Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları ve Özel Üçgenler

Tahmini süre: 15 dk

Önceki dersten köprü: Bir önceki derste üçgenin iç açılarının toplamının 180° olduğunu ve açılar arasındaki ilişkileri gördük. Bu derste bir adım ileri gidiyoruz: açılar ile kenarlar arasında nasıl bir bağ var? Hangi kenar uzunlukları gerçekten bir üçgen oluşturabilir? Sonra TYT'de çok sık kullanılan özel üçgenlerin kenar oranlarını, ezberlemeden, nedenleriyle öğreneceğiz.

Günlük hayattan giriş

Bir kapıyı düşünün. Kapı menteşesinden açıldıkça kapının ucu ile kasa arasındaki boşluk büyür. Menteşedeki açı küçükken boşluk dardır, açı büyüdükçe boşluk genişler. Kapının kenarı ve kasa aynı uzunlukta kalır, değişen tek şey açıdır. İşte bu, üçgende büyük açının karşısında büyük kenar bulunur kuralının günlük hayattaki karşılığıdır.

Şimdi de evden okula gittiğinizi düşünün. Doğrudan yürümek mi daha kısadır, yoksa önce markete uğrayıp sonra okula gitmek mi? Market tam yolun üzerinde değilse doğrudan gitmek her zaman daha kısadır. Üç nokta (ev, market, okul) bir üçgen oluşturur ve iki kenarın toplamı üçüncü kenardan her zaman uzundur. Buna üçgen eşitsizliği diyoruz.

Çatı makasları, merdiven eğimleri, kare şeklindeki bir fayansın köşegeni ya da eşit kenarlı bir yol işareti levhası... Mimaride ve mühendislikte bazı üçgenler çok sık karşımıza çıkar: eşkenar üçgen, ikizkenar üçgen, 30°-60°-90° ve 45°-45°-90° üçgenleri. Bu üçgenlerin kenarları arasında sabit oranlar vardır; bu oranları bilen kişi uzun hesaplara girmeden sonuca ulaşır. TYT'de de bu üçgenler hemen her geometri sorusunun içinde gizlenir.

Tanım ve kural

1. Açı-kenar bağıntısı

ABC üçgeninde A açısının karşısındaki kenar a = |BC|, B açısının karşısındaki kenar b = |AC|, C açısının karşısındaki kenar c = |AB| olarak gösterilir.

Kural: Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur. Eşit açıların karşısındaki kenarlar da eşittir.

Neden? Kapı örneğindeki gibi, bir köşedeki iki kenarı sabit tutup aradaki açıyı büyüttüğümüzde uçlar birbirinden uzaklaşır. Yani açı büyüdükçe o açının karşısındaki kenar uzar. Bu yüzden açıları sıralamak, kenarları sıralamak demektir. Örneğin A > B > C ise a > b > c olur.

Bir önemli sonuç: Dik üçgende en büyük açı 90° olduğundan en uzun kenar her zaman hipotenüstür. Geniş açılı üçgende en uzun kenar, geniş açının karşısındaki kenardır.

2. Üçgen eşitsizliği

Kural: Bir üçgenin herhangi bir kenarı, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçüktür.

|b − c| < a < b + c

Neden? İki nokta arasındaki en kısa yol düz çizgidir. B'den C'ye doğrudan gitmek (a), A'ya uğrayarak gitmekten (c + b) kısadır; bu yüzden a < b + c. Eşitlik olursa A noktası BC doğru parçasının üzerine düşer ve üçgen “yassılaşarak” bir doğru parçasına dönüşür; bu nedenle eşitlik kabul edilmez. Fark kısmı da aynı fikirden gelir: b < a + c yazıp düzenlersek b − c < a elde ederiz.

3. Özel üçgenler

İkizkenar üçgen: İki kenarı eşittir. Eşit kenarların karşısındaki açılar (taban açıları) da eşittir. Neden? Açı-kenar bağıntısına göre eşit kenarların karşısında eşit açılar olmak zorundadır.

Eşkenar üçgen: Üç kenarı eşittir, dolayısıyla üç açısı da eşittir: 180° ÷ 3 = 60°. Kenarı a olan eşkenar üçgenin yüksekliği a√3/2'dir.

30°-60°-90° üçgeni neden 1 : √3 : 2 oranındadır? Kenarı 2k olan bir eşkenar üçgen alalım. Bir köşeden karşı kenara yükseklik indirelim. Yükseklik tabanı iki eşit parçaya böler: her parça k olur. Ortaya iki dik üçgen çıkar; açıları 30°, 60° ve 90°'dir. Hipotenüs 2k, kısa kenar k'dır. Uzun kenar (yükseklik) için Pitagoras: (2k)² − k² = 4k² − k² = 3k², yani yükseklik k√3. Böylece:

30°'nin karşısı = k, 60°'nin karşısı = k√3, 90°'nin karşısı = 2k.

