Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik

Tahmini süre: 16 dk

Önceki derste üçgenin açıları ve kenarları arasındaki temel bağıntıları gördük. Artık tek bir üçgene değil, iki üçgenin birbirine göre durumuna bakacağız. Bu derste öğreneceğin eşlik, benzerlik ve oran bilgisi, sıradaki derslerde çokgenleri, çemberi ve alan-hacim hesaplarını çözerken en çok başvuracağın araç olacak.

Günlük hayattan giriş

Telefonunla çektiğin bir fotoğrafı büyüttüğünde görüntü bozulmaz. Bir insanın boyu iki katına çıkarken omuz genişliği de iki katına çıkar. Hiçbir açı değişmez, yalnızca bütün uzunluklar aynı sayıyla çarpılır. Matematikte buna benzerlik denir. Haritalardaki ölçek de aynı fikre dayanır. Haritadaki üçgen biçimli bir bölge ile gerçek arazi benzerdir, aradaki fark tek bir ölçek sayısıdır.

Bir fabrikada aynı kalıptan çıkan iki metal parçayı düşün. Bunlar üst üste konduğunda tam çakışır. Boyutları da açıları da aynıdır. Buna eşlik denir. Eşlik, “aynı şeklin kopyası”, benzerlik ise “aynı şeklin büyütülmüş ya da küçültülmüş hâli” demektir.

Güneşli bir günde bir direğin gölgesini ölçerek yanındaki ağacın boyunu tırmanmadan bulabilirsin. Güneş ışınları hem direğe hem ağaca aynı açıyla geldiği için direk-gölge üçgeni ile ağaç-gölge üçgeni benzerdir. İşte TYT'de karşına çıkan pek çok geometri sorusu da bu basit fikrin, yani “açılar aynıysa kenarlar orantılıdır” fikrinin farklı kılıklarıdır.

Tanım ve kural

1. Eşlik (≅)

İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları ve bütün açıları eşitse bu üçgenler eştir. Ama bunun için altı eşitliğin hepsini kontrol etmek gerekmez. Üçgeni tek biçimde çizmeye yeten üç bilgi yeterlidir:

• KKK (Kenar-Kenar-Kenar): Üç kenarı verilen üçgen tek türlü çizilir. Üç çubuğu uç uca bağlarsan oluşan üçgen oynamaz.
• KAK (Kenar-Açı-Kenar): İki kenar ve aralarındaki açı verilirse üçüncü kenarın uçları sabitlenir, üçgen tek türlü çizilir.
• AKA (Açı-Kenar-Açı): Bir kenar ve o kenarın iki ucundaki açılar verilirse iki ışının kesiştiği tek bir nokta olur. İki açı bilindiğinde üçüncü açı da 180° kuralından bulunduğu için AAK durumu da AKA'ya dönüşür.

Neden AAA eşlik kuralı değil? Açıları 60°, 60°, 60° olan kenarı 2 cm'lik üçgen ile kenarı 10 cm'lik üçgenin açıları aynıdır ama boyutları farklıdır. Açılar şekli belirler, boyutu belirlemez. Aynı şekilde iki kenar ve aralarında olmayan bir açı (KKA) da genel olarak eşlik için yetmez, çünkü bu bilgilerle bazen iki farklı üçgen çizilebilir.

2. Benzerlik (∼)

İki üçgenin karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılıysa üçgenler benzerdir. Bu orana benzerlik oranı denir ve genellikle k ile gösterilir. Benzerlik için de yeterli koşullar vardır:

• AA (Açı-Açı): İki açı eşitse üçüncü açı da eşittir, yani şekil aynıdır. TYT'de en çok kullanılan kural budur.
• KKK orantısı: Üç kenar aynı oranda büyümüşse üçgen benzerdir.
• KAK orantısı: İki kenar aynı oranda büyümüş ve aralarındaki açı eşitse üçgenler benzerdir.

3. Benzerlik oranı neyi, nasıl değiştirir?

Benzerlik oranı k ise tüm uzunluklar k katına çıkar: kenarlar, yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar ve çevre. Alan ise k² katına çıkar. Nedeni basittir: Alan = taban × yükseklik ÷ 2. Taban k kat, yükseklik de k kat büyüyünce alan k × k = k² kat büyür. Açılar ise hiç değişmez.

