnızca iki farklı değer vardır: dar olan x ve geniş olan 180° − x. Şekle bakıp “bu açı dar mı, geniş mi?” diye sormak, çoğu soruyu tek adımda çözer.

3. Kırık çizgi kuralı

d₁ ∥ d₂ olsun. A noktası d₁ üzerinde, C noktası d₂ üzerinde, B noktası ise iki doğrunun arasında olsun. [AB] ve [BC] doğru parçalarının, d₁ ve d₂’nin B noktasının bulunduğu tarafa uzanan kısımlarıyla yaptığı açılar α ve γ olsun. O zaman ∠ABC = α + γ olur. Neden? B noktasından d₁’e paralel bir doğru çiz. Bu yeni doğru ∠ABC açısını iki parçaya böler; üstteki parça iç ters açı olarak α’ya, alttaki parça yine iç ters açı olarak γ’ya eşittir.

4. Üçgenin iç açıları

Her üçgende iç açıların toplamı 180°’dir. Neden? ABC üçgeninde A köşesinden, [BC] kenarına paralel bir doğru çiz. A noktasında bu doğru üzerinde yan yana üç açı oluşur: solda bir açı, ortada üçgenin A açısı, sağda bir açı. Soldaki açı, kesen [AB] olduğu için B açısıyla iç terstir, yani eşittir. Sağdaki açı, kesen [AC] olduğu için C açısıyla iç terstir. Bu üç açı bir doğru üzerinde yan yana olduğundan toplamları 180°’dir. Demek ki A + B + C = 180°.

5. Dış açı özelliği

Bir kenarı uzattığında, uzantı ile komşu kenar arasında oluşan açıya dış açı denir. Kural: Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Neden? C köşesindeki dış açıya d diyelim. d ile C iç açısı aynı doğru üzerinde yan yana olduğu için d + C = 180°. Öte yandan A + B + C = 180°. İki toplamda da C ile 180°’yi tamamlayan değerler aynıdır, o hâlde d = A + B.

Ayrıca her köşeden birer dış açı alındığında, dış açıların toplamı 360° olur. Çünkü üç köşede “iç + dış = 180°” olduğundan toplam 540° eder; bundan iç açılar toplamı olan 180° çıkarılınca 360° kalır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

İki doğru bir noktada kesişiyor. Ters açılardan biri 2x + 20°, diğeri 80°’dir. x kaçtır ve bu açıların komşusu kaç derecedir?

Çözüm:

Ters açılar eşittir: 2x + 20° = 80°.

Her iki taraftan 20° çıkar: 2x = 60°.

İkiye böl: x = 30°.

Komşu açı ile 80° aynı doğru üzerindedir: 180° − 80° = 100°.

x = 30°, komşu açı = 100°

Örnek 2

d₁ ∥ d₂ doğrularını bir kesen kesiyor. İç ters açılar 3x − 15° ve 2x + 25° olarak verilmiştir. Bu açı kaç derecedir?

Çözüm:

İç ters açılar eşittir: 3x − 15° = 2x + 25°.

x’leri bir tarafa topla: 3x − 2x = 25° + 15°.

x = 40°.

Açıyı bul: 3 · 40° − 15° = 120° − 15° = 105°.

Kontrol: 2 · 40° + 25° = 80° + 25° = 105°. Tutuyor.

Açı = 105°

Örnek 3

d₁ ∥ d₂ doğrularını bir kesen kesiyor. Paralel doğruların arasında ve kesenin aynı tarafında kalan açılar 5x + 10° ve 3x + 10°’dir. Bu açıları bulun.

Çözüm:

Bu açılar karşı durumludur, toplamları 180°’dir: (5x + 10°) + (3x + 10°) = 180°.

Topla: 8x + 20° = 180°.

8x = 160°, yani x = 20°.

Birinci açı: 5 · 20° + 10° = 110°.

İkinci açı: 3 · 20° + 10° = 70°.

Kontrol: 110° + 70° = 180°. Tutuyor.

Açılar 110° ve 70°

Örnek 4

Bir üçgenin iç açıları x, 2x ve 3x’tir. En büyük açı kaç derecedir?

Çözüm:

İç açıların toplamı 180°: x + 2x + 3x = 180°.

6x = 180°, yani x = 30°.

Açılar: 30°, 60°, 90°.