45°-45°-90° üçgeni neden 1 : 1 : √2 oranındadır? Kenarı k olan bir kareye köşegen çizelim. Kare iki eş dik üçgene ayrılır; açıları 45°, 45° ve 90°'dir. İki dik kenar k'dır. Hipotenüs için Pitagoras: k² + k² = 2k², yani hipotenüs k√2.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

ABC üçgeninde m(A) = 70°, m(B) = 50°, m(C) = 60° veriliyor. Kenarları büyükten küçüğe sıralayınız.

Çözüm:

Açıları sıralayalım: A (70°) > C (60°) > B (50°).

Her açının karşısındaki kenarı yazalım: A'nın karşısı a = |BC|, C'nin karşısı c = |AB|, B'nin karşısı b = |AC|.

Açıların sırası kenarlara aynen geçer.

|BC| > |AB| > |AC|, yani a > c > b

Örnek 2 (kolay)

Bir üçgenin iki kenarı 5 cm ve 8 cm'dir. Üçüncü kenar x tam sayı ise x kaç farklı değer alabilir?

Çözüm:

Üçgen eşitsizliği: 8 − 5 < x < 8 + 5

3 < x < 13

Tam sayı değerleri: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Sayalım: 12 − 4 + 1 = 9

x, 9 farklı değer alabilir.

Örnek 3 (orta)

Bir ikizkenar üçgenin iki kenar uzunluğu 4 cm ve 9 cm'dir. Üçgenin çevresi kaç cm'dir?

Çözüm:

İkizkenar olduğu için üçüncü kenar ya 4 ya da 9 olmalıdır.

Deneme 1: Kenarlar 4, 4, 9 olsun. 4 + 4 = 8 ve 8 < 9 olduğundan üçgen eşitsizliği bozulur. Bu üçgen çizilemez.

Deneme 2: Kenarlar 4, 9, 9 olsun. 9 − 9 = 0 < 4 < 18 sağlanır. Bu üçgen çizilebilir.

Çevre: 4 + 9 + 9 = 22

Çevre 22 cm'dir.

Örnek 4 (orta)

Bir 30°-60°-90° üçgeninde hipotenüs 10 cm'dir. Diğer iki kenarı bulunuz.

Çözüm:

Oran: 30°'nin karşısı k, 60°'nin karşısı k√3, hipotenüs 2k.

2k = 10 olduğundan k = 5.

30°'nin karşısındaki kenar: 5

60°'nin karşısındaki kenar: 5√3

Kenarlar 5 cm ve 5√3 cm'dir.

Örnek 5 (orta)

Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü 8 cm'dir. Dik kenarlarından birinin uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm:

İkizkenar dik üçgen, 45°-45°-90° üçgenidir. Oran: k : k : k√2.

k√2 = 8 olduğundan k = 8/√2.

Paydayı rasyonel yapalım: 8/√2 = (8 × √2)/(√2 × √2) = 8√2/2 = 4√2.

Dik kenar 4√2 cm'dir.

Örnek 6 (zor)

Bir üçgenin kenarları 7 cm, 10 cm ve x cm'dir. x tam sayıdır ve x kenarının karşısındaki açı üçgenin en büyük açısıdır. x kaç farklı değer alabilir?

Çözüm:

En büyük açının karşısında en uzun kenar bulunur. Bu yüzden x en uzun kenardır: x > 10.

Üçgen eşitsizliği: 10 − 7 < x < 10 + 7, yani 3 < x < 17.

İki koşulu birleştirelim: 10 < x < 17.

Tam sayı değerleri: 11, 12, 13, 14, 15, 16

x, 6 farklı değer alabilir.

Örnek 7 (zor)

ABC üçgeninde m(B) = 45°, m(C) = 30°'dir. A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik [AH] ve |AH| = 4 cm'dir. |BC| kaç cm'dir?

Çözüm:

B ve C açıları dar olduğu için H noktası B ile C arasındadır. Yükseklik üçgeni iki dik üçgene ayırır.

ABH üçgeni: açılar 45°, 45°, 90°. Dik kenarlar eşit olduğundan |BH| = |AH| = 4.

AHC üçgeni: açılar 30° (C'de), 60° (A'da), 90° (H'de).

|AH|, 30°'nin karşısındadır, yani k = 4.

|HC|, 60°'nin karşısındadır: 4√3.

|BC| = |BH| + |HC| = 4 + 4√3

|BC| = 4 + 4√3 cm

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: Kenarları 5 ve 8 olan üçgende üçüncü kenar 3 veya 13 olabilir. Doğrusu: Eşitsizlik kesindir; 3 < x < 13. Eşitlik hâlinde üçgen bir doğru parçasına dönüşür.
• Yanlış: İkizkenar üçgenin kenarları 4 ve 9 ise çevre 17 veya 22 olabilir. Doğrusu: 4, 4, 9 üçgen eşitsizliğini bozar; tek cevap 22'dir. Her denemeyi eşitsizlikle kontrol edin.
• Yanlış: 30°-60°-90° üçgeninde 60°'nin karşısı hipotenüsün yarısıdır. Doğrusu: Hipotenüsün yarısı, en küçük açı olan 30°'nin karşısındaki kenardır. 60°'nin karşısı k√3'tür.
• Yanlış: “30°'nin karşısı hipotenüsün yarısıdır” kuralını her üçgende kullanmak. Doğrusu: Bu kural yalnızca dik üçgende geçerlidir. Dik açı yoksa önce yükseklik indirerek dik üçgen oluşturun.
• Yanlış: A açısının karşısındaki kenarı |AB| sanmak. Doğrusu: Bir açının karşısındaki kenar, o köşeye değmeyen kenardır; A'nın karşısı |BC|'dir.