4. Temel orantı teoremi (Tales)

ABC üçgeninde D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerinde ve DE ∥ BC olsun. Paralellik nedeniyle ∠ADE = ∠ABC ve ∠AED = ∠ACB olur (yöndeş açılar). A açısı ortak olduğu için AA kuralıyla ADE ∼ ABC olur. Buradan:

AD/AB = AE/AC = DE/BC

Ayrıca kenar parçaları için de AD/DB = AE/EC yazılabilir. Dikkat: DE/BC oranında tüm kenar (AB) kullanılır, parça (DB) kullanılmaz.

5. Kelebek benzerliği

AB ∥ CD olsun ve AD ile BC doğru parçaları E noktasında kesişsin. Şekil bir kelebeğe benzer. ∠EAB = ∠EDC (iç ters açılar) ve ∠AEB = ∠DEC (ters açılar) olduğundan AA kuralıyla EAB ∼ EDC olur. Köşe eşleşmesi: E ↔ E, A ↔ D, B ↔ C. Buradan:

AB/DC = EA/ED = EB/EC

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (Eşlik)

ABC ikizkenar üçgeninde AB = AC ve AH, BC kenarına ait yüksekliktir. BC = 10 cm ise BH kaç cm'dir?

Çözüm:

AB = AC olduğundan taban açıları eşittir: ∠B = ∠C.

AH yükseklik olduğu için ∠AHB = ∠AHC = 90°.

Üçgenin açılar toplamı 180° olduğundan ∠BAH = 180° − 90° − ∠B ve ∠CAH = 180° − 90° − ∠C. Bu yüzden ∠BAH = ∠CAH.

ABH ve ACH üçgenlerinde AH kenarı ortaktır ve bu kenarın iki ucundaki açılar eşittir. AKA kuralıyla ABH ≅ ACH.

Eş üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan BH = HC = 10 ÷ 2.

BH = 5 cm

Örnek 2 (Benzerlik oranı, çevre ve alan)

ABC ve DEF üçgenlerinde ∠A = ∠D ve ∠B = ∠E'dir. AB = 6, BC = 8, AC = 10 ve DE = 9 ise EF, DF uzunluklarını ve iki üçgenin alanları oranını bulunuz.

Çözüm:

İki açı eşit olduğundan AA kuralıyla ABC ∼ DEF.

Benzerlik oranı: k = DE/AB = 9/6 = 3/2.

EF = BC × 3/2 = 8 × 3/2 = 12.

DF = AC × 3/2 = 10 × 3/2 = 15.

Kontrol: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10², yani ABC dik üçgendir (dik açı B'de). Alanı 6 × 8 ÷ 2 = 24.

DEF de E'de dik olur. Alanı 9 × 12 ÷ 2 = 54.

Alan oranı 54/24 = 9/4 = (3/2)². Kural doğrulandı.

EF = 12, DF = 15, alanlar oranı 9/4

Örnek 3 (Temel orantı teoremi)

ABC üçgeninde D ∈ [AB], E ∈ [AC] ve DE ∥ BC'dir. AD = 4, DB = 6, BC = 15 ve AE = 6 ise DE ve EC kaçtır?

Çözüm:

AB = AD + DB = 4 + 6 = 10.

DE ∥ BC olduğundan AD/AB = DE/BC, yani 4/10 = DE/15.

DE = 15 × 4 ÷ 10 = 6.

Parça oranı: AD/DB = AE/EC, yani 4/6 = 6/EC.

EC = 6 × 6 ÷ 4 = 9.

Kontrol: AC = 6 + 9 = 15 ve AE/AC = 6/15 = 2/5 = 4/10. Oranlar tutuyor.

DE = 6, EC = 9

Örnek 4 (Kelebek benzerliği)

AB ∥ CD, AD ve BC doğru parçaları E noktasında kesişiyor. AB = 8, CD = 12, AE = 6 ve EC = 9 ise ED ve EB kaçtır?

Çözüm:

Kelebek benzerliği: EAB ∼ EDC ve eşleşme A ↔ D, B ↔ C.

Oran: AB/DC = 8/12 = 2/3.

EA/ED = 2/3, yani 6/ED = 2/3. Buradan ED = 9.

EB/EC = 2/3, yani EB/9 = 2/3. Buradan EB = 6.

