Dik Üçgen ve Pitagoras Teoremi

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde üçgenin açıları ve kenarları arasındaki temel ilişkileri gördük. Örneğin en büyük açının karşısında en uzun kenarın durduğunu öğrendik. Bu derste açılardan biri tam 90° olan dik üçgene odaklanıyoruz. Dik üçgende kenarlar arasında çok güçlü bir ilişki var. İki kenarı bilirsen üçüncüsünü kesin olarak hesaplayabilirsin.

Bu ilişkiyi farkında olmadan her gün kullanırız. Bir duvara merdiven dayadığında duvar, zemin ve merdiven bir dik üçgen oluşturur. Merdivenin uzunluğunu ve duvardan ne kadar uzağa koyduğunu biliyorsan, merdivenin duvarda ne kadar yükseğe ulaşacağını hesaplayabilirsin. Televizyonların “inç” ölçüsü de ekranın köşegenidir. Ekranın eni, boyu ve köşegeni de bir dik üçgenin kenarlarıdır.

Ustalar bir köşenin gerçekten “gönye” olup olmadığını, yani 90° olup olmadığını kontrol ederken de aynı fikri kullanır. Bir kenardan 3 birim, diğer kenardan 4 birim ölçerler. İki işaret arasındaki mesafe tam 5 birim çıkıyorsa köşe diktir. Bunun nedeni bu dersin konusu olan Pitagoras teoremidir.

Tanım ve kural

Dik üçgenin parçaları: 90° olan açının karşısındaki kenara hipotenüs, dik açıyı oluşturan iki kenara da dik kenar denir. Dik açı üçgenin en büyük açısıdır. Bu yüzden hipotenüs her zaman en uzun kenardır.

Pitagoras teoremi: Dik kenarlar a ve b, hipotenüs c ise a² + b² = c² olur.

Neden doğru? Alan yardımıyla gösterelim.

Kenar uzunluğu (a + b) olan büyük bir kare düşün. Her kenarı bir a, bir b uzunluğunda iki parçaya böl.

Bu bölme noktalarını sırayla birleştirince büyük karenin köşelerinde dik kenarları a ve b olan 4 eş dik üçgen oluşur. Ortada ise kenarları c olan bir dörtgen kalır.

Ortadaki dörtgenin açıları neden 90°? Bir dik üçgenin iki dar açısının toplamı 90°dir. Büyük karenin bir kenarı üzerindeki noktada bu iki dar açı ile ortadaki açı yan yana gelir ve toplamları 180° olur. Buradan ortadaki açı 180° − 90° = 90° bulunur. Yani ortadaki şekil kenarı c olan bir karedir.

Şimdi büyük karenin alanını iki farklı yoldan yazalım.

1. yol: Büyük karenin alanı (a + b)² = a² + 2ab + b² olur.

2. yol: Alan, 4 üçgen ile ortadaki karenin toplamıdır: 4 · (a · b / 2) + c² = 2ab + c².

İki sonuç aynı alanı gösterdiği için eşittir: a² + 2ab + b² = 2ab + c².

İki taraftan 2ab'yi çıkarınca a² + b² = c² elde edilir.

Tersi de doğrudur: Bir üçgenin kenarları a² + b² = c² eşitliğini sağlıyorsa o üçgen diktir ve dik açı c kenarının karşısındadır. Ustaların 3-4-5 yöntemi bu yüzden çalışır: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

Pitagoras üçlüleri: Pitagoras teoremini tam sayılarla sağlayan kenar üçlüleridir. Bir üçlünün tüm kenarlarını aynı sayıyla çarparsan yine bir üçlü elde edersin. Örneğin 3-4-5'i 2 ile çarparak 6-8-10 üçlüsünü bulursun. Bunun nedeni, kenarlar k katına çıkınca karelerin k² katına çıkması ve eşitliğin bozulmamasıdır.

