Çokgenler ve Dörtgenler

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde üçgenlerin açılarını, kenar bağıntılarını ve alanlarını inceledik. Bu derste o bilgileri daha çok kenarlı şekillere taşıyacağız. Bir çokgenin açıları ve alanı sorulduğunda çoğu zaman yaptığımız şey aynı: şekli üçgenlere bölmek. Yani üçgenlerde öğrendiklerin bu dersin temelidir.

Çokgenler hayatın her yerinde karşımıza çıkar. Kaldırım taşları çoğu zaman kare ya da düzgün altıgendir. Bal peteğindeki hücreler düzgün altıgene benzer, çünkü düzgün altıgenler aralarında boşluk bırakmadan yan yana dizilebilir. Bir odanın zeminine kaç metrekare parke gerektiğini hesaplarken dikdörtgenin alanını kullanırız. Bir çatı kesiti ya da bir merdiven yan yüzü yamuk şeklinde olabilir. Trafikteki DUR levhası düzgün sekizgendir.

TYT'de bu konu genellikle iki biçimde gelir: açı soruları (iç açı, dış açı, kenar sayısı) ve alan soruları (tek dörtgen ya da birkaç şeklin birleşimi). Formülleri ezberlemek yerine nereden geldiklerini bilirsen, unuttuğunda bile birkaç saniyede yeniden türetebilirsin. Bu dersin amacı tam olarak bu. Bir sonraki derste ise köşesi olmayan bir şekle, çembere ve daireye geçeceğiz.

Tanım ve kural

Çokgen: Kenarları doğru parçası olan, kapalı ve kendini kesmeyen şekildir. n kenarlı bir çokgenin n köşesi ve n iç açısı vardır. Bütün kenarları ve bütün açıları eşit olan çokgene düzgün çokgen denir.

1) İç açılar toplamı = (n − 2) × 180°

Neden? Bir köşeden diğer köşelere köşegen çizersen çokgen n − 2 tane üçgene ayrılır. Örneğin beşgende bir köşeden 2 köşegen çizilir ve 3 üçgen oluşur. Her üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğu için toplam (n − 2) × 180° olur.

2) Dış açılar toplamı = 360° (kenar sayısından bağımsız)

Neden? Çokgenin kenarları üzerinde yürüdüğünü düşün. Her köşede dış açı kadar dönersin. Başladığın yere aynı yöne bakarak döndüğünde tam bir tur, yani 360° dönmüş olursun. Ayrıca her köşede iç açı + dış açı = 180° olduğundan: n × 180° − (n − 2) × 180° = 360° sonucu da bunu doğrular.

3) Düzgün çokgende: bir dış açı = 360° / n, bir iç açı = 180° − 360° / n. Buradan n = 360° / (bir dış açı) bulunur.

4) Köşegen sayısı = n × (n − 3) / 2

Neden? Bir köşe kendisine ve iki komşusuna köşegen çizemez, yani n − 3 köşegen çizer. n köşe için n × (n − 3) eder; ama her köşegen iki uçtan sayıldığı için 2'ye böleriz.

Dörtgenler ve alanları

Dikdörtgen: Bütün açıları 90°'dir, karşılıklı kenarları eşittir. Alan = a × b. Köşegen, Pitagoras ile √(a² + b²) olur.

Kare: Hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir. Alan = a². Köşegen = a√2 olduğundan alan = (köşegen)² / 2 şeklinde de yazılır.

Paralelkenar: Karşılıklı kenarları paraleldir ve eşittir; karşılıklı açıları eşit, komşu açılarının toplamı 180°'dir. Köşegenleri birbirini ortalar. Alan = taban × yükseklik. Neden? Paralelkenarın bir yanından dik bir üçgen kesip öbür yanına taşırsan, tabanı ve yüksekliği aynı olan bir dikdörtgen elde edersin.

Eşkenar dörtgen: Dört kenarı eşit olan paralelkenardır. Köşegenleri birbirini dik keser ve ortalar. Alan = (e × f) / 2 (e ve f köşegen uzunlukları). Neden? Köşegenler şekli dört eş dik üçgene ayırır. Şeklin etrafına kenarları e ve f olan bir dikdörtgen çizersen, eşkenar dörtgen bu dikdörtgenin tam yarısını kaplar.

Yamuk: En az iki kenarı paralel olan dörtgendir; paralel kenarlara taban denir. Alan = (a + c) / 2 × h. Neden? Aynı yamuktan iki tane alıp birini ters çevirerek yan yana koyarsan tabanı a + c, yüksekliği h olan bir paralelkenar oluşur. Bir yamuk bunun yarısıdır. İkizkenar yamukta yan kenarlar eşittir ve taban açıları eşittir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Düzgün sekizgenin iç açıları toplamı, bir iç açısı ve bir dış açısı kaçtır?