ED = 9, EB = 6

Örnek 5 (Paralel doğruda alan oranı)

ABC üçgeninde DE ∥ BC, D ∈ [AB], E ∈ [AC] ve AD/DB = 2/3'tür. ABC üçgeninin alanı 75 cm² ise ADE üçgeninin ve DBCE yamuğunun alanları kaçtır?

Çözüm:

AD = 2x, DB = 3x dersek AB = 5x olur.

ADE ∼ ABC ve benzerlik oranı k = AD/AB = 2x/5x = 2/5.

Alan oranı k² = 4/25.

Alan(ADE) = 75 × 4/25 = 12 cm².

Alan(DBCE) = 75 − 12 = 63 cm².

ADE = 12 cm², DBCE = 63 cm²

Örnek 6 (TYT tipi: Kelebekte alanlar)

AB ∥ CD, AD ve BC doğru parçaları E'de kesişiyor. AB = 4, CD = 6 ve EAB üçgeninin alanı 8 cm² ise ABDC yamuğunun alanı kaçtır?

Çözüm:

EAB ∼ EDC, benzerlik oranı k = AB/DC = 4/6 = 2/3. Buna göre EB/EC = 2/3.

Alan oranı k² = 4/9, yani Alan(EDC) = 8 × 9/4 = 18 cm².

EAB ve EAC üçgenlerinin A köşesinden BC doğrusuna inen yükseklikleri ortaktır. Yükseklik ortaksa alanlar tabanlarla orantılıdır: Alan(EAC)/Alan(EAB) = EC/EB = 3/2.

Alan(EAC) = 8 × 3/2 = 12 cm². Aynı düşünceyle Alan(EBD) = 12 cm².

Toplam: 8 + 18 + 12 + 12 = 50 cm².

Pratik kontrol: Yamuğun alanı (√8 + √18)² = (2√2 + 3√2)² = (5√2)² = 50.

Yamuğun alanı 50 cm²

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: DE ∥ BC iken DE/BC = AD/DB yazmak. Doğrusu: DE/BC = AD/AB. Tabanlar oranında tüm kenar kullanılır. AD/DB oranı yalnızca kenar parçalarını karşılaştırırken (AD/DB = AE/EC) geçerlidir.
• Yanlış: Benzerlik oranı 2/3 ise alan oranını da 2/3 almak. Doğrusu: Alan oranı k² = 4/9'dur. Tersine, alanlar oranı 16/25 verilirse kenar oranı 4/5'tir, 16/25 değildir.
• Yanlış: Kelebekte AB/DC = EA/EC yazmak. Doğrusu: Önce köşeleri eşleştir: A ↔ D, B ↔ C. Doğru oran EA/ED'dir. Eşleşmeyi açılardan kur, harf sırasına göre tahmin etme.
• Yanlış: “Açıları eşit olduğu için bu iki üçgen eştir.” Doğrusu: Açıların eşitliği (AA) yalnızca benzerlik verir. Eşlik için en az bir karşılıklı kenarın da eşit olması gerekir (AKA).
• Yanlış: Temel orantıda yamuğun alanını k² × bütün alan sanmak. Doğrusu: k² × bütün alan küçük üçgenin alanıdır. Yamuk için bu değeri bütün alandan çıkarmak gerekir.

TYT taktikleri: soru tipi, süre ve şık eleme

• Soru tipleri: Paralel doğru içeren üçgen (temel orantı), iki paralel doğru arasında çapraz kesişen doğrular (kelebek), benzer üçgenlerde alan ve çevre oranı ile gölge ve ölçek problemleri.
• Süre: Bu tür bir soruya yaklaşık 1-1,5 dakika ayırmayı hedefle. İlk iş şekilde paralel doğruları işaretle ve eşit açıları göster. Benzer üçgeni bulmak çözümün yarısıdır.
• Şık eleme: Parça, bütünden büyük olamaz. Örneğin DE ∥ BC iken DE < BC olmalıdır. Kelebekte kısa paralel kenarın tarafındaki parçalar da daha kısa olmalıdır.
• Alan kontrolü: Benzer iki üçgenin alanları oranı bir tam kare oranı olmalıdır (4/9, 16/25 gibi). Kelebek sorusunda yamuğun alanı (√S₁ + √S₂)² ile hızlıca kontrol edilebilir.