Öklid bağıntıları: ABC üçgeninde A açısı 90° olsun. A köşesinden hipotenüs BC'ye bir dikme inelim ve dikme ayağına H diyelim. Kısaltmalar şöyle olsun: AH = h, BH = p, HC = k. Buna göre BC = p + k olur.

Neden h² = p · k? Dikme, büyük üçgeni iki küçük dik üçgene ayırır. Bu üçgenlere Pitagoras teoremini uygulayalım.

ABH üçgeninde AB² = p² + h² olur.

AHC üçgeninde AC² = k² + h² olur.

Büyük ABC üçgeninde AB² + AC² = (p + k)² olur.

İlk iki eşitliği üçüncüsünde yerine yazalım: p² + h² + k² + h² = p² + 2pk + k².

Her iki taraftaki p² ve k² birbirini götürür. Geriye 2h² = 2pk, yani h² = p · k kalır.

Neden AB² = p · BC? AB² = p² + h² olduğunu biliyoruz. h² yerine p · k yazalım: AB² = p² + pk = p · (p + k) = p · BC. Aynı yolla AC² = k · BC bulunur.

Alan bağıntısı: Üçgenin alanını iki yoldan yazabiliriz: dik kenarlarla AB · AC / 2 ya da hipotenüs ve ona ait yükseklikle BC · AH / 2. Bu iki ifade eşit olduğu için AB · AC = BC · AH olur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan dik üçgenin hipotenüsü kaç cm'dir?

Çözüm:

Pitagoras teoremini yazalım: c² = 6² + 8².

Kareleri hesaplayalım: c² = 36 + 64 = 100.

100'ün pozitif karekökünü alalım: c = √100 = 10.

Kısa yol: 6-8-10, 3-4-5 üçlüsünün 2 katıdır.

Sonuç: 10 cm

Örnek 2: Hipotenüsü 13 birim, dik kenarlarından biri 5 birim olan dik üçgenin diğer dik kenarı kaç birimdir?

Çözüm:

Aranan kenara x diyelim. Hipotenüs 13 olduğu için 5² + x² = 13² yazılır.

Kareleri hesaplayalım: 25 + x² = 169.

İki taraftan 25 çıkaralım: x² = 144.

Karekök alalım: x = 12.

Kontrol: 5-12-13 bilinen bir Pitagoras üçlüsüdür.

Sonuç: 12 birim

Örnek 3: Dik kenarları 2 ve 3 birim olan dik üçgenin hipotenüsü kaç birimdir?

Çözüm:

c² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13.

13 tam kare değildir. Bu yüzden sonuç kök içinde kalır: c = √13.

Her soru bir Pitagoras üçlüsüne çıkmaz. Kök içinde kalan cevaplar da çok yaygındır.

Sonuç: √13 birim

Örnek 4: 10 m uzunluğundaki bir merdiven dik bir duvara dayanmıştır. Merdivenin ayağı duvardan 6 m uzaktadır. Merdivenin üst ucu yerden kaç m yüksektedir?

Çözüm:

Duvar ile zemin 90° açı yapar. Bu yüzden merdiven hipotenüstür: c = 10.

Zemindeki mesafe bir dik kenardır: 6. Aranan yükseklik diğer dik kenardır: h.

6² + h² = 10² olur, yani 36 + h² = 100.

İki taraftan 36 çıkaralım: h² = 64. Buradan h = 8 bulunur.

Sonuç: 8 m

Örnek 5: ABC üçgeninde A açısı 90°dir. [AH] ⊥ [BC] olmak üzere H noktası BC üzerindedir. BH = 4 ve HC = 9 ise AH ve AB kaçtır?

Çözüm:

Öklid bağıntısını yazalım: AH² = BH · HC = 4 · 9 = 36. Buradan AH = 6 bulunur.

Hipotenüsü bulalım: BC = 4 + 9 = 13.

AB² = BH · BC = 4 · 13 = 52 olur.

√52 sayısını sadeleştirelim: 52 = 4 · 13 olduğu için AB = 2√13.

Kontrol: ABH üçgeninde AB² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52 çıkar, sonuç tutarlıdır.