Çözüm:

İç açılar toplamı = (8 − 2) × 180° = 6 × 180° = 1080°.

Bir iç açı = 1080° / 8 = 135°.

Bir dış açı = 360° / 8 = 45°.

Kontrol: 135° + 45° = 180° ✔

Sonuç: 1080°, 135° ve 45°.

Örnek 2: Bir dış açısı 24° olan düzgün çokgenin köşegen sayısı kaçtır?

Çözüm:

Kenar sayısı n = 360° / 24° = 15.

Köşegen sayısı = 15 × (15 − 3) / 2.

= 15 × 12 / 2 = 180 / 2 = 90.

Sonuç: 90 köşegen.

Örnek 3: Bir dikdörtgenin çevresi 34 cm, bir kenarı 12 cm'dir. Alanı ve köşegen uzunluğu kaçtır?

Çözüm:

Çevre = 2 × (a + b) olduğundan a + b = 34 / 2 = 17.

Diğer kenar b = 17 − 12 = 5 cm.

Alan = 12 × 5 = 60 cm².

Köşegen = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 cm.

Sonuç: Alan 60 cm², köşegen 13 cm.

Örnek 4: Köşegenleri 10 cm ve 24 cm olan eşkenar dörtgenin alanı ve çevresi kaçtır?

Çözüm:

Alan = (10 × 24) / 2 = 240 / 2 = 120 cm².

Köşegenler birbirini dik keser ve ortalar; yarıları 5 cm ve 12 cm olur.

Bu yarılar bir dik üçgenin dik kenarlarıdır; hipotenüs eşkenar dörtgenin kenarıdır.

Kenar = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 cm.

Çevre = 4 × 13 = 52 cm.

Sonuç: Alan 120 cm², çevre 52 cm.

Örnek 5: Bir paralelkenarın kenarları 8 cm ve 6 cm, bu kenarlar arasındaki açı 30°'dir. Alanı kaçtır?

Çözüm:

8 cm'lik kenarı taban alalım. 6 cm'lik kenarın ucundan tabana dikme inelim.

Oluşan dik üçgen 30°-60°-90° üçgenidir; hipotenüsü 6 cm'dir.

30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır: yükseklik = 6 / 2 = 3 cm.

Alan = taban × yükseklik = 8 × 3 = 24 cm².

Sonuç: 24 cm². (Dikkat: 8 × 6 = 48 yanlıştır, çünkü 6 yükseklik değil, yan kenardır.)

Örnek 6: İkizkenar bir yamuğun tabanları 7 cm ve 13 cm, yan kenarları 5 cm'dir. Alanı kaçtır?

Çözüm:

Küçük tabanın iki ucundan büyük tabana dikmeler inelim. Ortada 7 cm'lik bir dikdörtgen kalır.

Büyük tabandan artan kısım 13 − 7 = 6 cm; ikizkenar olduğu için iki yana eşit bölünür: 3 cm ve 3 cm.

Her yandaki dik üçgende hipotenüs 5, bir dik kenar 3: yükseklik = √(25 − 9) = √16 = 4 cm.

Alan = (7 + 13) / 2 × 4 = 10 × 4 = 40 cm².

Sonuç: 40 cm².

Örnek 7 (karma şekil): ABCD karesinin bir kenarı 12 cm'dir. E noktası BC kenarının orta noktasıdır. AED üçgeninin alanı kaçtır?

Çözüm:

Karenin alanı = 12² = 144 cm².

BE = EC = 6 cm.

ABE dik üçgeninin alanı = (12 × 6) / 2 = 36 cm².

ECD dik üçgeninin alanı = (6 × 12) / 2 = 36 cm².

AED alanı = 144 − 36 − 36 = 72 cm².

Kontrol: AED üçgeninin tabanı AD = 12, E'nin AD'ye uzaklığı 12 olduğundan alan = (12 × 12) / 2 = 72 ✔. Yani E, BC üzerinde nerede olursa olsun sonuç karenin yarısıdır.

Sonuç: 72 cm².