Alıştırma

1) ABC ∼ DEF ve A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F eşleşmesi var. AB = 4, DE = 10, BC = 6 ise EF kaçtır?

2) Benzer iki üçgenin çevreleri 18 cm ve 27 cm'dir. Küçük üçgenin alanı 20 cm² ise büyük üçgenin alanı kaç cm²'dir?

3) ABC üçgeninde DE ∥ BC, D ∈ [AB], E ∈ [AC]. AD = 3, DB = 5 ve DE = 6 ise BC kaçtır?

4) ABC üçgeninde DE ∥ BC, D ∈ [AB], E ∈ [AC]. AE = 4, EC = 6 ve AD = 6 ise DB kaçtır?

5) AB ∥ CD, AD ve BC doğru parçaları E'de kesişiyor. AB = 5, CD = 15 ve AE = 3 ise ED kaçtır?

6) ABC üçgeninde DE ∥ BC ve AD/DB = 1/3'tür. ABC üçgeninin alanı 48 cm² ise DBCE yamuğunun alanı kaç cm²'dir?

7) Benzer iki üçgenin alanları 16 cm² ve 36 cm²'dir. Küçük üçgenin bir kenarı 6 cm ise büyük üçgende bu kenara karşılık gelen kenar kaç cm'dir?

8) Boyu 2 m olan bir direğin gölgesi 3 m'dir. Aynı anda yanındaki ağacın gölgesi 12 m ise ağacın boyu kaç m'dir?

9) AB ∥ CD, AD ve BC doğru parçaları E'de kesişiyor. EAB üçgeninin alanı 4 cm², EDC üçgeninin alanı 25 cm² ise ABDC yamuğunun alanı kaç cm²'dir?

10) ABC ve DEF üçgenlerinde AB = DE = 7 cm, ∠A = ∠D = 50° ve ∠B = ∠E = 70°'dir. Üçgenler hangi kurala göre eştir ve ∠F kaç derecedir?

Cevap Anahtarı

• 1) 15 — Oran k = 10/4 = 5/2 olduğundan EF = 6 × 5/2 = 15.
• 2) 45 cm² — Çevre oranı k = 27/18 = 3/2, alan oranı 9/4 olduğundan 20 × 9/4 = 45.
• 3) 16 — AB = 8 ve AD/AB = DE/BC olduğundan 3/8 = 6/BC, buradan BC = 16.
• 4) 9 — AD/DB = AE/EC olduğundan 6/DB = 4/6, buradan DB = 9.
• 5) 9 — AB/DC = EA/ED olduğundan 5/15 = 3/ED, buradan ED = 9.
• 6) 45 cm² — AD/AB = 1/4, alan oranı 1/16 olduğundan ADE = 3 ve yamuk 48 − 3 = 45.
• 7) 9 cm — Alan oranı 36/16 = 9/4 ise kenar oranı 3/2 olduğundan 6 × 3/2 = 9.
• 8) 8 m — Direk ve ağaç üçgenleri benzer olduğundan 2/3 = boy/12, buradan boy = 8.
• 9) 49 cm² — k = 2/5 olduğundan EAC = EBD = 4 × 5/2 = 10 ve toplam 4 + 25 + 10 + 10 = 49.
• 10) AKA, ∠F = 60° — Eşit kenarın iki ucundaki açılar eşit olduğundan AKA geçerlidir ve ∠F = 180° − 50° − 70° = 60°.

Dersin özeti

• Eşlik için KKK, KAK veya AKA yeterlidir. AAA yalnızca benzerlik verir, KKA ise genel olarak eşlik için yetmez.
• Benzerlik için en pratik kural AA'dır. Benzerlik oranı k ise kenar, yükseklik ve çevre k katına, alan k² katına çıkar.
• Temel orantı teoremi: DE ∥ BC ise AD/AB = AE/AC = DE/BC ve AD/DB = AE/EC.
• Kelebek benzerliği: AB ∥ CD ve AD ∩ BC = E ise AB/DC = EA/ED = EB/EC. Önce köşeleri doğru eşleştir.
• Sonraki derslerde çokgenlerin, çemberin ve cisimlerin alan-hacim hesaplarında bu oranları sık sık kullanacağız. Özellikle “uzunluk k kat ise alan k² kat” fikrini aklında tut.