Alıştırma

TYT taktiği: Bu tür sorular genellikle kısa sürede (yaklaşık 1-1,5 dakika) çözülmelidir. Şıklarda sınır değerleri (farkı veya toplamı) görürseniz hemen eleyin. Kök içeren şıklarda √3 mü √2 mi olduğuna bakarak üçgenin türünü kontrol edin: 30°-60° varsa √3, 45° varsa √2 beklenir. Açı sıralama sorularında önce üçüncü açıyı 180°'den bulun.

1) ABC üçgeninde m(A) = 80°, m(B) = 60° ise kenarları büyükten küçüğe sıralayınız.

2) Bir üçgenin iki kenarı 3 cm ve 7 cm'dir. Üçüncü kenar tam sayı ise kaç farklı değer alabilir?

3) Bir üçgenin iki kenarı 6 cm ve 6 cm'dir. Üçüncü kenar tam sayı ise kaç farklı değer alabilir?

4) Bir ikizkenar üçgenin iki kenarı 5 cm ve 11 cm'dir. Çevresi kaç cm'dir?

5) Kenarı 8 cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği kaç cm'dir?

6) Bir 30°-60°-90° üçgeninde 30°'nin karşısındaki kenar 7 cm'dir. Hipotenüs ve 60°'nin karşısındaki kenar kaç cm'dir?

7) Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü 10 cm'dir. Dik kenarı kaç cm'dir?

8) ABC üçgeninde |AB| = |AC| ve m(A) = 100° ise m(B) kaç derecedir?

9) Bir üçgenin kenarları 4, 9 ve x'tir. x tam sayı ve x'in karşısındaki açı en büyük açı ise x kaç farklı değer alabilir?

10) ABC üçgeninde m(B) = 60°, m(C) = 45°, A'dan BC'ye indirilen yükseklik |AH| = 6 cm ise |BC| kaç cm'dir?

Cevap Anahtarı

• 1) |BC| > |AC| > |AB| — m(C) = 180° − 80° − 60° = 40° olduğundan A > B > C, yani a > b > c.
• 2) 5 — 4 < x < 10 olduğundan x = 5, 6, 7, 8, 9.
• 3) 11 — 0 < x < 12 olduğundan x = 1, 2, ..., 11.
• 4) 27 — 5, 5, 11 üçgen olamaz (5 + 5 = 10 < 11); kenarlar 5, 11, 11 ve toplamı 27.
• 5) 4√3 — Yükseklik a√3/2 = 8√3/2 = 4√3.
• 6) Hipotenüs 14, diğer kenar 7√3 — k = 7 olduğundan hipotenüs 2k, 60°'nin karşısı k√3.
• 7) 5√2 — k√2 = 10 ise k = 10/√2 = 5√2.
• 8) 40° — Taban açıları eşit: (180° − 100°) ÷ 2 = 40°.
• 9) 3 — x > 9 ve x < 13 olduğundan x = 10, 11, 12.
• 10) 6 + 2√3 — ABH'de 60°'nin karşısı 6 = k√3 olduğundan |BH| = k = 2√3; AHC'de 45° olduğundan |HC| = 6.

Dersin özeti

• Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, eşit açıların karşısında eşit kenarlar bulunur; açıları sıralamak kenarları sıralamaktır.
• Üçgen eşitsizliği: |b − c| < a < b + c. Eşitlik kabul edilmez; ikizkenar sorularında her ihtimali bu kuralla kontrol edin.
• Eşkenar üçgenin açıları 60°, yüksekliği a√3/2'dir.
• 30°-60°-90° üçgeni eşkenar üçgenin yarısıdır: kenarlar k : k√3 : 2k.
• 45°-45°-90° üçgeni karenin yarısıdır: kenarlar k : k : k√2. Dik açı yoksa yükseklik indirerek bu üçgenleri kendiniz oluşturun.

Sonraki derse köprü: Bu derste öğrendiğimiz kenar oranları ve yükseklik indirme fikri, kursun sonraki derslerinde dik üçgen bağıntılarında, çokgenlerde ve alan hesaplarında sürekli karşımıza çıkacak. Özellikle eşkenar üçgenin yüksekliğini ve 30°-60°-90°, 45°-45°-90° oranlarını iyice pekiştirin; alan formüllerine geçtiğimizde bu oranlar hesabı çok kısaltacak.