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: Altıgenin iç açılar toplamı = 6 × 180° = 1080°. Doğrusu: (6 − 2) × 180° = 720°. Çokgen n − 2 üçgene bölünür, n üçgene değil.
• Yanlış: Düzgün olmayan bir beşgende bir dış açı = 360° / 5 = 72°. Doğrusu: 360° / n yalnızca düzgün çokgenlerde geçerlidir; diğerlerinde sadece dış açıların toplamının 360° olduğunu söyleyebiliriz.
• Yanlış: Kenarları 8 ve 6 olan paralelkenarın alanı 48'dir. Doğrusu: Alan taban × yüksekliktir; yan kenar yükseklik değildir. Açı 90° değilse alan 48'den küçüktür.
• Yanlış: Köşegenleri 10 ve 24 olan eşkenar dörtgenin alanı 240'tır. Doğrusu: (10 × 24) / 2 = 120. Eşkenar dörtgen, köşegenlerle kurulan dikdörtgenin yarısıdır.
• Yanlış: Tabanları 5 ve 11, yüksekliği 6 olan yamuğun alanı (5 + 11) × 6 = 96'dır. Doğrusu: (5 + 11) / 2 × 6 = 48. Tabanların ortalaması alınır.

Alıştırma

TYT taktiği: Bu konudaki sorular genellikle tek adımlı açı soruları ya da birkaç şeklin birleştiği alan sorularıdır. Açı sorusuna yaklaşık 1 dakika, karma alan sorusuna en fazla 2 dakika ayırmaya çalış. Şık elerken şunlara bak: düzgün çokgende kenar sayısı tam sayı olmalıdır, yani 360° dış açıya tam bölünmelidir; düzgün çokgende bir iç açı 180°'den küçüktür; bir paralelkenarın alanı iki kenarının çarpımından büyük olamaz; karma şekilde parça alanlarının toplamı bütün şeklin alanını aşamaz.

1) Ongenin iç açıları toplamı kaç derecedir?

2) Düzgün altıgenin bir iç açısı kaç derecedir?

3) Bir iç açısı 140° olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

4) On iki kenarlı bir çokgenin köşegen sayısı kaçtır?

5) Köşegeni 8√2 cm olan karenin alanı kaç cm²'dir?

6) Bir dörtgenin üç iç açısı 80°, 95° ve 100°'dir. Dördüncü açı kaç derecedir?

7) Köşegenleri 12 cm ve 16 cm olan eşkenar dörtgenin çevresi kaç cm'dir?

8) Bir paralelkenarın 9 cm'lik tabanına ait yüksekliği 4 cm'dir. Diğer kenarı 6 cm ise bu kenara ait yükseklik kaç cm'dir?

9) Tabanları 5 cm ve 11 cm, yüksekliği 6 cm olan yamuğun alanı kaç cm²'dir?

10) İç açıları toplamı 1260° olan çokgen kaç kenarlıdır?

Cevap Anahtarı

• 1) 1440° — (10 − 2) × 180° = 8 × 180° = 1440°.
• 2) 120° — Toplam (6 − 2) × 180° = 720°, 720° / 6 = 120°.
• 3) 9 — Bir dış açı 180° − 140° = 40°, n = 360° / 40° = 9.
• 4) 54 — 12 × (12 − 3) / 2 = 12 × 9 / 2 = 54.
• 5) 64 — Alan = (köşegen)² / 2 = 128 / 2 = 64 (kenar 8 cm).
• 6) 85° — Dörtgenin iç açıları toplamı 360°, 360° − (80° + 95° + 100°) = 360° − 275° = 85°.
• 7) 40 — Köşegen yarıları 6 ve 8, kenar √(36 + 64) = 10, çevre 4 × 10 = 40.
• 8) 6 — Alan 9 × 4 = 36, aynı alan 6 × h ile de bulunur: h = 36 / 6 = 6.
• 9) 48 — (5 + 11) / 2 × 6 = 8 × 6 = 48.
• 10) 9 — 1260° / 180° = 7 = n − 2, buradan n = 9.

Dersin özeti

• n kenarlı çokgenin iç açıları toplamı (n − 2) × 180°'dir, çünkü bir köşeden çizilen köşegenler şekli n − 2 üçgene böler.
• Her çokgende dış açılar toplamı 360°'dir; düzgün çokgende bir dış açı 360° / n olduğundan kenar sayısı n = 360° / dış açı ile bulunur.
• Köşegen sayısı n × (n − 3) / 2 formülüyle hesaplanır.
• Dörtgen alanları dikdörtgenden türer: paralelkenar taban × yükseklik, eşkenar dörtgen (e × f) / 2, yamuk (a + c) / 2 × h; yan kenarı yükseklik sanma.
• Karma şekillerde alanı parçalara ayır ya da büyük şekilden fazlalıkları çıkar; sonucu ikinci bir yolla kontrol et. Bir sonraki derste bu düşünme biçimini çember ve daireye uygulayacağız.