En büyük açı 90° (bu bir dik üçgendir).

Örnek 5

d₁ ∥ d₂ olsun. A noktası d₁, C noktası d₂ üzerinde; B noktası iki doğrunun arasındadır. [AB]’nin d₁ ile B tarafında yaptığı açı 35°, [CB]’nin d₂ ile B tarafında yaptığı açı 48°’dir. ∠ABC kaç derecedir?

Çözüm:

B noktasından d₁’e (dolayısıyla d₂’ye de) paralel bir doğru çiz.

Bu doğrunun üst parçası ile [BA] arasındaki açı, iç ters açı olduğu için 35°’dir.

Alt parçası ile [BC] arasındaki açı da iç ters açı olduğu için 48°’dir.

∠ABC = 35° + 48° = 83°.

∠ABC = 83°

Örnek 6

ABC üçgeninde A köşesindeki dış açı 130°’dir. m(B) = 4x − 10° ve m(C) = x + 40° olduğuna göre m(B) kaç derecedir?

Çözüm:

Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamıdır: (4x − 10°) + (x + 40°) = 130°.

Topla: 5x + 30° = 130°.

5x = 100°, yani x = 20°.

m(B) = 4 · 20° − 10° = 70°.

Kontrol: m(C) = 60°, A iç açısı = 180° − 130° = 50°. Toplam: 70° + 60° + 50° = 180°. Tutuyor.

m(B) = 70°

Örnek 7 (TYT tarzı)

ABC üçgeninde D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerindedir ve [DE] ∥ [BC]’dir. m(A) = 50° ve m(ADE) = 70° olduğuna göre m(C) kaç derecedir? Şıklar: A) 50° B) 55° C) 60° D) 65° E) 70°

Çözüm:

[DE] ∥ [BC] ve kesen [AB] olduğundan ∠ADE ile ∠ABC yöndeş açılardır: m(B) = 70°.

ABC üçgeninde iç açılar toplamı: m(C) = 180° − 50° − 70°.

m(C) = 60°.

Cevap: C) 60°

Şık eleme: m(ADE) = 70° zaten B açısına eşit; C açısının da 70° olması için A’nın 40° olması gerekirdi, bu yüzden E şıkkı tuzaktır.

Örnek 8

ABC üçgeninde B ve C açılarının iç açı ortayları I noktasında kesişiyor. m(A) = 70° ise m(BIC) kaç derecedir?

Çözüm:

m(B) + m(C) = 180° − 70° = 110°.

Açı ortaylar bu açıları yarıya böler; BIC üçgeninde B ve C’deki açıların toplamı 110° ÷ 2 = 55°.

BIC üçgeninde: m(BIC) = 180° − 55° = 125°.

Genel kural buradan çıkar: m(BIC) = 90° + m(A)/2. Kontrol: 90° + 35° = 125°.

m(BIC) = 125°

TYT’de soru tipi, süre ve şık eleme

• Soru tipi: Açı soruları genellikle şekil üzerinde verilir: paralel doğrular arasında kırık çizgiler, bir üçgenin içine çizilmiş paralel doğru parçaları, ikizkenar üçgenle birleşmiş dış açı soruları.
• Süre: Kendine yaklaşık 1–1,5 dakika hedef koy. Uzuyorsa önce şekle paralel bir yardımcı doğru çizmeyi dene.
• Dar mı geniş mi? Şekilde dar görünen bir açı için 90°’den büyük şıkları ele. Şekiller ölçekli olmayabilir, ama dar/geniş ayrımı çoğunlukla korunur.
• Kontrol et: Bulduğun x’i geri yerine koy; tüm açıların pozitif çıkması ve üçgende toplamın 180° olması gerekir.
• Tuzak şık: Soruda zaten verilmiş bir sayı şıklarda varsa, onu seçmeden önce iki kez düşün.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: Karşı durumlu açılar 5x + 10° ve 3x + 10° için “5x + 10° = 3x + 10°, x = 0” yazmak. Doğrusu: Karşı durumlu açılar eşit değil, bütünlerdir: toplamları 180°’dir, x = 20° çıkar.
• Yanlış: Ters açıları “toplamı 180°” sanmak. Doğrusu: Ters açılar eşittir; toplamı 180° olan açılar komşu açılardır.
• Yanlış: C köşesindeki dış açıyı “A + B + C” diye bulmak. Doğrusu: Dış açı yalnızca komşu olmayan iki iç açının toplamıdır: A + B.
• Yanlış: Doğrular paralel verilmemişken yöndeş açıları eşit almak. Doğrusu: Eşitlik yalnızca d₁ ∥ d₂ olduğunda geçerlidir; soruda paralellik yazmıyorsa kullanamazsın.
• Yanlış: Kırık çizgi kuralında açıları farklı taraflardan ölçüp toplamak. Doğrusu: α ve γ, paralel doğruların B noktasının bulunduğu tarafa uzanan kısımlarıyla ölçülmelidir; emin değilsen B’den paralel çizip iç ters açılarla kontrol et.