Sonuç: AH = 6, AB = 2√13

Örnek 6: ABC üçgeninde A açısı 90°, AB = 15 ve AC = 20'dir. [AH] ⊥ [BC] ise AH, BH ve HC kaçtır?

Çözüm:

Önce hipotenüsü bulalım: BC² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625, yani BC = 25. Bu üçgen 3-4-5 üçlüsünün 5 katıdır.

Alan bağıntısını yazalım: AB · AC = BC · AH, yani 15 · 20 = 25 · AH.

300 = 25 · AH olduğu için AH = 12 bulunur.

AB² = BH · BC ifadesinden 225 = BH · 25 yazılır. Buradan BH = 9 bulunur.

HC = BC − BH = 25 − 9 = 16 olur.

Kontrol: AH² = 144 ve BH · HC = 9 · 16 = 144. İki sonuç tutuyor.

Sonuç: AH = 12, BH = 9, HC = 16

Örnek 7: ABC üçgeninde B açısı 90°, AB = 8 ve BC = 6'dır. ACD üçgeninde C açısı 90° ve CD = 24'tür. AD kaç birimdir?

Çözüm:

1. adım: ABC üçgeninde AC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 olur. Buradan AC = 10 bulunur.

2. adım: ACD üçgeninde dik kenarlar AC = 10 ve CD = 24'tür.

AD² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676 olur.

676 = 26² olduğu için AD = 26 bulunur. Bu üçgen 5-12-13 üçlüsünün 2 katıdır.

Sonuç: 26 birim

Sık yapılan hatalar

• Hipotenüsü yanlış belirlemek: “Kenarlar 5 ve 13, üçüncü kenar nedir?” sorusunda √(25 + 169) = √194 yazmak yanlıştır. Şekilde 13 dik açının karşısındaysa hipotenüs odur. Doğrusu: 13² − 5² = 144, üçüncü kenar 12'dir. Her zaman önce dik açının karşısındaki kenarı bul.
• Kenarları doğrudan toplamak: Dik kenarlar 3 ve 4 ise hipotenüsü 3 + 4 = 7 sanmak yanlıştır. Doğrusu: √(9 + 16) = √25 = 5. Üçgen eşitsizliği gereği hipotenüs, dik kenarların toplamından her zaman küçüktür.
• Karekökü parçalamak: √(a² + b²) = a + b yazmak yanlıştır. Örneğin √(9 + 16) = 5 olur, 3 + 4 = 7 olmaz. Toplamın karekökü, kareköklerin toplamına eşit değildir.
• Öklid bağıntılarını karıştırmak: AH = BH · HC ya da AB² = BH · HC yazmak yanlıştır. Doğrusu: AH² = BH · HC ve AB² = BH · BC. Kenarın karesi, kendi yanındaki parça ile tüm hipotenüsün çarpımıdır.
• Her üçgeni bir üçlü sanmak: Dik kenarlar 4 ve 5 ise hipotenüsü 6 sanmak yanlıştır. Doğrusu: 16 + 25 = 41, hipotenüs √41'dir. Üçlüyü ancak kenarlar bilinen bir üçlüye ya da onun bir katına uyuyorsa kullan.

TYT sınav taktikleri

Soru tipi: TYT'de bu konu çoğunlukla bir şekil üzerinde “x kaçtır?” biçiminde gelir. Bazı sorularda iki üçgen birbirine bağlıdır: birinden bulunan kenar diğerinde kullanılır (Örnek 7'deki gibi). Dikme görüyorsan Öklid bağıntılarını, dik kenarlar ve yükseklik birlikte geçiyorsa alan bağıntısını düşün.

Süre: Bu tür bir soruya yaklaşık 1–1,5 dakika ayırmayı hedefle. Şekildeki sayılar 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13, 15, 17 gibi değerlerse önce üçlüleri kontrol et. Çoğu zaman işlem yapmadan sonuca ulaşırsın.