Alıştırma

1) İki doğru kesişiyor. Açılardan biri 58°’dir. Bu açıya komşu olan açı kaç derecedir?

2) İki doğrunun kesişiminde ters açılar 5x − 20° ve 3x + 30°’dir. x kaçtır?

3) d₁ ∥ d₂ doğrularını kesen bir doğrunun oluşturduğu yöndeş açılar 4x + 8° ve 6x − 22°’dir. Bu açı kaç derecedir?

4) d₁ ∥ d₂ doğrularını kesen bir doğrunun oluşturduğu karşı durumlu açılar 2x + 30° ve x + 60°’dir. x kaçtır?

5) Bir üçgenin iç açıları 2 : 3 : 4 oranındadır. En büyük açı kaç derecedir?

6) ABC üçgeninde m(A) = 45° ve m(B) = 75°’dir. C köşesindeki dış açı kaç derecedir?

7) Bir üçgenin iki köşesindeki dış açılar 110° ve 130°’dir. Üçüncü köşedeki iç açı kaç derecedir?

8) Tepe açısı 36° olan ikizkenar üçgenin taban açılarından biri kaç derecedir?

9) d₁ ∥ d₂; A ∈ d₁, C ∈ d₂ ve B iki doğrunun arasındadır. [AB] ile d₁ arasındaki açı 27°, [CB] ile d₂ arasındaki açı 64°’tür (ikisi de B tarafında). ∠ABC kaç derecedir?

10) ABC üçgeninde B ve C iç açı ortayları I noktasında kesişiyor. m(BIC) = 130° ise m(A) kaç derecedir?

Cevap Anahtarı

1) 122° — Komşu açılar bir doğru üzerindedir: 180° − 58° = 122°.

2) x = 25° — Ters açılar eşit: 5x − 20° = 3x + 30°, 2x = 50°.

3) 68° — 4x + 8° = 6x − 22° ile x = 15° bulunur, 4 · 15° + 8° = 68°.

4) x = 30° — Toplam 180°: 3x + 90° = 180°, 3x = 90°.

5) 80° — 2k + 3k + 4k = 180° ile k = 20°, en büyük açı 4 · 20° = 80°.

6) 120° — Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamı: 45° + 75° = 120°.

7) 60° — Dış açılar toplamı 360° olduğundan üçüncü dış açı 120°, iç açısı 180° − 120° = 60°.

8) 72° — Taban açıları eşit: (180° − 36°) ÷ 2 = 144° ÷ 2 = 72°.

9) 91° — Kırık çizgi kuralı: 27° + 64° = 91°.

10) 80° — 90° + m(A)/2 = 130° ise m(A)/2 = 40°, m(A) = 80°.

Dersin özeti

• Ters açılar eşittir; bir doğru üzerindeki komşu açıların toplamı 180°’dir.
• Paralel iki doğru ve bir kesende yöndeş, iç ters ve dış ters açılar eşit; karşı durumlu açıların toplamı 180°’dir. Sekiz açıda yalnızca x ve 180° − x değerleri vardır.
• Paralel doğrular arasındaki kırık çizgide tepe açısı, iki kenardaki açıların toplamıdır; takıldığında tepe noktasından paralel çiz.
• Üçgenin iç açıları toplamı 180°’dir; bunun nedeni bir köşeden karşı kenara çizilen paralel doğrudur.
• Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir ve dış açıların toplamı 360°’dir. TYT’de bulduğun değeri yerine koyup kontrol etmek ve dar/geniş ayrımıyla şık elemek zaman kazandırır.