Şık eleme: Hipotenüs her iki dik kenardan büyük, toplamlarından küçük olmalıdır. Örneğin dik kenarlar 6 ve 8 ise hipotenüs 8'den büyük, 14'ten küçük olmalıdır. Bu aralığın dışındaki şıkları hemen ele. Sonucun kök içinde mi yoksa tam sayı mı olacağına bakmak da seçenekleri daraltır.

Alıştırma

• 1) Dik kenarları 9 ve 12 olan dik üçgenin hipotenüsü kaçtır?
• 2) Hipotenüsü 17, bir dik kenarı 8 olan dik üçgenin diğer dik kenarı kaçtır?
• 3) Dik kenarları 1 ve 2 olan dik üçgenin hipotenüsü kaçtır?
• 4) Hipotenüsü 10, bir dik kenarı 4 olan dik üçgenin diğer dik kenarı kaçtır?
• 5) Kenarları 20 cm ve 15 cm olan bir dikdörtgenin köşegeni kaç cm'dir?
• 6) ABC üçgeninde A açısı 90° ve [AH] ⊥ [BC]'dir. BH = 2 ve HC = 8 ise AH kaçtır?
• 7) ABC üçgeninde A açısı 90° ve [AH] ⊥ [BC]'dir. BH = 3 ve BC = 12 ise AB kaçtır?
• 8) Dik kenarları 7 ve 24 olan dik üçgende hipotenüse ait yükseklik kaçtır?
• 9) Bir kenarı 6 birim olan karenin köşegeni kaç birimdir?
• 10) ABC üçgeninde B açısı 90°, AB = 3 ve BC = 4'tür. ACD üçgeninde C açısı 90° ve CD = 12 ise AD kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 15: 81 + 144 = 225 olur ve √225 = 15'tir (3-4-5 üçlüsünün 3 katı).
• 2) 15: 289 − 64 = 225 olur ve √225 = 15'tir.
• 3) √5: 1 + 4 = 5 tam kare olmadığı için sonuç kök içinde kalır.
• 4) 2√21: 100 − 16 = 84 olur ve 84 = 4 · 21 olduğu için √84 = 2√21'dir.
• 5) 25 cm: Köşegen iki kenarla dik üçgen oluşturur; 400 + 225 = 625 ve √625 = 25'tir.
• 6) 4: AH² = 2 · 8 = 16 olduğu için AH = 4'tür.
• 7) 6: AB² = BH · BC = 3 · 12 = 36 olduğu için AB = 6'dır.
• 8) 168/25 (yani 6,72): Hipotenüs 25'tir; alan bağıntısından 7 · 24 = 25 · h ve h = 168/25 bulunur.
• 9) 6√2: Köşegen² = 36 + 36 = 72 olur ve √72 = 6√2'dir.
• 10) 13: Önce AC = 5 bulunur, sonra AD² = 25 + 144 = 169 ve AD = 13 olur.

Dersin özeti

• Dik üçgende dik açının karşısındaki kenar hipotenüstür ve en uzun kenardır. Dik kenarlar a, b ve hipotenüs c ise a² + b² = c² olur. Bunun nedeni, (a + b) kenarlı karenin alanının iki farklı yoldan yazılabilmesidir.
• Kenarlar a² + b² = c² eşitliğini sağlıyorsa üçgen diktir. 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 ve bunların katları en sık kullanılan Pitagoras üçlüleridir.
• Dik açıdan hipotenüse dikme inilince h² = p · k, AB² = p · BC ve AC² = k · BC bağıntıları elde edilir. Bunların hepsi Pitagoras teoreminden türetilebilir.
• Hipotenüse ait yükseklik için alan eşitliği kullanılır: AB · AC = BC · AH.
• Sınavda önce hipotenüsü belirle, üçlüleri kontrol et ve hipotenüsün aralığına bakarak şıkları ele. Bir sonraki derste, burada kazandığın kenar bulma becerisini yeni üçgen problemlerinde temel araç olarak kullanacağız.